A) La fonction exponentielle

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2019 - 2020

Fonction exponentielle

A) La fonction exponentielle

Théorème :

Il existe une unique fonction dérivable sur R vériant :

• Pour tout réel x, f⁰(x) = f(x). • f(0) = 1.

Dénition :

On appelle fonction exponentielle, notée exp, l'unique fonction dérivable sur R vériant :

• Pour tout réel x, exp ⁰(x) = exp(x). • exp(0) = 1.

Théorème :

Pour tout x deR, exp(x)>0. La fonction exponentielle est donc strictement croissante surR Remarque : La fonctionexponentielle croit très vite (exemple : exp(10)≈22 026).

C'est pourquoi on parle parfois, dans le langage courant de phénomènes avec une croissance exponentielle lorsque la croissance est très rapide.

Tableau de variations : La fonction exponentielle est dénie, dérivable, strictement croissante surR.

x

Variations deexp

−∞ +∞

0 0

+∞

+∞

0 1

1 e

On noteele nombre exp(1).

x y

−

→i

−

→j

0

y=e^x

1 e

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B) Propriétés algébriques

Propriétés algébriques :

Soient a etb deux réels quelconques :

ˆ exp(a+b) = exp(a)×exp(b)

• exp(−a) = 1 exp(a)

• exp(a−b) = exp(a) exp(b)

• Pour toutn ∈Z,exp(na) = (exp(a))ⁿ. En particulier, exp(n) = exp(1)ⁿ =eⁿ.

Par extension de l'écriture exp(n) = eⁿ pour n ∈ Z, on notera, pour toutx∈R, exp(x) = e^x

• e^a+b =e^a e^b

• e^−a= 1 e^a

• e^a−b = e^a e^b

• Pour toutn ∈Z,e^na = (e^a)ⁿ.

• e¹ =e et e⁰ = 1

Exemple 1 :

^{Simplier : e3×e4}

e³×e⁴ =. . . .

Exemple 2 :

Simplier : e⁵×e⁻³ e⁻² e⁵×e⁻³

e⁻² =. . . . . . . .

Exemple 3 :

Simplier : (e^x+ 1)²−(e^x−1)²

(e^x+ 1)²−(e^x−1)² =. . . .

=. . . .

=. . . .

Exemple 4 :

Montrer que pour tout réel x, e^2x−4e^x−5 = (e^x−5)(e^x+ 1)

. . . . . . . . . . . .

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C) D'autres fonctions exponentielles : x 7→ e

^u(x)

Dénition :

On peut dénir la composée de la fonction exponentielle avec une fonction u telle que x 7−→

x∈Du

u(x)7−→e^u(x)

La fonction exponentielle x 7→ e^x étant dénie pour tout x ∈ R alors la fonction x 7→ e^u(x) sera dénie quand u(x) sera dénie c'est à dire sur le domaine de dénition de la fonction u.

Exemples :

• f(x) = e^1/x dénie sur R^∗

• g(x) =e^3x2−4x+1 dénie sur R

• h(x) =e

√x dénie sur [0 ; +∞[

Théorème :

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction e^u est dérivable sur I e^u(x)0

=u⁰(x)×e^u(x)

Exemples :

• f(x) = e^1/x dénie et dérivable sur R^∗

• g(x) =e^3x2−4x+1 dénie et dérivable sur R

• h(x) =e

√x dénie sur [0 ; +∞[ et dérivable sur]0 ; +∞[

• f⁰(x) =− 1

x² ×e^1/x

• g⁰(x) = (6x−4)×e^3x2−4x+1

• h⁰(x) = 1 2√

xe

√x

Remarque 1 : Le sens de variation de la fonctione^u sera donc le même que celui de la fonction u.

e^u(x)0

=u⁰(x)× e^u(x)

positif

Remarque 2 : Les formules de dérivation d'un produit et/ou d'un quotient restent valables :

(uv)⁰ =u⁰v +uv⁰ et u v

⁰

= u⁰v−uv⁰ v²

Théorème :

La fonction exponentielle etant strictement croissante, si a etb sont deux réels e^a=e^b si et seulement si a=b e^a< e^b si et seulement si a < b

Exemples :

e^2x+3 =e^x−5 ⇔ 2x+ 3 =x−5

⇔ x=−8

e^x2−2x−3 = 1 ⇔ e^x2−2x−3 =e⁰

⇔ x²−2x−3 = 0

⇔ x=−1 ou x= 3

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