Le 22 octobre2010, durée2 heures MÉDIAN MÉDIAN
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'attribution de la note. Le barème est donné à titre indicatif. Matériel autorisé : une feuille A4 de notes et la calculatrice.
Le sujet comporte trois exercices, merci de rendre une copie par exercice
Exercice 1 Un Poisson ( 8 points )
Dans cet exercice on considèreγ la courbe paramétrée dénie par γ(t) = (cos(t)−
√ 2
2 cos2(t),sin(t) cos(t)) 1. Montrer qu'on peut réduire l'intervalle d'étude à [0, π].
2. Étudier les variations et déterminer le point singulier de la courbe dont on fera l'étude (on admettra que la courbe n'admet pas de points d'inexion).
3. Tracer la courbe (vous ferez apparaître les tangentes remarquables).
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Exercice 2 Un peu de calcul ( 7 points )
On considère la courbe paramétrée dansR3, dénie sur[0, π]parγ(u) = (x(u), y(u), z(u))
avec
x(u) = (1 + cos(u)) cos(u) y(u) = (1 + cos(u)) sin(u) z(u) = 4 sin(u
2)
1. En utilisant le formulaire1 montrer queγ0(u) = 2 cos(u2)
−sin3u2 cos3u2
1
. 2. En déduire la longueurL de la courbe pouru∈[0, π].
3. Déterminer le repère de Frenet au point γ(u). 4. Calculer la courbure et la torsion en γ(u)
Indication : on pourra éviter d'avoir recourt aux formules trop calculatoires en considèrant(t(s), n(s), b(s))le repère de Frenet associé à la parmétrisation normale de γ et en dérivant les expressions T(u) =t(s(u))etB(u) = b(s(u)) pour obtenir k(s(u))etτ(s(u)).
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1. Formulaire : 2 sin(u) cos(u) = sin(2u), cos2(u) − sin2(u) = cos(2u), sin(u) + sin(2u) = 2 cos(u2) sin(3u2),cos(u) + cos(2u) = 2 cos(u2) cos(3u2)
Exercice 3 Développée et développante ( 7points ) On considère α :I → R2 une courbe paramétrée par longueur d'arc et de courbure k(s) (on supposera k(s) 6= 0 pour tout s ∈ I). On note (t(s), n(s)) le repère de Frenet associé. On rappelle que la développée deα est la courbe paramétréeβ:I →R2 dénie parβ(s) =α(s) +k(s)1 n(s).
1. Montrer qu'en général β n'est pas paramétrée par longueur d'arc.
2. Soitk(s)˜ la courbure de β en s, montrer que ˜k(s) =|k3(s) k0(s)|.
3. Vérier qu'une courbe α de courbue k(s) qui satisfait la condition 1
k(s)2 = 2as (avecaconstante positive) admet pour développée un cercle de rayona(la courbe α est appelée développante du cercle).
4. Résoudre l'équation diérentielle y0 +ay3 = 0 (c'est une équation de Bernouilli qu'on résout avec le changement de variableu = y12). En déduire que si α est une courbe plane de courbure décroissante (k0(s)<0) dont la développée est un cercle de rayona, alorsα est une développante de cercle (c'est à dire vérie k21(s) = 2as).
Le 22 octobre2010, durée2 heures Élément de correction Élément de correction
Exercice 1 Exercice 2
1. Sans surprise il faut dériverγet appliquer le formulaireγ0(u) = 2 cosu2
−sin3u2 cos3u2
1
. 2. On en déduitkγ0(u)k=
q
4 cos2 u2((−sin3u2 )2+ (cos3u2 )2+ 12) =p
4 cos2 u2 ×2 = 2√
2p
cos2 u2. Oru∈[0, π]donc u2 ∈[0,π2]. Ainsi pour toutu∈[0, π]on acosu2 >0, on en déduit, pour u∈[0, π],p
cos2 u2 = cosu2. D'où L=
Z π O
kγ0(u)kdu= Z π
0
2√ 2 cosu
2du= [4√ 2 sinu
2]π0 = 4√ 2 3. Calcul du repère de Frenet :
Le vecteur tangent s'obtient facilement T(u) = γ0(u) kγ0(u)k =
√2 2
−sin3u2 cos3u2
1
. On obtient le vecteur normal en calculantN(u) = T0(u)
kT0(u)k. OrT0(u) =
√2 2
−32cos3u2
−32sin3u2 0
etkT0(u)k=
√2 2
q9
4cos2 32u +94sin2 3u2 = 3
√2
2 . Ce qui donneN(u) =
−cos3u2
−sin3u2 0
. Enn on obtient le vecteur binormalB(u) =T(u)∧N(u) =
√ 2 2
sin3u2
−cos3u2 1
. 4. Calcul de la courbure et la torsion. On considère γ˜ une paramétrisation normale
telle queγ˜◦s=γ oùsest l'application abscisse curviligne. On note(t(s), n(s), b(s)) le repère de Frenet au pointγ˜(s).
Dérivons l'égalitéT(u) =t(s(u)), on obtientT0(u) =t0(s(u))s0(u) =k(s(u))n(s(u))kγ0(u)k qui donne en prenant la norme k(s(u)) = kT0(u)k
kγ0(u)k. On obtient alors k(s(u)) = 3
4 cosu2.
De mème dérivons l'égalité B(u) =b(s(u)) on obtient B0(u) =b0(s(u))s0(u)) =
−τ(s(u))n(s(u))kγ0(u)k. OrB0(u) = 32
cos3u2 sin3u2
0
etkγ0(u)kn(s(u)) = 2√
2 cosu2N(u) =
2√ 2 cosu2
−cos3u2
−sin3u2 0
. À partir de l'égalitéB0(u) = −τ(s(u))N(u)kγ0(u)k on rn déduitτ(s(u)) =− 3
4 cosu2. Exercice 3
1. On a β0(s) = (α(s) + k(s)1 n(s))0 = α0(s) + (−kk20(s)(s))n(s) + k(s)1 (−k(s)t(s)) d'après les équations de Frenet. En rappelant que α0(s) = t(s) on obtient β0(s) = t(s)−
k0(s)
k2(s)n(s)−t(s) = −kk20(s)(s)n(s). En prenant la norme cela donne kβ0(s)k =|k0(s) k2(s)|. Or a prirori la fonction|k0(s)
k2(s)| 6= 1, donc on peut considérer qu'en généralβ n'est pas paramétrée par longueur d'arc.
2. Commeβ n'est pas paramétrée par longueur d'arc on utilise l'expression de la cour- bure dans le cas général, à savoirk(s) =˜ kβ0(s)∧β00(s)k
kα0(s)k . Orβ00(s) = (−k0(s)
k2(s)n(s))0 = (−kk20(s)(s))0n(s)−kk20(s)(s)(−k0(s)t(s))d'après les équations de Frenet dans le plan. D'où β0(s)∧β00(s) = (−k0(s)
k2(s)n(s))∧((−kk20(s)(s))0n(s)−kk20(s)(s)(−k(s)t(s)) =−k0(s)2 k(s)3n(s)∧ t(s). Orkβ0(s)k=|k0(s)
k2 (s)|ce qui donne
˜k(s) =
|k0(s)2
k(s)3|
|kk(s)0(s)63| =|k(s)3 k0(s)|
3. On suppose queαvérie 1
k2(s) = 2as. En dérivant cette condition devient−−2k0(s) k3(s) = 2a. En prenant la valeur absolue cela donne|k0(s)
k3(s)|=a. Si on constuitβla dévelop- pée de α la question précédente montre que la courbure de β est k(s) =˜ 1
a. Donc β est une courbe plane à courbure constante égale à 1
a, c'est à dire β est un(e) (portion) de cercle de rayona.
4. En posant u = 1
y2 l'équation y0 +ay3 = 0 devient u0−2a = 0. On résout cette équation ce qui donne u(s) = 2as c'est à dire 1
y2(s) = 2as. Prenons maintenant une développée β d'une courbe α telle que β soit un cercle (ou une portion de cercle) de rayona. La courbe β est donc de courbure constante ˜k(s) = 1
a. Comme
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˜ks'exprime en fonction dekla courbure deαon a|k3(s) k0(s)|= 1
a,k0(s)étant négative par hypothèse on enlève la valeur abolue :−k3(s)
k0(s) = 1
a ⇔k0(s) +ak3(s) = 0. Or on vient de résoudre cette dernière équation et la solutionk doit vérier 1
k2(s) = 2as ce qui implique queα est bien une développante de cercle.