Chapitre 04 – Fonction exponentielle

Chapitre 04 – Fonction exponentielle

1/4 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 04 – Fonction exponentielle

I. Equation différentielle

Définition :

En mathématiques, on appelle équation différentielle une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées.

Résoudre une équation différentielle revient à déterminer toutes les fonctions qui sont solutions de cette équation.

II. Définition

Théorème et définition : (démonstration de l’unicité au programme, voir en annexe) Il existe une unique fonction dérivable sur Ë solution de : _^y′=y

y(0)=1. Cette fonction est la fonction exponentielle, notée exp. Remarque : Pour l’instant, nous devons admettre son existence. La méthode d’Euler nous a cependant permis de conjecturer qu’une telle fonction existe. Dans un chapitre ultérieur, nous serons en mesure de vérifier cette conjecture.

III. Propriétés

1. Conséquences de la définition :

• La fonction exponentielle est définie et dérivable sur Ë et ┐x☻Ë, exp′(x)=exp(x)

• exp(0)=1.

2. Relation fonctionnelle caractéristique

Théorème : Pour tous les réels x et y, exp(x+y)=exp(x)×exp(y).

Remarques :

• Relation caractéristique de la fonction exponentielle : la fonction exponentielle est l’unique fonction vérifiant pour tous réels x et y, f(x+y)=f(x)+f(y) avec f(0)=1. Ce théorème est donc équivalent avec celui du II.

• Le principe de la démonstration est à savoir (voir en annexe) 3. Conséquences

Pour tous les réels x et y et pour tout entier relatif p, on a :

• exp(-x)= 1 exp(x)

• exp(x−y)=exp(x)

exp(y) Les démonstrations sont proposées en annexe

• exp(p x)=(exp(x))^p

• exp(x)>0

IV. La notation "puissance" de exp( x)

1. Notation e

Définition : L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, càd que exp(1)=e

Remarque : Le nombre e est un irrationnel (càd un réel non rationnel) dont une valeur approchée est environ 2,718.

2. Notation e^x

On a vu au III.3., que pour tout entier relatif p, exp(p x)=(exp(x))^p, donc en particulier exp(p)=exp(p×1)=(exp(1))^p=e^p. Par analogie et convention, on convient d’étendre cette propriété à tous les réels

Définition : pour tout réel x, on note e^x l’exponentielle de x càd ┐x☻Ë, exp(x)=e^x.

Cette notation permet d’écrire les propriétés du III.3. à l’aide des règles de calculs sur les puissances.

Propriétés :

Pour tous les réels x et y et pour tout entier relatif p, on a :

• e⁰=1

• e^-x= 1 e^x

• e^x+y=e^xe^y

•

( )

• e

1

2= e

•

( )

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2/4 V. Etude de la fonction exponentielle et conséquences

1. Etude de la fonction exponentielle

• Par définition, la fonction exponentielle est définie, dérivable et donc continue sur Ë.

• Par déf, ┐x☻Ë, exp′(x)=exp(x)=ex et ┐x☻Ë, ex>0, donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur Ë.

• L’étude du comportement en l’infini donne les résultats suivants ; lim

x↔+õe^x=+õ et lim

x↔-õe^x=0 (cf demo exo n° 1)

• Tableau de variation et courbe représentative

x −∞ 0 1 +∞

+õ f

0

2. Conséquences de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur Ë, on déduit les propriétés suivantes :

• Quels que soient les réels a et b, e^a=e^bña=b e^a<e^bña<b et e^a>e^bña>b

• Quel que soit le réel x, e^x=1ñe^x=e⁰ñx=0 e^x>1ñe^x>e⁰ñx>0 et e^x<1ñe^x<e⁰ñx<0 3. Approximation affine locale au voisinage de 0 :

La fonction exponentielle est dérivable en 0, on peut donc écrire e^x=e⁰+xexp′(0)+xε(x) avec lim

x↔0ε(x)=0.

On a donc : e^x=1+x+xε(x) avec lim

x↔0ε(x)=0.

Donc pour tout reel x suffisamment proche de 0, on peut écrire e^xó1+x

De plus e^x=1+x+xε(x) donc e^x−1=x+xε(x)=x(1+ε(x)) donc pour tout xý0, e^x−1

x =1+ε(x) Ainsi lim

x↔0

e^x−1 x =1 .

Autre démonstration du dernier résultat :

La fonction exponentielle est dérivable en 0 donc la limite de τ₀(x) =e^x−e⁰

x =e^x−1

x quand x tend vers 0 existe et est finie.

Or, on sait que exp′(0)=e⁰=1, on déduit donc que lim

x↔0

e^x−1 x =1

4. Dérivée de la fonction e^u

Le théorème de dérivation d’une fonction composée permet d’énoncer le théorème suivant :

Théorème : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors la fonction e^u est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction u′e^u càd que la fonction x→e^u(x) est dérivable sur I et sa dérivée sur I est la fonction x→u′(x)e^u(x).

5. Croissance comparée

Théorème : (le principe de démonstration est à connaître – démonstration en annexe) lim

x↔+õ

e^x

x =+õ et lim

x↔-õxe^x=0

Conséquences :

De ces théorèmes, on déduit aussi que pour tout entier naturel n non nul lim

x↔+õ ^ex

xⁿ=+õ et lim

x↔-õxⁿe^x=0 .

On retiendra qu’ à l’infini, en cas de forme indéterminée, l’exponentielle de x l’emporte sur toutes les puissances de x. 1 e

2 -1

2 3 4 5 6

-10 1 1

x y

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3/4 VI. Equation différentielle y ′=ky

1. Cas général

Théorème : Soit k un réel non nul, les solutions sur Ë de l’équation différentielle y′=ky sont toutes les fonctions définies sur Ë de la forme x→Ae^kx avec A☻Ë.

Remarque : des démonstrations guidées proches de celles de ce théorème ont déjà fait l’objet d’exercices de bac. Vous trouverez donc la démonstration de ce théorème en annexe (il faut comprendre la méthode pour pouvoir l’appliquer à d’autres situations)

2. Equation différentielle avec condition initiale

Quels que soient les réels x0, y0 et le réel k non nul, il existe une unique fonction solution de



y′=ky y

( )

( )

3. Retour sur l’activité des noyaux radioactifs

Nous avons montré dans l’activité 1 que la fonction N donnant pour chaque instant t le nombre de noyaux présents d'ans l’échantillon est solution de l’équation différentielle y′=-λy. On déduit donc que N s’écrit sous la forme N(t)=Ae^-λt (A☻Ë).

On sait de plus qu’à l’instant initial, il y a N₀ noyaux dans l’échantillon donc N(0)=N₀. Cette condition initiale permet de déterminer précisément la fonction N. En effet N(0)=Ae⁰=N₀ donc A=N₀ d’où N est la fonction t→N₀×e^-λt

VII. Fonctions transformant une somme en produit

Propriété fonctionnelle caractéristique : Les fonctions f non identiquement nulles et dérivables sur Ë telles que pour tous les réels x et y, f(x+y)=f(x)×f(y) sont les fonctions de la forme x→e^λx (λ☻Ë)

VIII. Exercices

Exercice 1

L’objectif de cet exercice est de montrer que lim

x↔+õe^x=+õ et que lim

x↔-õe^x=0 1. Soit φ la fonction définie sur Ë par φ(x)=e^x−x.

a. En étudiant les variations de φ, montrer que φ est croissante sur [0;+õ[.

b. En déduire que pour tout réel x positif e^xÃx.

c. Conclure

2. En posant X=-x, montrer alors que lim

x↔-õe^x=0

Exercice 2

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

e^-x+7=e^x+3 e^-x−e^x<0 e^-x+3Ã 1

e^x e^-5x=-1 e^3x+1−1Â0 e^2x−e^x−2=0 e^2x+2e^x<3

(Aide : Poser X=e^x pour se ramener à une (in)équation du second degré. On admettra que pour a>0, e^x=añx=ln(a)) Exercice 3

Déterminer les limites demandées 1. f(x)=e^-x en +õ et en –õ.

2. f(x)=e

x+1

x−1 en +õ et en -õ.

3. f(x)=x²+1

e^x−1 en +õ et en 0.

4. f(x)= e^x−x+1 en +õ et en –õ.

5. f(x)=e^3x−1 x en 0.

Exercice 4

Soit f la fonction définie par f(x)=e^x+1 e^x−1.

1. Déterminer l’ensemble de définition D_f de f.

2. Etudier les limites de f aux bornes ouvertes de D_f. 3. Etudier le sens et le tableau de variation de f.

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4/4

Exercice 5 (d’après France, septembre 2005)

Soit f la fonction définie sur [0;+õ[ par f(x)=(20x+10)e^-

x 2.

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal

(

)

2. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

3. Montrer que l’équation f(x)=10 admet une unique solution strictement positive α dans ]0;+õ[ et donner une valeur approchée à 10^-3 près de α.

4. Tracer C_. Exercice 6

On considère la fonction f définie sur [-1;+õ[ par f(x)= 1+x e^-x. 1. Déterminer la limite de f en +õ.

2. a. Vérifier que f est dérivable sur ]-1;+õ[ et calculer f ′(x) pour tout x☻]-1;+õ[.

b. Etudier la dérivabilité de f en -1.

c. Démontrer que f est continue sur [-1;+õ[.

3. Etudier le sens de variation de f sur [-1;+õ[.

Exercice 7 (D’après Batterie Nationale)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal

(

)

2e^2x−2,1e^x+1,1x+1,6.

1. Faire apparaître sur votre calculatrice graphique la courbe représentative de f dans la fenêtre -5ÂxÂ4 et -4ÂyÂ4.

2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer : a. Sur les variations de la fonction f.

b. Sur le nombre de solutions de l’équation f(x)=0.

3. On se propose d’étudier la fonction f.

a. Déterminer le signe de e^2x−2,1e^x+1,1 en fonction des valeurs de x.

b. Déterminer les limites de f en l’infini.

c. Etudier le sens de variations de f.

d. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation f(x)=0.

4. On souhaite représenter sur une calculatrice, la courbe représentative de f sur [-0,05;0,15] de façon à visualiser les résultats de la question 3.

Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ? Exercice 8

Résoudre les équations et systèmes suivants :

y′=3y 2y′−5y=0 3

4y′+y=0 _^2y′−3y=0

y(0)=3 5y′−2y=0 y(5)=e

Exercice 9

Soit f la fonction définie sur Ë par f(x)=

 

 

x+² 3 e

-3x+x−2 3. 1. Déterminer les limites de f en l’infini.

2. Déterminer l’ensemble de dérivabilité de f et de f ′ et calculer alors f ′(x) et f ″(x).

3. En déduire le sens de variation de f ′ puis son tableau de variations.

4. Déterminer alors le signe de f ′ et le tableau de variations de f.