Chap 9 : Intégrales à paramètre
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Chap 9 : Intégrales à paramètre
: ( , )
sera un espace métrique, un intervalle de
On cherche à étudier est le paramètre, la variable d'intégration
I
X I
F x
f x t dt x tI. Continuité
1
, ( , )
: , ( , )
( ) ( , ) ,| ( , ) | ( )
: ( , )
est
Supposons : est continu
tq
Alors est définie et continue sur
pm
I
x X t f x t
f X I t I x f x t
L I x t X I f x t t
X
F X
x f x t dt
C
On est généralement amené à remplacer par un voisinage de pour la conditionX a 3e
( ) [ , ]
: : ( , )
Si est localement compact ( vois compact d'un pt), segment de ,
et globalement continue, alors est continue sur
I
b a
X I a b
f X I F x f x t dt X
/!\Les continuités partielles ne suffisent pas dans ce cas
II. Dérivabilité
1 0
1
, :
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
, ( , ) ( ) ( , ) , ( , ) ( )
intervalles de , telle que :
est et est est et est
est intégrable sur ,
Alors pour tout
pm pm
I J f I J
f f
f t f x t x
x x
x I f x J L J x t I J f x t t
x
C C C C
, : ( , ) est et 1 '( ) ( , )
J J
x I F x f x t dt F x f x t dt
x
C
( ) ( ) ( (
( ) . , ) ( , ) , , ) ( , ) (
( , ) )
réelle. n n n EAF : n n n
n J n n
F x F a f x f x f
f x a t f d
t c c t t CVD
x a x a x
a t t f a
a x
t
( , )
Si est un segment et et sont continues sur , il n'y a pas à vérifier la dernière hypothèse Pratique : on vérifie : régularité de , ; intégrabilité de ; domination de
J f f I J
x
f f f x
x
f (localisation)
x
III. Méthode d’étude des intégrales à paramètre
Régularité (domination)
Calcul de la dérivée (Intégration directe par décomposition d'une fraction rationnelle) Détermination de
A B
C F
2 2
( )
0 2
2 2
0 0
cos sin 1
2 ( )
2
x i y
x dx y dy e
F y dx
x i
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IV. La fonction Gamma
1
, Re( ) 0 ( ) 0 z t
z z z t e dt
/
*
0 / / /
, Re( ) 0, ( 1) ( ) (1) 1 ( ) 1
~ 1 (
! 2
{ / Re( ) 0}
l 1) ~ 2
0, ( ) lim !
g (
(
o )
est continu
Formule de
(CS) Gauss
e sur est sur
est conve
:
HP xe
x
x n
x x x
z z z z z n
x e
x x n n
x
n
x
z z
x
C
/ 1
1 lim 1
1)...( ) ( )
n
x x k
n k
xe x e
x n x k
V. Intégrales doubles
[ , ][ , ],[ , ] ([ , ] [ , ], )
: ( , ) [ , ] : ( , ) [ , ]
( , ) ( , )
Thm de Fubini sur un pavé : segments de ,
Alors est continue sur , est continue sur
Et
d b
c a
b d d b
a c c a a b
a b c d f a b c d
x f x y dy a b y f x y dx c d
f x y dy dx f x y dx dy f
C
[ , ]c d
2
2 0
/ / / /
2
, ( , ). : ( ) 1 ( ) ( )
2
( , ) || ( , ) ( , ) || ,
( ) 1 ( )
2
Convolution d'une fonct° périodique :
est bilin. ° asso. sur Si ou est est ,
HP
i
p p
n
f g E x f g x f x t g t dt
f g f g f g E f g f g
h E c h h t e
C
C C C C
2
0 ntdt n , cn(f g)cn( )f c gn( )
2
2
1 0
([0,1] , ), ([0,1], ). ( ) : ( , ) ( )
( ) ( ( ))
Noyaux :
si n n est bornée pour , n n possède une sous-suite convergente
K f E f x K x t f t dt E
f E f
C C
{ } { }, ( 0
, int. de , segments , segt n) / n , (avec ) idem ( )
n
I J S n
I J S I a I I a S T
( , )
,
( , ) /
sup
est intégrable sur lorsque est borné
On pose alors
S T
I J S T S T
f I J f I J f S
f f
C
( , ) est int. sur la fonction est majorée. Dans ce cas, lim
n n n n
S T I J n S T
f I J I J ssi n f f f
C
, ( , ), et int. sur et aussi, et
I J I J I J
f g I J f g I J f g f f g f g
C
( , ) est intégrable sur lorsque | | l'est
f C IJ IJ f
, ( , ). 0 ,
Re( ) Im( ) ||
Si et int. sur l'est aussi
int. sur et intégrables sur , int. sur , l'est
f g I J f g g I J f
f I J f f I J f g I J f g
C
( , ) Re( ) Re( ) Im( ) Im( )
Si est int. sur , on pose
I J I J I J I J I J
f I J I J f f f i f f
C
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( , ) , ( , ) 1( ) : ( , )
,
positive, supposons : est continue sur
Alors est intégrable sur est intégrable sur et dans ce cas,
j
I J I
f I J x I f x L J x f x y dy I
f I J ssi I f
C
( , ) ( , )
peut être intégrable et pour certaines valeurs, ou ne pas l'être
f f x f y
( , ) | |
( , ) ( , )
Thm (Fubini) : Si est intégrable, et si toutes les intégrales partielles de existent et donnent des fonctions continues, ces fonctions sont intégrables et
I J I J I
f I J f
f x y dy dx f f x y dx
C
J
dy1
1
: ( ) ( )( ) ˆ( ) : ( ) ( ) 1 ˆ
| |
ˆ ˆ
( ), , ( ) , lim
* (
( )( ) ( ˆ
)
)
) (
Transformées de Fourier : est continue, 0
Si et , est de class
ih h
x h
ixt
n
x f x h f x e f x f x f x f x f x
f L x f t e dt
n t t
f x f
f t L f
x f f
( )
( ) 2
1
0, ,(ˆ
(
) ( 1) (
)
( ))
ˆ ˆ
Formule de dual ,
e , avec , alors, corre
ité : ctement, (Fubini)
n k k k
I C
f t t f t
f g L fg f
k n
g
C
0
*
( , ). ,Re( ) (
[ , [
)( ) ( )
( ) { , Re( ) 0
0, }
est bien définie.
est continue Tra
sur (Localisation sur ,
nsformée de Laplace :
sur et )
zt
b f z f t e dt
f z
z z f
a
z
C C
1
1 1
, ( , )
( ), ( , )
( , )
( ) ( ) ( )
Convolutions : . Lorsque cela a un sens, ,
à dérivée b
Si est continue.
Si de plus ornée, est
B
f g f
L g C
g x f x t g t f
f
dt
f g g f
g g
C C
C
Utile : Calcul des dérivées en un point : et Taylor
Un "paramètre" étrange dans une intégrale se ramener à une IP et la dériver Fubini : pour une intégrale double, on montre que c'est intégrable et o
DL
n calcule de la manière la plus pratique, puis on se ramène à la forme demandée avec Fubini
