Chapitre IX : LA FONCTION EXPONENTIELLE

(1)

Spécialité 1^ère – Chapitre 9 Page 1

Chapitre IX : LA FONCTION EXPONENTIELLE

I - Définition

Théorème-définition 1 :

Il existe une unique fonction ݂, dérivable sur ℝ, de dérivée ݂’ égale à ݂, et telle que ݂(0) = 1.

Cette fonction est appelée fonction exponentielle.

Remarque 1 :

L’existence d’une telle fonction est admise. L’unicité est démontrée à la page 182 du livre.

Notation : La fonction exponentielle est notée exp : exp : ℝ → ℝ

ݔ ↦ exp (ݔ)

On obtient alors les égalités : exp(0) = 1 et pour tout ݔ réel, (exp(ݔ))′ = exp(ݔ)

II - Propriétés algébriques et notation 1) Relation fonctionnelle

Propriété 1 :

Pour tous réels ݔ et ݕ on a : exp(ݔ + ݕ) = exp (ݔ) × exp (ݕ)

Démo : Tout d’abord, nous avons démontré (page 182 du livre) que exp(ݔ) ne s’annule pas, nous pouvons donc définir la fonction ݃ :

݃(ݔ) =exp(ݔ + ݕ)

exp(ݔ) où ݕ est un réel quelconque fixé.

La fonction ݃ est dérivable sur ℝ comme quotient de fonctions dérivables et :

݃^ᇱ(ݔ) =(exp(ݔ + ݕ))^ᇱ× exp(ݔ) − exp(ݔ + ݕ) × (exp(ݔ))^ᇱ (exp(ݔ))^ଶ

=exp(ݔ + ݕ) × exp(ݔ) − exp(ݔ + ݕ) × exp(ݔ)

(exp(ݔ))^ଶ = 0

Ainsi ݃ est une fonction constante.

Or, ݃(0) =exp(0 + ݕ)

exp(0) =exp(ݕ)

1 = exp(ݕ) On en déduit que, tous réels ݔ et ݕ on a : exp(ݔ + ݕ)

exp(ݔ) = exp(ݕ) ⇔ exp(ݔ + ݕ) = exp (ݔ) × exp (ݕ) Propriété 2 : Conséquences

Pour tous réels ݔ et ݕ et tout entier naturel ݊ on a : 1) exp(−ݔ) = 1

exp (ݔ) ⇔ exp(−ݔ) × exp(ݔ) = 1 2) exp(ݔ − ݕ) =exp (ݔ)

exp (ݕ)

(2)

Spécialité 1^ère – Chapitre 9 Page 2 Démo :

1) D’après la propriété 1 :

Pour tous réels ݔ et ݕ on a : exp(ݔ) × exp(ݕ) = exp(ݔ + ݕ)

En remplaçant ݕ par −ݔ : exp(ݔ) × exp(−ݔ) = exp(ݔ − ݔ) = exp(0) = 1 Et donc : exp(−ݔ) = 1

exp (ݔ) 2) Pour tous réels ݔ et ݕ on a :

exp(ݔ − ݕ) = exp൫ݔ + (−ݕ)൯ = exp(ݔ) × exp(−ݕ) d’après la propriété 1 Or exp(−ݕ) = 1

exp (ݕ) d^ᇱaprès 1) Donc : exp(ݔ − ݕ) = exp(ݔ) × 1

exp (ݕ)= exp (ݔ) exp (ݕ)

2) Lien avec les suites géométriques

Propriété 3 : Soit un réel ܽ et (ݑ_௡) la suite de terme générale exp(݊ܽ) où ݊ est un entier naturel.

1) La suite (ݑ_௡) est une suite géométrique de raison exp (ܽ) et de premier terme ݑ_଴ = 1.

2) Pour tout entier naturel ݊, exp(݊ܽ) = (exp(ܽ))^௡

Démo :

1) ݑ௡ାଵ = exp൫(݊ + 1)ܽ൯ = exp(݊ܽ + ܽ) = exp(݊ܽ) × exp(ܽ) = ݑ௡ × exp(ܽ) ݑ_଴ = exp(0 × ܽ) = exp(0) = 1

La suite (ݑ_௡) est bien une suite géométrique de raison ݍ = exp (ܽ) et de premier terme ݑ଴ = 1. 2) Pour tout entier naturel ݊, ݑ௡ = ݑ଴× ݍ^௡ = 1 × (exp(ܽ))^௡ = (exp(ܽ))^௡

On en déduit que exp(݊ܽ) = (exp(ܽ))^௡ 3) Notation « puissance »

Définition 2 :

L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e : on a alors exp(1) = e.

Remarque 3 :

1) A l’aide de la calculatrice, on obtient e ≈ 2,718 …

2) La propriété 3 avec ܽ = 1 nous permet d’écrire que, pour tout entier naturel ݊ : exp(݊) = exp(݊ × 1) = ሾexp (1)ሿ^௡ = e^௡

De plus, la fonction exponentielle possède les mêmes propriétés que les fonctions puissances, on utilisera donc la notation : pour tout réel ݔ, exp(ݔ) = e^௫

Réécriture, avec cette nouvelle notation, des propriétés déjà rencontrées : Propriété 4 :

1) Pour tout ݔ réel : (e^௫)′ = e^௫ 2) e^଴ = 1 et e^ଵ = e Pour tous réels ݔ et ݕ et tout entier relatif ݊ on a :

3) e^ି௫ = 1

e^௫ 4) e^௫ି௬ =e^௫

e^௬ 5) e^௡௫= ሾe^௫ሿ^௡