2019-2020 A.OLLIVIER CoursdeterminaleSFonctionexponentielle

Cours de terminale S Fonction exponentielle

A. OLLIVIER

Lycée Jacques Prevert - Pont-Audemer

2019-2020

Il existe une unique fonctionf dérivable sur^Rtelle que : . . . .

Théorème

Il existe une unique fonctionf dérivable sur^Rtelle que : f^′ =f et f(0) =1

Théorème

Cette fonction est appelée . . . . Définition

Cette fonction est appeléefonction exponentielle.

Définition

Cette fonction est appeléefonction exponentielle.

On note :

. . . . Définition

Cette fonction est appeléefonction exponentielle.

On note :

exp :x ∈^R7−→exp(x) Définition

Cette fonction est appeléefonction exponentielle.

On note :

exp :x ∈^R7−→exp(x) Ainsi pour toutx réel : . . . .

Définition

Cette fonction est appeléefonction exponentielle.

On note :

exp :x ∈^R7−→exp(x)

Ainsi pour toutx réel :exp^′(x) = exp(x) etexp(0) =1.

Définition

Cette fonction est appeléefonction exponentielle.

On note :

exp :x ∈^R7−→exp(x)

Ainsi pour toutx réel :exp^′(x) = exp(x) etexp(0) =1.

Définition

La fonction exponentielle est définie et continue sur^R puisqu’elle est dérivable sur^R.

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =. . . . . . . .

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction . . . .

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Orφ(0) =. . . .

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Orφ(0) =exp(0) exp(0) =1;

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Orφ(0) = exp(0) exp(0) =1; on en déduit que, pour toutx réel,

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Orφ(0) = exp(0) exp(0) =1; on en déduit que, pour toutx réel,

φ(x) =1,

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Orφ(0) = exp(0) exp(0) =1; on en déduit que, pour toutx réel,

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Orφ(0) = exp(0) exp(0) =1; on en déduit que, pour toutx réel,

φ(x) =1,

soit exp(x) exp(−x) =1,

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Orφ(0) = exp(0) exp(0) =1; on en déduit que, pour toutx réel,

Pour tout réelx,exp(x)6=0.

Propriété

Démonstration : soitφla fonction définie pour toutx réel par φ(x) = exp(x) exp(−x).

La fonctionφest dérivable sur^Rcomme produit de fonctions dérivables et

φ^′(x) =(exp(x))^′exp(−x) + exp(x)(exp(−x))^′ = exp(x) exp(−x)−exp(x) exp(−x) =0

Siφa une dérivée nulle sur^Ralorsφest une fonction constante.

Orφ(0) = exp(0) exp(0) =1; on en déduit que, pour toutx réel,

φ(x) =1,

soit exp(x) exp(−x) =1, d’où on conclut queexp(x)6=0.

Démonstration du théorème (ROC)

Démonstration du théorème (ROC)

L’existence d’une telle fonction est admise.

On démontre l’unicité :

Démonstration du théorème (ROC)

L’existence d’une telle fonction est admise.

On démontre l’unicité : soitgune fonction dérivable sur^Rtelle que : g^′=g etg(0) =1.

On peut définir pour toutx réel une fonctionupar u(x) = g(x)

exp(x)carexp(x)6=0 pour toutx.

Démonstration du théorème (ROC)

L’existence d’une telle fonction est admise.

On démontre l’unicité : soitgune fonction dérivable sur^Rtelle que : g^′=g etg(0) =1.

On peut définir pour toutx réel une fonctionupar u(x) = g(x)

exp(x)carexp(x)6=0 pour toutx. Alors(u(x))^′ =

Démonstration du théorème (ROC)

L’existence d’une telle fonction est admise.

On démontre l’unicité : soitgune fonction dérivable sur^Rtelle que : g^′=g etg(0) =1.

On peut définir pour toutx réel une fonctionupar u(x) = g(x)

exp(x)carexp(x)6=0 pour toutx. Alors(u(x))^′ =g^′(x) exp(x)−g(x) exp^′(x)

(exp(x))²

Démonstration du théorème (ROC)

L’existence d’une telle fonction est admise.

On démontre l’unicité : soitgune fonction dérivable sur^Rtelle que : g^′=g etg(0) =1.

On peut définir pour toutx réel une fonctionupar u(x) = g(x)

exp(x)carexp(x)6=0 pour toutx. Alors(u(x))^′ =g^′(x) exp(x)−g(x) exp^′(x)

(exp(x))²

Démonstration du théorème (ROC)

L’existence d’une telle fonction est admise.

On démontre l’unicité : soitgune fonction dérivable sur^Rtelle que : g^′=g etg(0) =1.

On peut définir pour toutx réel une fonctionupar u(x) = g(x)

exp(x)carexp(x)6=0 pour toutx. Alors(u(x))^′ =g^′(x) exp(x)−g(x) exp^′(x)

(exp(x))² =

g(x) exp(x)−g(x) exp(x) (exp(x))² =0

Démonstration du théorème (ROC)

L’existence d’une telle fonction est admise.

On démontre l’unicité : soitgune fonction dérivable sur^Rtelle que : g^′=g etg(0) =1.

On peut définir pour toutx réel une fonctionupar u(x) = g(x)

exp(x)carexp(x)6=0 pour toutx. Alors(u(x))^′ =g^′(x) exp(x)−g(x) exp^′(x)

(exp(x))² =

g(x) exp(x)−g(x) exp(x) (exp(x))² =0

La fonctionude dérivée nulle est donc constante sur^Ret puisqueu(0) =1, on en déduit queu(x) =1 pour toutx réel.

Ceci signifie queg(x) = exp(x)pour toutx réel.

La fonction exponentielle est strictement positive : pour toutx réel,exp(x)>0.

Propriété

La fonction exponentielle est strictement positive : pour toutx réel,exp(x)>0.

Propriété

Démonstration : la fonction exponentielle est continue sur^Ret exp(0) =1 ; s’il existe un réelx tel queexp(x)<0 alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires, . . . .

. . . . . . . .

La fonction exponentielle est strictement positive : pour toutx réel,exp(x)>0.

Propriété

Démonstration : la fonction exponentielle est continue sur^Ret exp(0) =1 ; s’il existe un réelx tel queexp(x)<0 alors d’après le théorème des valeurs intermédiaires,il existearéel tel que exp(a) =0. Or ceci est impossible puisque pour tout réelx, exp(x)6=0.

Quels que soient les réelsaetb: . . . . Théorème

Quels que soient les réelsaetb:

exp(a+b) = exp(a) exp(b) Théorème

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec g^′(x) =

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

doncg^′(x) =0

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

doncg^′(x) =0 pour toutx réel. La fonctiongde dérivée nulle est donc constante sur^R,

soit g(x) =

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

doncg^′(x) =0 pour toutx réel. La fonctiongde dérivée nulle est donc constante sur^R,

soit g(x) =g(0) =

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

doncg^′(x) =0 pour toutx réel. La fonctiongde dérivée nulle est donc constante sur^R,

soit g(x) =g(0) = exp(a) exp(0) =

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

doncg^′(x) =0 pour toutx réel. La fonctiongde dérivée nulle est donc constante sur^R,

soit g(x) =g(0) = exp(a)

exp(0) = exp(a) pour toutx réel.

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

doncg^′(x) =0 pour toutx réel. La fonctiongde dérivée nulle est donc constante sur^R,

soit g(x) =g(0) = exp(a)

exp(0) = exp(a) pour toutx réel.

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

doncg^′(x) =0 pour toutx réel. La fonctiongde dérivée nulle est donc constante sur^R,

soit g(x) =g(0) = exp(a)

exp(0) = exp(a) pour toutx réel.

En particulier pourx =b, on a :g(b) = exp(a+b)

exp(b) = exp(a)

Démonstration

Soitaun réel quelconque. On pose, pour toutx réel, g(x) = exp(x+a)

exp(x) ;

g est définie et dérivable sur^Ravec

g^′(x) = exp^′(x +a) exp(x)−exp(x+a) exp^′(x) (exp(x))²

= exp(x+a) exp(x)−exp(x +a) exp(x) (exp(x))²

doncg^′(x) =0 pour toutx réel. La fonctiongde dérivée nulle est donc constante sur^R,

soit g(x) =g(0) = exp(a)

exp(0) = exp(a) pour toutx réel.

exp(a+b)

Remarque

Soitx un réel quelconque. A l’aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire :

exp(x) =

Remarque

Soitx un réel quelconque. A l’aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire :

exp(x) = exp(x 2+x

2) =

Remarque

Soitx un réel quelconque. A l’aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire :

exp(x) = exp(x 2+x

2) = exp(x

2) exp(x 2) =

Remarque

Soitx un réel quelconque. A l’aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire :

exp(x) = exp(x 2+x

2) = exp(x

2) exp(x 2) =

exp(x 2)2

.

Remarque

Soitx un réel quelconque. A l’aide de la relation fonctionnelle, on peut écrire :

exp(x) = exp(x 2+x

2) = exp(x

2) exp(x 2) =

exp(x 2)2

. Puisqu’un carré est positif et queexp(x)6=0, on montre à nouveau queexp(x)>0 pour toutx.

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: . . . .

. . . . Propriété

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: exp(a−b) =

Propriété

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: exp(a−b) = exp(a)

exp(b) Propriété

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: exp(a−b) = exp(a)

exp(b) exp(−b) = Propriété

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: exp(a−b) = exp(a)

exp(b) exp(−b) = 1 exp(b) Propriété

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: exp(a−b) = exp(a)

exp(b) exp(−b) = 1 exp(b) exp(na) =

Propriété

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: exp(a−b) = exp(a)

exp(b) exp(−b) = 1 exp(b) exp(na) = (expa)ⁿ

Propriété

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) =

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) = exp((a−b) +b) =

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) = exp((a−b) +b) = exp(a−b) exp(b)

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) = exp((a−b) +b) = exp(a−b) exp(b) et puisqueexp(b)6=0, on en déduit :

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) = exp((a−b) +b) = exp(a−b) exp(b) et puisqueexp(b)6=0, on en déduit :exp(a−b) =

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) = exp((a−b) +b) = exp(a−b) exp(b)

et puisqueexp(b)6=0, on en déduit :exp(a−b) = exp(a) exp(b)

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) = exp((a−b) +b) = exp(a−b) exp(b)

et puisqueexp(b)6=0, on en déduit :exp(a−b) = exp(a) exp(b)

• l’égalité précédente aveca=0 donne exp(−b) =

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) = exp((a−b) +b) = exp(a−b) exp(b)

et puisqueexp(b)6=0, on en déduit :exp(a−b) = exp(a) exp(b)

• l’égalité précédente aveca=0 donne exp(−b) = exp(0)

exp(b) =

Démonstration

On utilise la relation fonctionnelle :

• exp(a) = exp((a−b) +b) = exp(a−b) exp(b)

et puisqueexp(b)6=0, on en déduit :exp(a−b) = exp(a) exp(b)

• l’égalité précédente aveca=0 donne exp(−b) = exp(0)

exp(b) = 1 exp(b)

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) =

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1 doncP0

est vraie.

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1 doncP0

est vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soitexp(ka) = (expa)^k.

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1 doncP0

est vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soitexp(ka) = (expa)^k. Alors,

exp((k +1)a) =

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1 doncP0

est vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soitexp(ka) = (expa)^k. Alors,

exp((k +1)a) = exp(ka+a) =

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1 doncP0

est vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soitexp(ka) = (expa)^k. Alors,

exp((k +1)a) = exp(ka+a) = exp(ka) exp(a) =

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1 doncP0

est vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soitexp(ka) = (expa)^k. Alors,

exp((k +1)a) = exp(ka+a) = exp(ka) exp(a) = (expa)^kexp(a) d’après l’hypothèse de récurrence,

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1 doncP0

est vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soitexp(ka) = (expa)^k. Alors,

exp((k +1)a) = exp(ka+a) = exp(ka) exp(a) = (expa)^kexp(a) d’après l’hypothèse de récurrence,

doncexp((k +1)a) = (exp(a))^k+1 etPk+1est vraie.

Démonstration

• SoitPnla propriété "exp(na) = (expa)ⁿ " ;

nous allons d’abord démontrer par récurrence quePnest vraie pour toutn∈^N.

Initialisation :exp(0×a) = exp(0) =1 et(expa)⁰=1 doncP0

est vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturelk; soitexp(ka) = (expa)^k. Alors,

exp((k +1)a) = exp(ka+a) = exp(ka) exp(a) = (expa)^kexp(a) d’après l’hypothèse de récurrence,

doncexp((k +1)a) = (exp(a))^k+1 etPk+1est vraie.

Démonstration

Maintenant, sinest un entier relatif négatif,

Démonstration

Maintenant, sinest un entier relatif négatif, exp(na) =. . . .

Démonstration

Maintenant, sinest un entier relatif négatif, exp(na) = 1

exp(−na)

Démonstration

Maintenant, sinest un entier relatif négatif, exp(na) = 1

exp(−na)

or(−n)∈^N; on peut donc écrireexp((−n)a) =. . . .

Démonstration

Maintenant, sinest un entier relatif négatif, exp(na) = 1

exp(−na)

or(−n)∈^N; on peut donc écrireexp((−n)a) =(exp(a))⁻ⁿ

Démonstration

Maintenant, sinest un entier relatif négatif, exp(na) = 1

exp(−na)

or(−n)∈^N; on peut donc écrireexp((−n)a) = (exp(a))⁻ⁿ On en déduit que :exp(na) =. . . .

Démonstration

Maintenant, sinest un entier relatif négatif, exp(na) = 1

exp(−na)

or(−n)∈^N; on peut donc écrireexp((−n)a) = (exp(a))⁻ⁿ On en déduit que :exp(na) = 1

(exp(a))⁻ⁿ= (expa)ⁿ.

Notation

On note e l’image de 1 par la fonction exponentielle : . . . .

Notation

On note e l’image de 1 par la fonction exponentielle : exp(1) =e.

Notation

On note e l’image de 1 par la fonction exponentielle : exp(1) =e.

e≃2,718. . .et n’est pas un nombre rationnel ; c’est un

nombre qui a des propriétés commune à celle deπ.

Notation

On note e l’image de 1 par la fonction exponentielle : exp(1) =e.

e≃2,718. . .et n’est pas un nombre rationnel ; c’est un

nombre qui a des propriétés commune à celle deπ.

On peut alors écrire pour toutn∈^Z, exp(n) =. . . .

Notation

On note e l’image de 1 par la fonction exponentielle : exp(1) =e.

e≃2,718. . .et n’est pas un nombre rationnel ; c’est un

nombre qui a des propriétés commune à celle deπ.

On peut alors écrire pour toutn∈^Z, exp(n) =exp(n×1) = (exp(1))ⁿ=eⁿ

Cette écriture se prolonge à^R: Notation

Pour toutx ∈^R, l’image dex par la fonction exponentielle se note :

. . . .

Cette écriture se prolonge à^R: Notation

Pour toutx ∈^R, l’image dex par la fonction exponentielle se note :

exp(x) =e^x

Cette écriture se prolonge à^R: Notation

Pour toutx ∈^R, l’image dex par la fonction exponentielle se note :

exp(x) =e^x

On peut donc écrire : e⁰=. . .

Cette écriture se prolonge à^R: Notation

Pour toutx ∈^R, l’image dex par la fonction exponentielle se note :

exp(x) =e^x

On peut donc écrire : e⁰=1

Cette écriture se prolonge à^R: Notation

Pour toutx ∈^R, l’image dex par la fonction exponentielle se note :

exp(x) =e^x

On peut donc écrire : e⁰=1 et(e^x)^′=. . ..

Cette écriture se prolonge à^R: Notation

Pour toutx ∈^R, l’image dex par la fonction exponentielle se note :

exp(x) =e^x

On peut donc écrire : e⁰=1 et(e^x)^′=e^x.

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn:

. . . .

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: e^a+b=

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: e^a+b=e^ae^b e^a−b=

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: e^a+b=e^ae^b e^a−b= e^a

e^b e^−b=

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: e^a+b=e^ae^b e^a−b= e^a

e^b e^−b= 1

e^b e^na=

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: e^a+b=e^ae^b e^a−b= e^a

e^b e^−b= 1

e^b e^na= (e^a)ⁿ

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: e^a+b=e^ae^b e^a−b= e^a

e^b e^−b= 1

e^b e^na= (e^a)ⁿ

De plus, quels que soient les réelsa,b : e^ab= (e^a)^b

Utilisation :on peut écrire la relation fonctionnelle et les propriétés de la fonction exponentielle avec la nouvelle notation ; on reconnaît alors les propriétés bien connues du calcul avec des exposants :

Quels que soient les réelsa,b et l’entier relatifn: e^a+b=e^ae^b e^a−b= e^a

e^b e^−b= 1

e^b e^na= (e^a)ⁿ

De plus, quels que soient les réelsa,b : e^ab= (e^a)^b Par exemple :

e^x22

=e^x donc e^x2 =√

e^x et en particulier, e¹² =√

e.

La fonction exponentielle est . . . .

Théorème

La fonction exponentielle eststrictement croissante sur^R. Théorème

La fonction exponentielle est strictement croissante sur^R. Théorème

Par définition,exp^′(x) = exp(x) etexp(x)>0 pour toutx réel ; puisque sa dérivée est strictement positive sur^R, on conclut queexpest strictement croissante sur^R.

. . . . Corollaire

a<b⇐⇒

Corollaire

a<b⇐⇒e^a<e^b et a=b⇐⇒

Corollaire

a<b⇐⇒e^a<e^b et a=b⇐⇒e^a=e^b Corollaire

a<b⇐⇒e^a<e^b et a=b⇐⇒e^a=e^b Corollaire

En particulier : six <0 alors e^x <1 et six >0 alors e^x >1.