Chapitre 9 : Fonction exponentielle 1 Théorème et définition
Il existe une unique fonctionf dérivable surRtelle que : . . . . Théorème
Cette fonction est appelée . . . On note : . . . . Ainsi pour toutxréel : . . . .
Définition
La fonction exponentielle est définie et continue surRpuisqu’elle est dérivable surR.
Pour tout réelx,exp(x)6= 0.
Propriété
Démonstration : soitφla fonction définie pour toutxréel parφ(x) = exp(x) exp(−x).
La fonctionφest dérivable surRcomme produit de fonctions dérivables et φ′(x) =. . . .
Siφa une dérivée nulle surRalorsφest une fonction . . . .
Orφ(0) =. . . .; on en déduit que, pour toutxréel,φ(x) =. . ., soitexp(x) exp(−x) =. . ., d’où on conclut que . . . .
Démonstration du théorème
L’existence d’une telle fonction est admise.
On démontre l’unicité : soitgune fonction dérivable surRtelle que :g′ =g etg(0) = 1.
On peut définir pour toutxréel une fonctionuparu(x) = g(x)
exp(x)carexp(x)6= 0pour toutx.
Alors(u(x))′ =. . . .
La fonctionude dérivée nulle est donc constante surRet puisqueu(0) = 1, on en déduit queu(x) = 1pour toutxréel.
Ceci signifie queg(x) = exp(x)pour toutxréel.
la fonction exponentielle est strictement positive : pour toutxréel,exp(x)>0.
Propriété
Démonstration : la fonction exponentielle est continue surRetexp(0) = 1; s’il existe un réel xtel queexp(x) < 0 alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires, . . . .
. . . .
2 Relation fonctionnelle
Quels que soient les réelsaetb: . . . . Théorème
Démonstration :
Soitaun réel quelconque. . . .
Remarque
Soitxun réel quelconque. A l’aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire : exp(x) = exp(x
2 +x
2) = exp(x
2) exp(x 2)) =
exp(x 2)2
.
Puisqu’un carré est positif et queexp(x)6= 0, on montre à nouveau queexp(x)>0pour toutx.
Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn:
. . . . Propriété
Démonstration
On utilise la relation fonctionnelle :
• exp(a) = exp((a−b) +b) = exp(a−b) exp(b)et puisqueexp(b)6= 0, on en déduit :exp(a−b) = exp(a) exp(b)
• l’égalité précédente aveca= 0donneexp(−b) = exp(0) exp(b) = 1
exp(b)
• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)n" ;
nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈N. Initialisation :
Hérédité :
Conclusion :
Maintenant, sinest un entier relatif négatif,exp(na) =. . . . or(−n)∈N; on peut donc écrireexp((−n)a) =. . . . On en déduit que :exp(na) =. . . ..
On note e l’image de1par la fonction exponentielle :. . . ..
Notation
e≃2,718. . .et n’est pas un nombre rationnel ; c’est un nombre qui a des propriétés commune à celle deπ.
On peut alors écrire pour toutn∈Z,exp(n) =. . . ..
Cette écriture se prolonge àR:
Pour toutx∈R, l’image dexpar la fonction exponentielle se note : . . . .
On peut donc écrire : e0 =. . . et(ex)′ =. . . ..
Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle nota- tion ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :
Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn:
. . . .
De plus, quels que soient les réelsa,b : eab= (ea)b Par exemple :
e
x 2
2
=ex donc e
x
2 =√
ex et en particulier, e12 =√ e.
3 Variations
La fonction exponentielle est . . . . Théorème
Par définition,exp′(x) = exp(x) etexp(x)>0 pour toutxréel ; puisque sa dérivée est strictement positive surR, on conclut queexpest strictement croissante surR.
. . . et . . . . Corollaire
En particulier : six <0alors ex<1 et six >0alors ex>1.
