Chapitre 2 : Fonction exponentielle.

Lycée Paul Rey Denis Augier

Chapitre 2 : Fonction exponentielle.

I Approche Globale.

A Un peu d’histoire.

Vers 1605-1610, Jost Bürgi conçoit des tables Jost Bürgi (1552-1632)

de correspondances entre une suite géométrique de premier terme 10⁸ et de raison 1,000 1 et une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 10. (table logarithmique)

Par la suite, au cours du XVII siècle les mathé- maticiens s’intéressent au problème des tangentes (comment tracer les tangentes à une courbe) et le problème inverse des tangentes (comment, connaissant une propriété sur les tangentes, re- constituer la courbe correspondante). La résolu- tion de ces deux problèmes va être grandement facilitée par la mise en place du calcul différen-

tiel chez Newton Isaac Newton

(1643-1727)

et Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

principalement dans la seconde moitié du siècle. En 1638, Florimond de Beaune

Florimond de Beaune (1601-1652)

, qui travaille sur un problème de corde vibrante, demande à René Descartes

René Descartes (1596-1650)

de détermi- ner la courbe dont la tangente vérifie une certaine propriété. En 1639, Descartes ramène le problème à la recherche d’une courbe dont la sous-tangente serait constante. La sous-tangente est la distance qui sépare le projeté du point M sur l’axe des abs- cisses et l’intersection de la tangente en M avec ce même axe des abscisses :

Traduit en langage actuel, cela consiste à cher- cher la courbe d’équation y= f(x) sachant que

f

f¹ “ C. Cette équation différentielle a pour so-

lutions les courbes d’équation : y“Ae^Cx

Euler Leonhard Euler

(1707-1783)

donne le développement en série de l’expo- nentielle, introduit en 1731 la notation avec la lettre e et surtout est le premier à faire inter- venir les fonctions trigonométriques et exponen- tielles comme solutions d’équations différentielles.

Nous ne choisirons pas cette approche pour l’introduction de la fonction exponentielle mais plutôt celle des suites géométriques vues au cha- pitre précédent.

B Attendus.

• Savoir manipuler les propriétés algébriques de l’exponentielle pour simplifier une expression.

• Savoir déterminer les variations d’une fonction de baseq.

• Connaitre les formules de dérivation et déterminer les dérivées de fonctions faisant intervenir l’exponentielle (e^x).

• Savoir utiliser la formulepe^uq¹“u¹e^u.

• Savoir étudier les variation d’une fonction.

• Savoir déterminer l’équation d’une tangente.

• Déterminer la position relative de deux représentations.

• Résoudre des équations et des inéquations.

• Faire une étude de fonction : calcul de la dérivée et tableau de variation.

• Trouver des extremums à partir de l’étude de la fonction.

C Démonstrations à connaître.

• Unicité de la fonctionf définie surRet vérifiant :

fp0q “1 et @xPR;f¹pxq “fpxq

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• lim

xÑ´8exppxq “0

• lim

xÑ`8exppxq “ `8

• Propriétés algébriques de l’exponentielle.

— e^x`y“e^xˆe^y

— e^y´x“ ^e_e^yx

— pe^xq^y“e^xy

— pe^nx“ pe^xqⁿ

• Formule :pe^uq¹“u¹e^u. (Juste savoir que c’est la conséquence immédiate depu˝vq¹“v¹ˆu¹˝v.)

II Définition.

Autre façon de définir la fonction

exponentielle :

• équation fonctionnelle,

• fonction réciproque de la fonction logarithme népérien.

• lim

nÑ`8

`1`^x_n˘_n

Il existe une unique fonction f dérivable surRtelle que :

fp0q “1 et @xPR;f¹pxq “fpxq (1) Cette unique solution est appelée fonction exponentielle et est notée :

exppxq ou e^x Définition-Proposition 1

Démonstration 1. Supposons l’existence de deux fonctions f et g définies sur R vérifiant la même propriété (1) (égales ou différentes).

On définie la fonctionhpar :

hpxq “gpxq ˆfp´xq

Alors en utilisantg¹“get h¹“h: On utilise ici la

formule :

pu˝vq¹“v¹ˆu¹˝v

h¹pxq “g¹pxq ˆfp´xq ´gpxq ˆf¹p´xq “gpxq ˆfp´xq ´gpxq ˆfp´xq “0 Donchest une fonction constante, or :

hp0q “gp0q ˆfp0q “1 Donchest une fonction constante égale à 1.

On montre aussi que toute fonction vérifiant (1) est non nulle surR. Par ailleurs, comme on peut choisirg“f, pour toutxPRon a :

fpxq ˆfp´xq “1ôfp´xq “ 1 fpxq Enfin, pour toutxPRon obtient donc :

hpxq “1“gpxq ˆ 1

fpxq ôgpxq “fpxq D’où l’unicité de la fonction vérifiant (1).

La fonction exp est continue et dérivable sur Ret sa dérivée est elle-même :

A retenir 1. . On obtient donc le cas particulier :

´ e^ax`b

¯₁

“ae^ax`b

exp¹pxq “exppxq Si l’on considère une fonction u dérivable alors :

exppupxqq¹“u¹ˆexppxq Que l’on note aussi :pe^uq¹“u¹e^u.

Corolaire 2

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III Étude de la fonction exponentielle.

A Tableau de variation.

A retenir 2. . On remarque que exp est croissante et positive.

x exppxq exppxq

´8 `8

`

0 0

`8

`8 0

1

B Limites.

On justifie ici les limites aux bornes du tableau de variation précédent.

• lim

xÑ´8exppxq “0 • lim

xÑ`8exppxq “ `8 Proposition 3

Démonstration 2. On fait l’étude de fpxq “e^x´ px`1q.

f¹pxq “e^x´1

D’après le tableau de variation précédent, e^xě1 surR^` :

En effetfp0q “0.

Doncfpxq ě0, donc e^xěx`1.

Comme lim

xÑ`8x`1“ `8alors lim

xÑ`8e<sup>x</sup>“ `8.

x f¹pxq

fpxq

0 `8

`

0 0

`8

`8

Démonstration 3. lim

xÑ´8e^x“ lim

xÑ´8

1

e^´x “ lim

xÑ`8

1 e^x “0

C Représentation graphique.

A retenir 3. . On remarque que la fonction est convexe.

Ceci puisque :

@xPR, exp²pxq “exppxq ą0 Donc les tangentes à la courbeCexp sont systématiquement "en dessous".

On détermine la tangente àCexp en utilisant la formule :

y“exp¹p0qpx´0q `expp0q “x`1

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D Propriétés algébriques et fonctionnelles.

A retenir 4. . C’est propriétés permettent de justifier la notation puissance

e^x

Si l’on reprend les propriétés de la partie précédente avec l’écriture fonctionnelle, pour tous x et y réels etnPZ

A retenir 5. . Formule sur les puissances :

• a⁰“1

• a^n`m“aⁿa^m

• a^m´n“ a^m a^m

• paⁿq^m“a^nˆm

• pabqⁿ“aⁿˆbⁿ

:

• expp0q “1

• exppx`yq “exppxq ˆexppyq

• exppy´xq “ exppyq exppxq

• exppxq^y“exppxyq

• exppnxq “ pexppxqqⁿ

• e⁰“1

• e^x`y“e^xˆe^y

• e^y´x“ ^e_e^yx

• pe^xq^y“e^xy

• pe^nx“ pe^xqⁿ

A retenir 6. . Ici, si l’on choisit e»2,71 on peut vérifier la similitude des valeurs exppxqet 1,71^x.

Proposition 4

Démonstration 4. On définie la fonctionhpar :

hpxq “exppx`yq ˆexpp´xq Alors :

h¹pxq “exp¹px`yq ˆexpp´xq ´exppx`yq ˆexp¹p´xq “hpxq ´hpxq “0

Donchest une fonction constante. Donc : @xPR, hpxq “hp0q “exppyqOn rappel que expp´xq “ 1

exppxq, donc pour tous x et y deR, on a :

exppyq “exppx`yq ˆexpp´xq “exppx`yq

exppxq ôexppx`yq “exppxq ˆexppyq Démonstration 5. Avec la propriété précédente :

exppy´xq “exppyq ˆexpp´xq “ exppyq exppxq

Démonstration 6. On commence par étudier le cas n ě 0. On pose : "P_n : pe^nx “ pe^xqⁿ" pour démontrer cette propriété par récurrence.

On a évidemment : expp0ˆxq “expp0q “1 et exppxq⁰“1. Donc P₀ est vrai.

Ensuite, pournPN, on suppose vrai la propriétéPn :pe^nx“ pe^xqⁿ.

expppn`1qxq “exppnx`xq “exppnxq ˆexppxq “ pexppxqqⁿˆexppxq “ pexppxqq^n`1

IV Compléments.

A Lien avec le logarithme.

A retenir 7. . Les fonctions ln et exp sont réciproques l’une de l’autre.

• @xPR, ln e^x“x • @xPs0,`8r, e^lnx“x Proposition 5

B Définition de la puissance.

Soit a un réel strictement positif. Pour tout réelx, on définita^xpar : a^x“e^xˆlna

Définition 1

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