Sur une formule relative aux tangentes

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T. J OACHIMSTHAL

Sur une formule relative aux tangentes

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 12

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SUR UNE FORMULE RELATIVE AUX TANGENTES;

PAR M. T. JOACHIMSTHAL (*).

La formule dont j e vais donner la démonstration est la suivante :

tang m x tang mx. tang ( m — i)x

i — , . . .

tang x tang x . tang i x

m

= ( — i )2 tang mx. tang (m—i)x... t a n g x , p o u r m p a i r ;

= o , p o u r m impair.

(*) Maintenant professeur à l'Université de Halle.

2 1 ,

( 3 2 4 )

On la démontre par une méthode dont M. Gauss s'est servi pour deux séries bien connues, d'une forme sem- blable.

En désignant

tang mx. tang (m — \)x.. . tang [m — p 4- i)x .

, ___ l ff] n )

tang^r. tang 2 a,¹. . . tang px on aura

(1) ( m ,. \ / \ tang(iw — a) x

(m, u + i = (m, p) —?-) 4—,

V r V r y tang ( p - M ) *

(/W — I , tl -+- l ) = ( m 1,

' ; t a n g ( ^ - + - i)x

II suit de là

(m 7 f * 4 - i ) — (m— 1, ft-f- 1)

( m , p.) tang (m — p.) x — (m — 1, p.) tang (/?? — p —

tang ma; — tang (m — p — 1 ) x

= (m — 1, p) [1 -+• tang /wo: tang (/w — p — 1) x ] ,

ou bien

(m — i , p) = (/w — 1, f * + 1) - f - ( w — 1, f*) -H (m — 1, p) tangmx tang (m — p. — 1) .r.

A l'aide de cette formule on peut décomposer les termes de la série

1 — (#w, i ) - h ( i w , 2) — . . . =/[m)9

comme il suit :

1 = 1

_ ( m , 1) = — ( w — i , 1 ) — 1 — t a n g w x t a n g ( w — i ) . r , ( w , 2 ) = (/w — 1, 2 ) - h ( m — 1, 1)

-f- t a n g w x t a n g (m — 2 ) x.(m — 1, 1 ) ,

( 3*5 )

~ ( w , 3 ) = — ( w — i , 3 ) — ( / » — 1 , 2 )

— t a n g / w . r . t a n g ( m — 3 ) x.{m — i , 2 ) ,

e ( m , /w — 1 ) = s ( m — 1, m — 1) 4 - e (m — 1, m — 2 ) -h g tang mx tang #.(/?? — 1, m — 2 ) ,

— 6 (m ^y m) = — e (m — 1, m — 1 ) ,

En additionnant ces équations, on trouve

"" tang (m — 1) x

rl » — [ m — i , i ) t a n g ( / / * — 2)0;

ƒ / « ) = - t a n g w x w / ^ I»

-f- (w — 1,2) tang [m—ô) x • _ —. . . 4- e (/w — 1, /w — 2) tang x__

mais, en vertu de la relation (1), on a

(m— 1, 1 ) tang(w — 2) x = (/w — 2, 1 ) tang (/w — i).r, ( //? — i, 2) tang (m — 3) x = (w — 2, 2^) tang (//2 — 1) J , etc.,

donc

ƒ (m) ==—tang^jc tang(w—I)«^[I—(rn — 2, i)4-(w—2,2)—...], e t , p a r s u i t e ,

(3) J(m) = — tang/?z.r tang (/w — \)xf{m —- 2 ) , ou b i e n , p a r un calcul bien simple,

( ƒ ( / « ) =(-— i)n tangwjf tang(/w — i)x. . .

En remarquant qu'on a

/(o) = i, /(i) = o,

on parvient à l'équation

f[m)z=z (— 1 )2 tang mx tang (w — 1 ) x. . . tang.r,

1 ' pour m pair,

= o, pour m impair;

ce qu'il fallait démontrer.

( 3,6 )

M.Heine (*), auquel j'avais communiqué ces résultats, m'en a donné une démonstration analogue à celle qu'il a publiée pour les deux séries de M. Gauss. (CRELLE, Jour- nal de Mathématiques, tome XXXIX , p. 288 *, i85o.)

Il prend pour point de départ les équations

(i-{-<7.r)(i-|-<72.z)(i-f-<73.r)... 1 -t- q

l 9M

" ( l - f ) ( 1 - 9 ' )

En les multipliant, on obtient

m = oo 1 _ v ^ ('-+-'

; — xl

X i

m — o

l — q I - h 7m I — 7 1 — 72 I - h qm I -+- ^'w~

donc

I H- 7 ! — 71" I -|- q 1 + ^ I — <7r" I — qm

! — q ! _{_ jy"» 1 — <jr 1 — <jr2 1 + qm

)•> p o u r / w p a i r , ) *

;

= 0, pour m impair;

ce qui coïncide avec l'équation (5).