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Submitted on 1 Jan 1958
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Propriétés des équations du graviton en théorie fonctionnelle
Jean-Louis Destouches
To cite this version:
Jean-Louis Destouches. Propriétés des équations du graviton en théorie fonctionnelle. J. Phys. Ra- dium, 1958, 19 (4), pp.475-479. �10.1051/jphysrad:01958001904047500�. �jpa-00235872�
PROPRIÉTÉS DES ÉQUATIONS DU GRAVITON EN THÉORIE FONCTIONNELLE Par JEAN-LOUIS DESTOUCHES,
Institut Henri-Poincaré, Paris.
Sommaire. 2014 Étude de quelques conséquences des équations des champs associés à un corpuscule
de spin maximum 2 (graviton) : conséquence des systèmes (S2), (S1), (S1), (S"1), (S’0)’ (S"0). Formes
des équations de propagation pour les divers champs associés à un corpuscule.
Abstract. 2014 Study of some conséquences of the équations of the fields associated with a melted
particle of maximum spin 2 (graviton) : consequences of the systems (S2), (S1), (S’1), (S"1), (S’0), (S"0).
Form of the propagation équations for the various fields associated with this particle.
475.
PHYSIQUE 19, 1958, PAGE 475.
1. Équations du graviton. - Dans un article précédent [1] nous avons indiqué les équations
fondamentales du graviton et les équations des champs associés au corpuscule de spin maximum 2
en théorie fonctionnelle. Les équations de champ peuvent être groupées en sous-systèmes (S’2), (Sl), (S’l), (Si), (S0), (S0) l’indice correspondant à la
valeur du spin. Les équations ont lieu entre des champs (D et des termes non-linéaires Q. Il est
commode de poser
De cette façon les équations peuvent être écrites entre les champs (D et x. Le système (S2) prend
ainsi la forme
2. Conséquences du système (82)’ - Des équa-
tions du système (S2), on peut tirer un certain
nombre de conséquences. (Dans tout ce qui suit,
les sommations devront être faites sur les indices
répétés, qu’ils soient tous deux inférieurs ou l’un
supérieur et l’un inférieur, et les indices allant
de 1 à 4.)
1° Appliquons v à (3), il vient après échange de ti et v,
Échangeons les indices v et p qui sont tous deux muets ;
D’autre part, échangeons l’ordre des indices p et v dans le crochet ; comme il y a antisymétrie,
on a :
Comme l’ordre des dérivations peut être inter-
verti, des deux dernières relations il résulte que
20 Dans l’équation (2), identifions v et p ; puis
tenons compte de (5), de la définition (1) et du fait
que dans l’univers de Minkowski on a z, = zP en
coordonnées cartésiennes, il vient :
3° Remplaçons X(re,,,[,pl) par son expression tirée
de (4) ; puis remplaçons C[yp]p par son expression
tirée de (2) inversons v et p dans le crochet [vp]
pour dp (D,,,],, puis remplaçons-le par son expres- sion tirée de (3) ; enfin remplaçons dp (D(,P) par son
expression en Q tirée,de (1) et (5) ; on obtient
40 Partons de (2) pour calculer la divergence
de X[(J.v]p, puis utilisons (1) et (5), il vient :
Considérons Í)p( Q(P,P)V - Q(VP)p,), utilisons (1), (3), (2), puis après réduction encore (2), on obtient
Considérons (7), permutons les indices uv, sous-
trayons les deux expressions l’une de l’autre, il
vient
En regroupant ceci avec (8) on obtient fina- lement
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01958001904047500
476
50 En remplaçant les x par leur expression tirée
de (2), on constate que les termes se détruisent deux à deux, d’où :
6° De même en remplaçant les x à quatre indices
par leur expression tirée de (4), les termes se détrui-
sent deux à deux et on a :
7° En remplaçant encore les X par leur expres- sion tirée de (3), on constate que les termes se détruisent deux à deux en vertu de la symétrie
des (&J.Y) et que l’on a la relation algébrique
8° De (4), en échangeant les paires symé- triques [pv] et [pa], on tire
90 Considérons la même expression en x ; trans-
formons-la par (2), les termes se détruisent deux à deux en vertu de la symétrie de (D[,,,, d’où
100 De (1), (13), (14), on tire alors
Ceci est une première condition sur les..Q[p.V]P
résultant de (2) et (4) par (13) et (14).
110 On a
120 Considérons
remplaçons les X par leur expression en (D tirée de (2) ; remplaçons ces (D par leur expression en x et Q tirée de (1), utilisons (12) pour supprimer les
termes en x sous Õp. et (11) pour supprimer des-
termes en x. Posons pour abréger :
On vérifie immédiatement qu’il y a antisymétrie
par rapport aux indices médians.
Il reste alors :
On peut transformer cette formule en utili - sant (15) et en appliquant des permutations circu-
laires aux indices, d’où :
Cette relation fournira la première identité de Bianchi dans la théorie de la gravitation
130 Considérons
Remplaçons x par son expression tirée de (4) ;
comme z O’f = D, le premier terme donne 0 (Ditzvlp,
Transformons l’autre terme en z Op en utilisant (1) (2), puis remplaçons les ’v (D(,,) par -£ r Q(1/T)
en vertu de (5) ; nous obtenons :
3. Conséquences des équations (Sl). - En
introduisant les fonctions x, les équations de (S1) prennent la forme
1° Considérons z" xwv, utilisons (20) puis, d’une part, échangeons les indices V. et p qui sont tous
deux muets, ce qui donne ÕP ÕIJ. l>it.p]V, d’autre part permutons p et y compte tenu de l’antisymétrie,
d’où - ÕIL ÕP (Div-plv ; ces deux quantités étant égales
et opposées sont nulles, d’où
2° De même transformons oP xit.V]p au moyen
de (19), puis utilisons (1) et (22), il vient
30 Partons de z Xu-rp][(Lv]], utilisons (21) ; le premier terme est Q (D,,,,,,; transformons le second terme par (1), (19), (22), il vient
40 En utilisant (19) et la propriété d’antisy-
métrie qui détruit les termes deux à deux, on voit
que
50 La même expression que (23) en 0 donne
par (21) et en vertu de F antisymétrie
60 Par suite, en vertu de (1), de (23) et (24), on
tire
70 En utilisant (19), on voit que les termes se
détruisent deux à deux, d’où
80 D’après (21), les termes se détruisent deux à
deux, d’où
90 En utilisant (19), l’antisymétrie, (1) et (22),
on a (les indices répétés étant sommés),
10° Remplaçons X[[up][vpu par son expression tirée
de (21) ; remplaçons I>[tp]P par son expression tirée
de (1) et (19) ; I>[Pp] est nul par antisymétrie, utili-
sons (1) et (22) ; inversons v et p dans I>[tV](J.’ ici dp = dp, utilisons (20), .d’où
Le groupe (Sl) a une forme différente de (Si) et
(S;), mais le raisonnement de M. Louis de
Broglie [2] se transpose au cas non linéaire. Posons
les équations du groupe (SI) deviennent
Pour établir (26"’), on part du premier membre,
on tient compte de la définition de (D[(,’,),], on sépare
les deux termes par antisymétrie, on utilise (19),
, on divise chaque terme en trois parties par permu- tation circulaire, enfin on utilise la définition de X(Il identique comme forme à celle de ’D[(’). (25"’)
s’établit d’une façon analogue.
On a donc bien des équations de forme maxwel- lienne.
Le cas j = 1 comprend bien une description de
trois photons purement maxwelliens (tandis que dans le cas d’un corpuscule de spin 1, le cas de spin 0 se joignait au cas de spin 1 pour former les
équations non maxwelliennes ; dans le cas de spin
maximum 2, les équations de spin 0 se joignent à
celles de spin 2).
4. Conséquences des équations (S’i) et (Si). -
En introduisant les fonctions x, ces deux groupes
d’équations s’écrivent :
Ces deux groupes ont même forme et ont donc des conséquences de même forme.
10 Considérons do Xuv,transformons par (27) et (1) puis (26) ; d’une part remplaçons (D’ par
- (D,’,,p] en vertu de l’antisymétrie, d’autre part les
indices p et v sont muets et nous pouvons les
échanger ; ajoutons membre à membre les deux relations ainsi obtenues et divisons par deux, les
termes en (D disparaissent et il reste
2° Considérons encore Õ" ox§y transformé
par (27) ; transformons cette fois par (25), puis
un terme par (1) et l’autre par (27) ; chan-
geons I>IIoV] en - O[vu] et utilisons (26). Utilisons
.enfin (29) et tirons ÕP ox§, on trouve :
Remarquons aussi que de (27) on tire immédia- tement
3° Considérons () oxpv 2013 dv oxpu, utilisons (27),
puis (25), enfin (1) et (28), on obtient
40 Par (27), d’une manière semblable, on a
50 Considérons ()P XJ.V]P’ utilisons (28) et (1),
puis (25) ; permutons les ô et les 0 et utilisons (31)
pour chasser les Ei ; utilisons (30), posons pour
abréger
. I.Vla ne change pas par une permutation circulaire
des indices et L vtza = - Sl,§_. Utilisons (1) et
enfin (25), on obtient :
60 Considérons zP XPtJ.]Y’ utilisons de même (28), (1), (25), puis (27) pour un terme et (31) pour un
autre ; ensuite (30) et (29) ; les termes en Q dispa-
raissent et il reste
enfin par (1) et (27), on a
478
70 D’après (28), on a
80 En utilisant (28), (1), (25), (32), on obtient
90 De (27), (1) et (26) et en tenant compte de l’antisymétrie, on tire (les sommations portant sur
les ir dices répétés) :
10° Par (27) et (25), on a
110 Par (28) et (26), on a
12° Par (28), (1), (25), (32), on a
D’après (1)
On obtierdrait des équations de même forme à
partir de (Si) ; il faut seulement remplacer les
indices supérieurs + par - et ’ par " dans les
relations précédentes pour les obtenir.
5. Forme usuelle des équations maxwelliennes.
- On passera des équations de (Si) modifié, de (S’), de (Si), à la forme des équations de Maxwell
dans l’espace à trois dimensions en posant
alors (25) donne
Posons de même
.
alors (26) donne (de même que (34)) :
alors
et nous retrouvons bien les équations de [3].
L’équation (27) définit axûv, de même (28)
définit x’ rttv ,, ; la relation (33) donne
6. Le groupe (Sô). - Du groupe (S2) on peut
extraire un groupe (Sô) de structure analogue à S,,,.
D’abord, de (6), en posant
nous tirons, les sommations étant effectuées sur les indices répétés,
De (3) on tire
De (4), de l’antisymétrie, de (3), on tire
Les trois équations (35), (36), (37) constituent le groupe (Sô). Ce groupe fait intervenir l’inva- riant X(pP). Ces équations peuvent être mises sous une forme identique à celles de (S’0) en posant :
En effet, on voit qu’avec ces définitions, (35) prend la forme de la 1re équation de (S’0) (cf. [1]),
de même (36) prend la forme de la 2e équation
de (S"0) et (37) la forme de la 3e, compte tenu de
la symétrie en yv. Ce système a donc pour consé- quences des équations de la forme :
7. Équations de propagation. - Revenons main-
tenant aux équations du système (S 2 c’est-à-dire
aux équations (2), (3), (4). Nous allons montrer
qu’elles correspondent bien à ce que l’on peut appeler un « graviton », c’est-à-dire à un corpuscule qui soit au champ de gravitation ce que le photon
est au champ électromagnétique.
Pour cela, établissons encore quelques consé-
quences des équations (S2), notamment explicitons
les équations de propagation. Nous avons indiqué
sans démonstration dans l’article précédent [1] que
chaque champ (D ou x satisfait à une équation de propagation de la forme a Qa = M2 (D + £à( Ooe) ;
il nous faut calculer explicitement les termes 1.2,«D,.)
et 1.2,(X.) pour les champs intervenant dans les
équations du groupe (S2).
10 Considérons d’abord E (D(uv) ; utilisons (2),
(5), (1), (3) nous obtenons
20 De (5), (1), (40), puis (5), on tire
30 De même, nous aurons pour a Xfttvjp) par(2), (40), puis (2),
40 Si nous portons cette valeur dans (18), en
utilisant (1), puis en faisant apparaître £àuvyp défini
par (16), enfin par (2) et (1), on trouve
50 Prenons la divergence de (7) ; utilisons (40)
pour avoir 8 (1),,p il vient
60 En comparant (44) avec (43) pour v === p et sommant sur p, tenant compte de (5) et (41), on a
ou encore :
De l’antisymétrie par rapport aux indices
médians il résulte que
70 De la définition (16) et de (15) résulte encore
80 D’autre part, X([,,p][,,,, et X(uv) sont reliés par (7)
et en utilisant (40), par des indices égaux pp,
puis (1), on a la relation (39’) qu’on peut encore
écrire
91 Pour 8 x[MKvp]h par (7), (40), (1), puis (40), (41), (45), et enfin (7), on trouve
D’une manière semblable, par (4), (1), (42), puis (1), (4), on a :
Manuscrit reçu le 31 octobre 1957.
BIBLIOGRAPHIE
[1] DESTOUCHES (J.-L.), J. Physique Rad., 1958, 18, 354.
[2] BROGLIE (L. de), C. R. Acad. Sc., Paris, 1941, 212, 657.
[3] AESCHLIMANN (F.) et DESTOUCHES (J.-L.), J. Physique Rad., 1957, 18, 632.
