Chapitre V : Fonction exponentielle

(1)

Chapitre V : Fonction exponentielle

Objectifs :

Démonstration : démontrer qu'il existe une unique fonction tq f ' =f et f(0)=1 [existence admise, unicité à démontrer]

1. Connaître le sens de variation, et la représentation graphique.

Démonstration : démontrer que

lim

x→+∞

e

^x= + ∞ et que

lim

x→−∞

e

^x^{= 0.}

2. Connaître et exploiter

lim

x→+∞

e

^x

x

^{= + ∞ et}

lim

x→−∞

xe

^x = 0.

3. Utiliser la relation

f ' =f

pour transformer une relation.

Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle

Histoire des sciences

Leonhard EULER (1707-1783) est un mathématicien suisse à qui nous devons beaucoup de notations mathématiques utilisées de nos jours :

- il fut le premier à écrire f(x) pour désigner l’image de x par la fonction f ; - il nota i le nombre imaginaire utilisé dans le chapitre des nombres complexes ; - il introduisit la lettre e pour la base de la fonction exponentielle ;

- il utilisa la lettre  pour désigner une somme.

- …

Il est l’un des plus grands et des plus complets mathématiciens du XVII

^e

siècle. Il fit de nombreuses découvertes en analyse, en calcul infinitésimale, en théorie des graphes, en mécanique, en dynamique des fluides, en optique, en astronomie …

Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant f(0) = 1 et, pour tout réel x, f '(x)=f(x).

Le but de cette activité est de représenter une fonction f qui satisfasse à ces

deux conditions, en utilisant une suite.

Soit h un nombre réel très petit. On pose : x

0

=0 et, pour tout n entier naturel, x

n+1

=x

n

+h.

y

0

=f (0) et, pour tout n entier naturel, y

n

=f (x

n

).

1. Peut-on calculer y

1

?

...

(2)

2. Démontrer que lim

h

→

0

y

_n+1

− y

_n

h = y

_n

.

...

3. On interprête la relation précédente de la façon suivante : pour h suffisamment petit, y

_n+1

− y

_n

h ≈ y

_n

. En déduire une relation qui permette de

calculer une valeur approchée de y

n+1

à partir de y

n

.

...

4. Reproduire la page de tableur ci-contre.

5. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir x

1

? …...

Recopier cette formule jusqu'en B21.

6. Entrer la valeur de y

0

en C2. Quelle formule faut-il écrire en C3 pour obtenir

une approximation de y

1

? …...

Recopier cette formule jusqu'en C21.

7. Modifier la valeur de h en D4 et vérifier que cela modifie les valeurs des approximations de y

n

.

8. En prenant h=0,001, calculer une approximation de f (1) : …...

(3)

Cours n°1

Chapitre V : Fonction exponentielle

I) Définition de la fonction exponentielle

Propriété n°1 (Unicité et existence de la fonction exponentielle)

Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur IR , telle que f '=f et f(0)=1.

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et est notée exp.

On a donc : pour tout réel x, exp'(x)=exp(x) et exp'(0)=1 Démonstration (R.O.C.) :

● L'existence est admise.

● Démonstration de l'unicité : On montre d'abord que

→ f ne s'annule pas sur IR :

On définit : (x)=f(x)×f(–x).

Alors ' (x) = …...

Donc '(x) = ….

Donc (x) est constante.

Or (0) =…...=...car f(0)=....

Donc (x) = …... (1)

Supposons qu'il existe a tel que f(a)=0 (2).

Alors (a) = …... = …... ce qui est en contradiction avec (1) . Donc (2) est impossible.

Unicité

→ :

Soit g une autre fonction telle que g '=g et g(0)=1.

Calculons ( ^g ^f )

^'

^:

...

(4)

Donc ( ^g ^f ) ⁽ ^x ⁾ =...

Or ( ^g ^f ) ⁽⁰⁾ =...

Donc : …...

...

Propriété n°2

1. La fonction exponentielle est positive sur IR 2. La fonction exponentielle est croissante sur IR

Démonstration :

D'après la démonstration précédente, f ne s'a... . De plus, f (0) = …... Donc f est …... sur IR .

De plus, comme f ' = f , f ' est aussi …... sur IR . Donc f est …... sur IR.

II) Propriétés de la fonction exponentielle Propriété n°3

Pour tout réel x, exp (− x)= 1

exp ( x )

Démonstration : On définit : (x)=f(x)×f(–x).

D'après la démonstration précédente, (x) est constante et vaut 1. D'où la propriété.

Propriété n°4

Pour tous réels a et b, exp(a + b)=exp(a) × exp(b)

(5)

Démonstration : On définit : g ( x )= exp ( x + b)

exp(b ) On calcule la dérivée de g :

...

g'(x)=... et g(0)=... donc g est ... ... ...

D'où :...

...

Exemple n°1 :

Simplifier exp( x+ 2)

exp x :

...

Exemple n°2 :

Étudier les variations de f (x)=exp(x)+2x :

...

(6)

...

Exercice n°1 Ex.1 p.114 Exercice n°2

Ex.4 p.114

Cours n°2

Propriété n°5

Pour tous réels a et b, exp(a – b)= exp (a) exp (b)

Démonstration

Conséquence des propriétés n°3 et 4

...

Propriété n°6

exp(na)=(exp(a))

ⁿ

.

(7)

Démonstration (par récurrence) :

...

Exercice n°3 Ex.21 p.114 Exercice n°4

Ex.63 p.115

Cours n°3

III) Notation e

^x

Définition n°1

L'image de 1 par la fonction exponetielle est notée e, c'est à dire exp(1)=e Pour tout nombre entier n, on a exp(n) = exp(n×1) = [exp(1)]

ⁿ

= e

ⁿ

On étend cette définition aux nombres réels :

Définition n°2

Pour tout nombre réel x, l'image de x par la fonction exponentielle se note e

^x

(8)

Les propriétés, déjà démontrées, s'écrivent avec cette notation :

Propriété n°7

Soient x, a et b trois nombres réels et n un entier relatif.

1. ( e

^x

)

^'

=... . 2. e

⁰

=... . 3. e

^a^+b

=... . 4. e

^−a

= ...

... et e

^a−b

= ...

...

5. ^e

^na

^=... ^.

Exemple n°3 :

Simplifier les expressions suivantes :

a. e

^x

×e

^-x

...

b. ( e

²^x

)

²

^× ( e

^−x

)

³

…...

c. e

³^x

×e

⁴^x

e

²^x−1

…...

Exemple n°4 :

Démontrer, pour tout nombre réel x, que e

^x

1+e

^x

= 1

1+e

^−x

...

Exercice n°5 Ex.67 p.116 Exercice n°6

Ex.70 p.116

(9)

Cours n°4

IV) Limites de la fonction exponentielle Propriété n°8

1. lim

x

→+∞ e

^x

=.... . et 2. lim

x

→−∞ e

^x

=.. .

Démonstration (R.O.C) : 1. Démonstration de lim

x

→+∞ e

^x

=... :

Soit f(x) = e

^x

– x. f est définie, continue, et dérivable sur IR . Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

En déduire que, pour x ∈ [0;+ ∞[ , e

^x

>x :

...

Conclure :

…...

2. Démonstration de lim

x

→−∞ e

^x

=...

lim

x

→−∞ e

^x

= lim

x

→−∞

1 e

^−x

= lim

x

→+∞

1 e

^x

=.... .

Propriété n°9

1. lim

x

→+∞

e

^x

x =... . , 2. lim

x

→−∞ xe

^x

=.. . et 3. lim

x

→−∞

e

^x

−1 x =...

Démonstration : 1. Démonstration de lim

x

→+∞

e

^x

x =... . : Soit f(x) = e

^x

– x

²

2 .

(10)

Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

En déduire que, pour x ∈ ^{[0;+ ∞[} , e

^x

> x

²

2 ...

...

Conclure :

…...

2. Démonstration de lim

x

→−∞ xe

^x

=.. .

xe

^x

= x

e

^−x

= – ...

...

3. Démonstration de lim

x

→−∞

e

^x

−1 x =...

Le nombre dérivé en 0 de la fonction x → e

^x

vaut …... et

...

Propriété n°10 (tableau de variation et repésentation graphique)

x – ∞ + ∞

f ' ( x ) ...

f ( x )

…..

(11)

Exemple n°5

Calculer les limites en –∞ et en +∞ de la fonction f définie sur IR par f (x)=e

^x

– x + 1.

...

Exemple n°6

Calculer lim

x

→+∞

e

^x

x−1 =.. .

...

Exemple n°7

Calculer lim

x

→+∞

e

^x

−1 e

^x

+ 1 =.. .

...

(12)

...

Exercice n°7 Ex.6 p.114 Exercice n°8

Ex.9 p.114 Exercice n°9

Ex.19 p.114 Exercice n°10

Ex.35 p.115 Exercice n°11

Ex.43 p.115 Exercice n°12*

Ex.61 p.116 Exercice n°13*

Ex.70 p.116 Exercice n°14*

Ex.96 p.117 Exercice n°15*

Ex.107 p.118 Exercice n°16***

Ex.173 p.131

Cours n°5

V) Equations et inéquations comportant la fonction exponentielle.

Propriété n°11

1. Soient a et b deux expressions. Alors l'équation e

^a

= e

^b

est équivalente à l'équation …...

2. Soient a et b deux expressions. Alors l'inéquation e

^a

<e

^b

est équivalente à l'inéquation …... .

Démonstration :

La fonction exponentielle est strictement croissante.

(13)

Exemple n°8

Résoudre e

^–x+7

=e

^{x+3 :}

...

Exemple n°9

Résoudre e

^2–x

=1

^:

...

Exemple n°10

Résoudre e

^2x

+2e

^x

– 3= 0.

^:

...

Exemple n°11

Résoudre e

^2x

 1

...

Exercice n°17 Ex.23 p.114 Exercice n°18

Ex.29 p.115 Exercice n°19

Ex.80 p.116

(14)

Exercice n°20 Ex.87 p.117

Cours n°6

VI) Exponentielle de fonctions Propriété n°12 (admise)

Soit u une fonction définie, continue et dérivable sur I.

La fonction e

^u(x)

est dérivable sur I et sa dérivée est u'(x)×e

^u(x)

.

Exemple n°12

Calculer la dérivée de f(x) = e

^-x

.

...

Exemple n°13

Calculer la dérivée de f(x) = e

^x²+x

.

...

Exemple n°14

Calculer la dérivée de f(t) = (3 – t)e

^t²

.

...

Exercice n°20 Ex.47 p.115 Exercice n°21

Ex.52 p.115 Exercice n°22

Ex.117 p.118

(15)

Exercice n°23*

Ex.121 p.118 Exercice n°24**

Ex.130 p.119 Exercice n°25***

Sujet B p.127 Exercice n°26

Sujet C p.127

(16)

Résultats ou indices