Chapitre 2 : Fonction exponentielle

(1)

Rappel :( f ( ax + b ) ) ' = a f ' ( ax+b )..

Chapitre 2 : Fonction exponentielle

Motivation :

L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyaux radioactifs (c’est-à-dire dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit 6 × 1023), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps Δt à partir d’un instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents à l’instant t et au temps d’observation Δt, est une constante λ

caractéristique du noyau en question. On peut donc écrire :



Nt



N

t

= -  N(t)

A priori, la constante λ pourrait dépendre du temps. Ce serait le cas si un processus de vieillissement était en cause, comme, par exemple,

si l’on s’intéresse au nombre de décès dans une population donnée. Le fait que λ ne dépende pas du temps s’interprète comme un processus de « mort sans vieillissement ».

En passant à la limite pour un intervalle de temps devenant arbitrairement petit, on écrira l’équation ci-dessus dN

t

N t



= – λdt, ou encore dN(t) = – λN(t)dt ou encore dN



t

dt = – λN(t) que l' on écrira aussi : N ' (t) = – λN(t).

I. Fonction exponentielle : caractérisations.

On cherche une fonction f dérivable sur ℝ et égale à sa dérivée, c'est à dire telle que pour tout réel x , f ' ( x ) = f ( x ) . On note en général y' = y l'équation dont f est une solution : c'est une équation différentielle Cette relation peut être complétée par une condition initiale, imposant à ces fonctions y de prendre une valeur réelle donnée c en un point a de ℝ:

( y(a) = c).

Théorème (admis pour l'instant) :

Il existe une fonction f définie sur ℝ telle que f ’ = f et f (0) = 1 .

remarque et idée de la démonstration: dans l'activité on a pu voir que pour tout x réel : f ( x ) ≈ 1 x n 

n

Lemme 1

( propriété utilisée pour la démonstration du théorème suivant)

:

si une fonction f est solution de y ' = y alors la fonction f est dérivable sur ℝ.

Lemme 2 : si une fonction f est solution de y ' = y et y(0) = 1 , alors f ne s'annule pas sur ℝ et f (-x) = _f

_x

¹ .

démonstration : Soit f une solution de y ' = y et y(0) = 1.

Idée : utiliser la dérivée d'une fonction. Posons pour tout réel x : g ( x ) = f ( x ) × f ( -x ) et montrons que la fonction g est constante, égale à 1.

La fonction qui à x associe f( -x ) est dérivable sur ℝ car c'est la composée deux fonctions dérivables : f et de la fonction qui à x associe – x.

g est le produit de deux fonctions dérivables sur IR, donc g est dérivable sur IR et on a pour tout x ∈ IR :

g ' ( x) = f ' ( x ) × f ( -x ) + f ( x ) × (f ( -x ))' = f ( x ) × f ( -x ) - f ( x ) × f '( -x ) = f ( x ) × f ( -x ) - f ( x ) × f ( -x ) = 0.

On en déduit que la fonction g est constante sur IR. On a g(0) = f ( 0 ) × f ( - 0 ) = 1 Donc pour tout x réel : g ( x ) = 1 soit f ( x ) × f ( -x ) = 1 donc f (x ) ≠ 0 et f (-x) =

1 f

x^.

Théorème : il existe une unique fonction f , définie sur ℝ , telle que y ’ = y et y (0) = 1 . Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée exp.

Démonstration:Considérons une fonction f définie et dérivable sur IR, telle que y ' = y et y(0) = 1et montrons que f = exp.

exp(x) étant différent de 0 pour tout réel x d'après le lemme2 , on peut considérer la fonction g définie sur IR par g(x) =

f  x

exp x 

g est le quotient de deux fonctions dérivables sur IR, donc g est dérivable sur IR et on a : g'(x) = f 'x×expx– fx×exp 'x

exp²x = fx×expx– fx×expx

exp²x = 0 pour tout x ∈ IR . g est donc une fonction constante sur IR.

D'autre part on a g(0) = f0

g0 = 1 1 = 1

Donc pour tout réel x on a g(x) = 1, c'est-à-dire

f  x

exp x 

= 1 c'est-à-dire f(x) = exp(x) pour tout x ∈IR . On en déduit alors l'unicité de la fonction exp.

Propriétés immédiates : exp ( 0 ) = 1 ; exp '( x ) = exp (x ) et exp ( - x ) = 1 exp x  Théorème : pour tous réels a et b , exp( a+b ) = exp(a) × exp ( b).

démonstration:

Soit b un nombre réel quelconque: on a vu que exp(b)≠ 0.

(2)

Considérons la fonction g, définie par g(x) = expxb

expb et montrons que g vérifie l'équation diff y' = y et y(0) = 1.

Montrons que g est dérivable sur IR.

la fonction x  exp(x + b) est la composée de la fonction exponentielle et de la fonction x  x + b.

Ces deux fonctions étant dérivables sur IR, on en déduit que x  exp(x + b) est dérivable sur IR.

On a alors [exp(x + b)]' = (x + b)' × exp'(x + b) = 1 × exp(x + b) = exp(x + b) exp(b) est une constante donc g est dérivable sur IR et g'(x) = expxb

expb = g(x) De plus on a g(0) = exp0b

expb = 1

g est donc une fonction définie et dérivable sur IR, telle que g' = g et g(0) = 1

g est donc la fonction exponentielle (puisqu'on a démontré l'unicité de la fonction vérifiant ces conditions) On en déduit que pour tout réel x g(x) = exp(x) c'est-à-dire expxb

expb = exp(x) soit exp( x + b ) = exp ( x ) × exp (b ) Ceci ayant été démontré quelque soit le réel b, on a justifié que :

Pour tous réels a et b, on a exp(a+ b) = exp(a) x exp(b)

Applications :

Théorème: pour tout réel a , exp( a) > 0

dem ( ex ) : exp(a) = exp(

a 2

⁺

a

2

^{) =}

exp  a

2 

×

exp  a

2 

= (

exp  a

2 

)² > 0

Théorème:

Pour tous réels a et b : exp ( a-b) = exp a  exp b

Pour tout réel a et tout entier n : exp ( nx ) = exp

ⁿ

x

dem : Si n positif Démontrons par récurrence, pour tout n ∈

ℕ

la propriété P(n) :

exp ( nx ) = exp

ⁿ

x

P(0) est vraie car exp( 0×x ) = exp ( 0 ) = 1 et exp

⁰

 x  = 1 Soit

n ∈

ℕ, s uposons que P(n) soit vraie alors

exp ( (n+1)x ) = exp ( n x + x )

= exp n x×expx  par prorpiété de la fonction exp.

= exp

ⁿ

 x * exp ( x ) car P(n) est vraie

= exp

^n1

x  Donc P(n+1) est vraie.

On a donc démonter par récurrence que,

pour tout n ∈

ℕ exp ( nx ) = exp

ⁿ

x

Si n négatif : exp ( nx) = exp

 – – n×x

⁼

_{exp– n} ¹ _ _x _

or (-n ) est positif , on peut appliquer le cas précédent

= 1

exp

⁻ⁿ

x 

= exp

ⁿ

 x )

On a donc bien démontré la propriété pour tout entier relatif n.

Théorème : caractérisations des fonctions exponentielles

Soit f une fonction dérivable sur ℝ . Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) f est non nulle et vérifie, pour tous réels a et b , f ( a+b) = f ( a ) × f ( b ) (ii) il existe un réel k, tel que, pour tout réel x , f '(x) = k f ( x) et f(0)=1.

(iii) il existe un réel k, tel que, pour tout réel x: f (x) = exp (k x)

Démonstration : ( exercice ) 1. (i) implique (ii) :

Soit f une fonction f non nulle vérifiant, pour tous réels a et b , f ( a+b) = f ( a ) × f ( b ).

Comme la fonction f est non nulle, il existe un réel a tel que f(a) ≠ 0.

f(a +0 ) = f (a) × f(0) donc f(0) =

f a

^{= 1.}

Soit b un réel quelconque fixé et g la fonction définie sur ℝ par g(x) = f ( x + b).

d'après les propriétés de la fonction f, g(x) = f ( x ) × f( b).

g est donc dérivable sur ℝ.

D'une part g'(x ) =(f ( x + b) )' =1× f ' ( x + b ) = f ' ( x + b ) d'autre part, g'(x) = (f(b ) × f ( x) )' = f(b) × f ' (x).

(3)

Comme on a vérifié l'égalité pour un réel b quelconque, on a bien vérifié que pour tout réel b , f '(b) = k f ( b) avec f(0) = 1 ou

∀ x ∈ ℝ : f '(x) = k f ( x) avec f(0) = 1 : cqfd

2. (ii) implique (iii) :Considérons f une fonction dérivable sur ℝ et non nulle.

On suppose que ( i ) est vraie, c'est à dire : il existe un réel k, tel que, pour tout réel x , f '(x) = k f ( x) et f(0)=1.

Alors :

pour tout réel x exp(k x) étant différent de 0 , on peut considérer la fonction g définie sur IR par g(x) =

f x  exp kx

g est le quotient de deux fonctions dérivables sur IR, donc g est dérivable sur IR et on a pour tout x ∈ IR .:

g'(x) = f 'x×expkx– fx×exp 'k x

exp²kx = kfx×expkx– fx×k expk x

exp²kx = 0

g est donc une fonction constante sur IR.

D'autre part on a g(0) = f0

exp0 = 1 1 = 1

Donc pour tout réel x on a g(x) = 1, c'est-à-dire

f x 

exp kx

= 1 c'est-à-dire f(x) = exp(kx) pour tout x ∈IR . 3. (iii) implique (i):

soit le réel k, tel que, pour tout réel x: f (x) = exp (k x).

D'après les propriétés de la fonction exp, f ne s'annule pas sur ℝ

f ( a + b ) = exp ( k ( a+b ) ) = exp ( ka + kb ) = exp ( ka ) × exp ( kb ) = f (a) × f ( b ) On a bien démontrer le théorème.

II. Notation et étude de fonction a) Notation e

^x

On note e le nombre exp(1) . On a e ≈ 2,718.

Donc pour tout entier n :exp (n) = exp ( 1× n ) = exp1

ⁿ

= _e

ⁿ

On généralise la notation à tout réel x : exp ( x ) = e

^x

Règles de calculs : les mêmes que pour les puissances: avec x et y deux réels, n un entier relatif:

e

⁰

=1 e

^xy

=e

^x

× e

^y

e

⁻^x

= 1

e

^x

e

^x−y

= e

^x

e

^y

e

^x



ⁿ

=e

^nx

Exemple:

e

^4x

×e

^x1

e

^2x

⁼ e

4xx1 – 2x

= e

^3x1

Montrer que e

^2x

– 1

e

^2x

1 ⁼

e

^x

– e

^−x

e

^x

e

^−x

. e

^2x

– 1

e

^2x

1 ⁼

e

^x

×e

^x

– e

^x

e

^x

e

^x

×e

^x

 e

^x

e

^x

=

e

^x

e

^x

– 1 e

^x

 e

^x

e

^x

 1

e

^x



= e

^x

– e

^−x

e

^x

e

^−x

b) Étude et représentation graphique de la fonction exponentielle : Propriété:

La fonction exponentielle est dérivable et strictement croissante sur ℝ.

Démonstration : Pour tout réel x :,

exp  x=exp '  x 

d'où

exp '  x 0

donc la fonction exponentielle est strictement croissante.

Pour tout nombre réels x et y : e

^x

=e

^y

⇔ x= y

e

^x

e

^y

⇔ x y

si x ∈]−∞ ; 0[ , 0  e

^x

1

si x ∈]0 ;∞[ , e

^x

1

(4)

Exemple : Résoudre dans ℝ : (E1) e

^x²

= e

^x

puis (E2) e

^{4x – 1}

 1 (E1) ⇔ x² = x x² – x = 0 x ( x – 1 ) = 0 x = 0 ou x = 1 ⇔ ⇔ ⇔ (E2) ⇔ e^{4x – 1}  e

⁰

⇔ 4x – 1 0 ⇔ x  1

4 c) Limites :

lim

x ∞

e

^x

=∞

lim

x −∞

e

^x

=0

Démonstration :

a)

e

^x > x si x0 ( étudier f(x) =

e

^x^{- x ) )}

b) Posons

X =−x

^{, on a}

lim

x −∞

e

^x

= lim

X∞

1 e

^X ^.

X

lim

∞

e

^X

=∞

_donc

lim

X∞

1 e

^X

= 0

et donc

lim

x −∞

e

^x

=0

Conséquences :

x –∞ +∞

exp'(x) +

exp(x) 0

+∞

d) Approximation affine et limite en 0 lim

x0

e

^x

−1

x =1 où , pour x proche de 0 : e

^x

≈ 1 + x

Démonstration :

• Soit

f

la fonction exponentielle :

f  x =e

^x

f

est dérivable en 0 et le nombre dérivé en 0 est :

lim

x0

f 0 x − f 0

x

^{= f '(0)}

Or nous savons que

f ' = f

^donc

f ' 0= f 0=1

Nous avons donc :

lim

x0

e

^x

−1

x =1

IV. Équations différentielles

Exemples : Donner une solution f ( non nulle ) pour chacune des équations différentielles suivantes :

y ' = 2 y avec y(0) = 1 puis sans; y ' = y avec f ( 1 ) = 1; y ' = - y; y ' = - y et f ( 0 ) = 2; y'' = - y ; y' = 2 x

Théorème 1:

Soit a un réel non nul. Les solutions sur ℝ de l'équation différentielle (E) y' = a y sont les fonctions f définies sur ℝ par f(x) = k e

^ax

avec k un réel.

Démonstration:

Sens indirect : montrons que si f(x) = k

e

^ax avec k un réel alors f est une solution de (E).

Soit k un réel ,la fonction f (x) = k

e

^ax est dérivable sur ℝ et f ' (x) = k a

e

^ax = a f (x) donc f est bien solution de (E).

Sens direct: montrons que toutes les solutions de (E) sont de cette forme

(5)

On définie sur ℝ la fonction h par h(x) =

g x

e

^ax ^{= g(x )}

^e

– ax la fonction h est dérivable sur ℝ.

Soit x un réel quelconque : h'(x) = g 'xe^−ax– gxa e^−ax= a g(x) e^−ax - a g ( x ) e^{– ax} = 0 . Donc, pour tout réel x: h'(x) = 0 ainsi k est une fonction constante :pour tout réel x , h(x) = k

Ainsi, pour tout réel x , k =

g x

e

^ax soit g(x) =k

e

^ax

Exemple :

1) Trouver toutes les solutions, définies sur ℝ, de l'équation différentielle : y' + 2 y = 0 2) Trouver toutes les solutions, définies sur ℝ, de l'équation différentielle : 2 y' - 3 y = 0

3) Déterminer la solution f, définies sur ℝ, de l'équation différentielle : y' - 2 y = 0 telle que f ( 0 ) = 3 4) Déterminer la solution f, définies sur ℝ, de l'équation différentielle : 2 y' = y telle que f ( -1 ) = ³ ₂ Théorème 2:

Soient a et b deux réels non nul. Les solutions sur ℝ de l'équation différentielle (E) y' = a y + b sont les fonctions f définies sur ℝ par f(x) = k e

^ax

- b

a ^avec k un réel.

Démonstration : f est une solution de (E)

⇔f ' = a f + b ⇔ f ' = a ( f +

b

a

) ⇔ ( f +

b

a ) ' = a ( f + b a

⁾

Soit la fonction g définie par g(x) = f ( x) + b

a ^{, alors}

f est une solution de (E) g' = a g g est solution de l'équation différentielle (E⇔ ⇔ 1

) : y ' = a y

Les solutions de cette deuxième équation (E

1

) sont, d'après le théorème1, les fonctions g de la forme g(x) = k e

^ax^{où k}^∈

^R.

Les solutions de y ' = a y + b sont alors les fonctions f telles que f (x) = g (x) - b

a ; c’est à dire f(x) = k e

^ax⁻

b

a

^{où k}^∈

^R.

Propriété : Soit a un réel non nul , b x0 et y0 trois réels .

L'équation différentielle y' = a y + b admet une unique solution sur ℝ f vérifiant f ( x

0

) = y

0

Chapitre 2 : Fonction exponentielle

Rappel :( f ( ax + b ) ) ' = a f ' ( ax+b )..