Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2009-2010
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Devoir de mathématique n°1 Enseignement Obligatoire
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1 : Restitution Organisée des Connaissances Prérequis: On suppose connus les résultats suivants:
La fonction exp( ) définie et dérivable sur .
Sa fonction dérivée, notée exp', est telle que, pour tout réel , exp'( ) exp( ).
exp(0) 1.
1) P
x x
x x x
•
• =
• =
֏ ℝ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1,5(
2)
3our tout réel , démontrer que exp exp 1.
2) Pour tout réel et tout réel , démontrer que exp exp exp . Application:
3 2
exp(3 ) exp( ) 1
Calculer:
exp 2 1 1 1 2
1 1
x x x
a x a x a x
e e
x x
A B e C
x
e e
−
− =
+ =
× × −
= = − =
+ −
+ −
( )
3e−2 2×
( )
2
2 2
2
Répondre par Vrai ou Faux aux questions suivantes:
1) La fonction définie sur par ( ) a pour dérivée la fonction 1 . 1
2) La fonction définie sur par ( ) 3 est une solu
x
x x x
x
f f x e x
e
e e
f f x x e
−
= +
+
= −
ℝ ֏
ℝ 2
2 1
2
tion de l'équation ' 2 . 3) L'inéquation 0 a pour ensemble de solutions ;1 .
2 4) L'équation 2 1 admet exactement une solution.
5) lim 2 2.
x
x
x
x
x x
x
y y e
e
e e
e e
− +
→+∞
= − +
> −∞
− = −
− + =
Exercice 2
( ) ( )
( )
2 1
1
2
On considère l'équation différentielle : ' 2 6
On cherche les solutions de l'équation qui ne s'annulent pas. Pour cela on pose 1.
1) Montrer que est solution de l'équation : ' 6 2.
2) R
E y y y
E z
y
z E z z
= −
=
= −
( )
( )
2
1
ésoudre l'équation .
3) En déduire les solutions non nulles de l'équation différentielle . E
E
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Exercice 3
[ [
On considère la fonction définie sur 0; par ( ) 3 1 . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1) Déterminer la dérivée ' et la dérivée '' de la fonction . 2) Dresser l
f f x x xex
f f f
+∞ = + −
[ [
e tableau de variation de ' sur 0; . en précisant sa limite en . 3) Montrer que l'équation '( ) 0 admet une unique solution notée .
4) Vérifier que 0, 6 0, 7.
5) Déterminer la limite de en . 6)
f f x
f
α α
+∞ + ∞
=
< <
+ ∞ Dresser le tableau de variation de .
7) Montrer que l'équation ( ) 0 admet une unique solution notée , Vérifier que 1 3. 2 f
f x = β < <β
Exercice 4
Soit la fonction définie sur par: ( ) 1 sin2 . 1) Démontrer que ( ) ( ) pour tout réel .
2) Démontrer que ( ) ( ) pour tout réel . 3) Justifier pourquoi il suffit d'étudier sur 0;
2
f f x x
f x f x x
f x f x x
f I
π
π
= −
− = + =
=
ℝ
[ ]
. 4) Etudier le sens de variation de sur .
5) Construire la représentation graphique de sur 0; , puis sur ; . 2
(unité: 2 sur l'axe des abscisses et 4 sur l'axe des ordonnées).
f I
f
cm cm
π π π
−
Exercice 5
2
Soit la fonction définie par ( ) 2
3
Déterminer les valeurs des réels a, b, c et d sachant que la représentation graphique de dans un repère:
a) Passe par le point de coordonnées 2; 1
ax bx c
f f x
x dx
f A
= + + + +
(
− 1 et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 9.)
b) Admet la droite d'équation 1 comme asymptote verticale.
c) Admet la droite d'équation 2 comme asymptote horizontale.
x y
−
=
=
