Chapitre n°5 : Fonction exponentielle Objectifs :

(1)

1/17 -

Chapitre n°5 : Fonction exponentielle Objectifs :

Niveau a eca n

C5.a ¹ R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.

C5.b ¹ Connaître et utiliser les variations de la fonction

exponentielle.

C5.c ¹ Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

C5.d ² Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

C5.e ¹ Maîtrise des propriétés avec la notation e^x.

C5.f ¹ R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g ¹ Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h ² Limites avec la fonction exponentielle.

C5.i ¹ Équations et inéquations comportant des exponentielles.

C5.j ¹ Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle

Leonhard EULER (1707-1783) est un mathématicien suisse à qui nous devons beaucoup de notations mathématiques utilisées de nos jours :

- il fut le premier à écrire f(x) pour désigner l’image de x par la fonction f ; - il nota i le nombre imaginaire utilisé dans le chapitre des nombres imaginaires - il introduisit la lettre e pour la base de la fonction exponentielle ;

- il utilisa la lettre  pour désigner une somme.

- …

Il est l’un des plus grands et des plus complets mathématiciens du XVII^e siècle. Il fit de nombreuses découvertes en analyse, en calcul infinitésimale, en théorie des graphes, en mécanique, en dynamique des fluides, en optique, en astronomie …

Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant : (1) f(0) = 1 et,

(2) pour tout réel x, f '(x)=f(x).

Le but de cette activité est de représenter une fonction f qui satisfasse à ces deux conditions, en utilisant une suite.

Soit h un nombre réel très petit. On pose : x0=0 et, pour tout n entier naturel, xn+1=xn+h.

y0=f (0) et, pour tout n entier naturel, yn=f (xn).

1/17

(2)

2/17 -

1. Calculer y1 en fonction de f(h).

...

2. Démontrer que

lim

h

→

⁰

y

_n+1

− y

_n

h = y

_n.

...

3. On interprète la relation précédente de la façon suivante : pour h suffisamment petit,

y

_n+1

− y

_n

h ≈ y

_n. En déduire une relation qui permette de calculer une valeur approchée de yn+1 en fonction de yn et de h, puis une relation en fonction de yn, xn et xn+1.

...

4. Reproduire la page de tableur ci-contre.

5. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir x1 ?

…...

Recopier cette formule jusqu'en B21.

6. Entrer la valeur de y0 en C2. Quelle formule faut-il écrire en C3 pour obtenir une approximation de y1 ?

…...…

...………...

Recopier cette formule jusqu'en C21.

7. Modifier la valeur de h en D4 et vérifier que cela modifie les valeurs des approximations de yn.

8. En prenant h=0,001, calculer une approximation de f (1) : …...

2/17

(3)

3/17 -

Cours n°1

Chapitre n°5 : Fonction exponentielle

I) Définition de la fonction exponentielle

Propriété n°1 (Unicité et existence de la fonction exponentielle)

Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur R , telle que f '=f et f(0)=1 Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et est notée exp.

On a donc : pour tout réel x, exp'(x)=exp(x) et exp'(0)=1

Démonstration (R.O.C.) :

● L'existence est admise.

● Démonstration de l'unicité :

=> On montre d'abord que f ne s'annule pas sur IR : On définit :

(x)=f(x)×f(–x).

Alors ' (x) = …...

Donc ' (x) = ….

Donc (x) est constante.

Or (0) =…...=...car f(0)=....

Donc (x) = …... (1)

Supposons qu'il existe a tel que f(a)=0 (2).

Alors (a) = …... = …... ce qui est en contradiction avec (1) . Donc (2) est impossible. Donc f ne ………...

=> Unicité :

Soit g une autre fonction telle que g '=g et g(0)=1.

Calculons

( ^g f )

^' (on peut définir une telle fonction car f ………..) ...

...

Donc

( ^g f ) ⁽ ^x ⁾

=...

Or

( ^g f ) ⁽⁰ ⁾

=...

Donc : …...………..

...

3/17

(4)

4/17 -

Propriété n°2

1. La fonction exponentielle est positive sur IR 2. La fonction exponentielle est croissante sur IR

Démonstration :

D'après la démonstration précédente, f ne s'a... . De plus, f (0) = …... Donc f est …... sur IR .

De plus, comme f ' = f , f ' est aussi …... sur IR . Donc f est …... sur IR.

II) Propriétés de la fonction exponentielle

Propriété n°3

Pour tout réel

x

,

exp (−x )= ...

...

Démonstration :

On définit : (x)=f(x)×f(–x).

D'après la démonstration précédente, (x) est constante et vaut 1. D'où la propriété.

Propriété n°4

Pour tous réels a et b,

exp(a + b)

=...

Démonstration :

On définit :

g ( x )= exp( x +b ) exp (b)

On calcule la dérivée de g :

...

g'(x)=... et g(0)=... donc g

est ... ... ...

D'où :...

...

Exemple n°1 :

Simplifier

exp ( x+ 2) exp x

^:

...

4/17

(5)

5/17 -

...

Exemple n°2 :

Étudier les variations de

f (x)=exp(x)+2x

:

...

......

......

...

......

......

...

...

Interrogation n°1 Objectifs

C5.a_Niv1 :R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.

C5.b_Niv1 :Connaître et utiliser les variations de la fonction exponentielle.

C5.c_Niv1 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

Exercice n°1 Ex.1 p.114 Exercice n°2

Ex.4 p.114

Cours n°2

Propriété n°5

Pour tous réels

a

et

b

,

exp(a – b)= ...

...

5/17

(6)

6/17 -

Démonstration

Conséquence des propriétés n°3 et 4

...

Propriété n°6

exp(na)=

...

Démonstration :

...

Exemple n°3

Simplifier

exp(3 x− 2) exp( 2 x )

...

......

......

...

6/17

(7)

(8)

(9)

7/17 -

...

......

...

...

Interrogation n°2 Objectifs

C5.d_Niv2 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

Exercice n°3 Ex.21 p.114 Exercice n°4

Ex.63 p.115

Cours n°3

III) Notation e

^x

Définition n°1

L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, c'est à dire exp(1)=e Pour tout nombre entier n, on a exp(n) = exp(n×1) = [exp(1)]ⁿ = eⁿ

On étend cette définition aux nombres réels :

Définition n°2

Pour tout nombre réel x, l'image de x par la fonction exponentielle se note e^x Les propriétés, déjà démontrées, s'écrivent avec cette notation :

Propriété n°7

Soient x, a et b trois nombres réels et n un entier relatif.

1.

( e

^x

)

^'

=... .

2.

e

⁰

=... .

3. e^a+b=.... 4.

e

⁻^a

= ...

...

^et

e

^a−^b

= ...

...

5.

e

^na

=... .

Exemple n°4 :

Simplifier les expressions suivantes :

7/17

(10)

(11)

8/17 - a.

e

^x

×e

^-x

...

b.

( e

²^x

)

²

× ( e

⁻^x

)

³

…...

c.

e

³^x

×e

⁴^x

e

²^x−¹

…...

Exemple n°5 :

Démontrer, pour tout nombre réel x, que

e

^x

1+e

^x

= 1 1+e

⁻^x

...

Interrogation n°3 Objectifs

C5.e_Niv1 :Maîtrise des propriétés avec la notation e

^x

.

Exercice n°5 Ex.67 p.116 Exercice n°6

Ex.70 p.116

Cours n°4

IV) Limites de la fonction exponentielle Propriété n°8

1. lim

x

→ + ∞ e

^x

=.... . et 2. lim

x

→−∞ e

^x

=.. . Démonstration (R.O.C) :

1. Démonstration de

lim

x

→+∞ e

^x

=.. .

:

Soit f(x) = e^x – x. f est définie, continue, et dérivable sur IR . Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

8/17

(12)

9/17 -

...

En déduire que, pour x

[0;+ ∞[

, e^x>x :

...

Conclure :

…...

...

2. Démonstration de lim

x

→−∞ e

^x

=...

lim

x

→−∞ e

^x

= lim

x

→−∞

1 e

⁻^x

= lim

x

→+∞

1 e

^x

=.... . Propriété n°9

1. lim

x→+∞

e

^x

x =... . , 2. lim

x

→−∞ xe

^x

=.. . 3. lim

x

→0

e

^x

− 1

x =.. . 4. lim

x

→ + ∞

x

e

^x

=... . Démonstration :

1. Démonstration de

lim

x

→+∞

e

^x

x =... .

: Soit f(x) = e^x –

x

²

2

^.

Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

En déduire que, pour x

[0;+ ∞[

, e^x>

x

²

2

...

Conclure :

…...

...

…...

...

…...

...

2. Démonstration de lim

x

→−∞ xe

^x

=.. .

xe^x =

x e

⁻^x ^{= –}

...

9/17

(13)

10/17 -

...

3. Démonstration de lim

x

→0

e

^x

− 1 x =.. .

Le nombre dérivé en 0 de la fonction x → e^xvaut …... et

...

Propriété n°10 (tableau de variation et représentation graphique)

x

– ∞ + ∞

f ' ( x )

...

f ( x)

…..

Exemple n°6

Calculer les limites en –∞et en +∞ de la fonction f définie sur IR par f (x)=e^x– x + 1.

...

Exemple n°7

Calculer

lim

x

→+∞

e

^x

x− 1 =.. .

...

10/17

(14)

11/17 -

...

Exemple n°8

Calculer

lim

x

→+∞

e

^x

− 1 e

^x

+ 1 =.. .

...

Exemple n°9

Calculer

lim

x

→0

⁺

e

^x

− 1 x

²

=.. .

...

Interrogation n°4 Objectifs

C5.f_Niv1 :R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g_Niv1 :Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h_Niv2 :Limites avec la fonction exponentielle.

Exercice n°7

Ex.6 p.114

Exercice n°8

Ex.9 p.114

Exercice n°9

Ex.19 p.114 Exercice n°10

Ex.35 p.115

11/17

(15)

(16)

12/17 -

Exercice n°11

Ex.43 p.115 Exercice n°12*

Ex.61 p.116 Exercice n°13*

Ex.96 p.117 Exercice n°14*

Ex.107 p.118 Exercice n°15***

Ex.173 p.131

Cours n°5

V) Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.

Propriété n°11

1. Soient a et b deux expressions. Alors l'équation e^a= e^best équivalente à l'équation …...

2. Soient a et b deux expressions. Alors l'inéquation e^a<e^best équivalente à l'inéquation …...

Démonstration :

La fonction exponentielle est …...

Exemple n°9

Résoudre e^–x+7=e^x+3:

...

Exemple n°10

Résoudre e^2–x=1:

...

Exemple n°11

Résoudre e^2x+2e^x – 3= 0. ^:

...

12/17

(17)

(18)

(19)

13/17 -

Exemple n°12

Résoudre e^2x 1

...

Interrogation n°5 Objectifs

C5.i_Niv1 :Équations et inéquations comportant des exponentielles.

Exercice n°16 Ex.23 p.114 Exercice n°17

Ex.29 p.115 Exercice n°18

Ex.80 p.116 Exercice n°19

Ex.87 p.117

Cours n°6

VI) Exponentielle de fonctions

Propriété n°12 (admise)

Soit u une fonction définie, continue et dérivable sur I.

La fonction e^u(x) est dérivable sur I et sa dérivée est …...

Exemple n°13

Calculer la dérivée de f(x) = e^-x.

...

Exemple n°14

Calculer la dérivée de f(x) = e^x²+x.

...

Exemple n°15

Calculer la dérivée de f(t) = (3 – t)e^t².

...

13/17

(20)

(21)

14/17 -

...

Interrogation n°6 Objectifs

C5.j_Niv1 :

Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Exercice n°20 Ex.47 p.115 Exercice n°21

Ex.52 p.115 Exercice n°22

Ex.117 p.118 Exercice n°23*

Ex.121 p.118 Exercice n°24**

Ex.130 p.119 Exercice n°25***

Sujet B p.127 Exercice n°26***

Sujet C p.127

14/17

(22)

(23)

15/17 -

Résultats ou indices

Ex.1 (1 p.114) : a.V b.F

Ex.2 (4 p.114) : 1. f '(x)=exp(x) 2. f '(x)=exp(x)+2 Ex.3 (21 p.114) : 1. 0 2. 0

Ex.4 (63 p.115) : 1. croissante sur ]1 -

√

²^{; 1 +}

√

² [ décroissante ailleurs. 2.

décroissante sur ]1 -

√ ³

^{; 1 +}

√ ³

[, croissante ailleurs.

Ex.5 (67 p.116) : 1. e⁷ 2. e^2x 3. e^x.

Ex.6 (70 p.116) : multiplier numérateur et dénominateur par e^-x...

Ex.7 (6 p.114) : f '(x)=

2 exp( x)( x – 1) x

²

Ex.8 (9 p.114) : 1. croissante sur R. 2. croissante sur R.

Ex.9 (19 p.114) : 1. e² 2. e⁴ 3. e^4x 4. e². Ex.10 (35 p.115) : 1. –∞ ; +∞ 2. –∞ ; +∞

Ex.11 (43 p.115) : 1. croissante sur R. 2. croissante sur ]–∞;1] et décroissante [1 ;+∞]

Ex.12 (61 p.116) : 1. décroissante sur R 2. croissante sur R.

Ex.13 (96 p.117) : 1. –∞ et +∞ 2. –2 et 1. 3. –∞ et 0. 4. –∞ et +∞

Ex.14 (107 p.118) : 1. décroissante sur ]–∞;-1] et croissante sur ]-1;+∞] 2.

lim

x

→

^{− ∞}

f ( x )= − 1 et lim

x

→

^{− ∞}

f ( x )=+ ∞

2.

Ex.15 (173 p.131) : P.A. 1. croissante sur R.

lim

x

→

− ∞

g ( x)=−∞

lim

x

→

+∞

g ( x)=+ ∞

2. croissante sur R.

lim

x

→

− ∞

g ( x)=−∞ lim

x

→

+∞

g ( x)=+ ∞

. -1,28<α<-1,27. 3. g(x)<0 sur ]–∞;α] et g(x)>0 ailleurs. P.B.1. f est décroissante sur ]–

∞;α] et f est croissante ailleurs. 2. PH=

1 3

^. Ex.16 (23 p.114) : 1.

1

3

^{2. -}

1 4

Ex.17 (29 p.115) : 1. [2;+∞] 2. ]0;+∞]

Ex.18 (80 p.116) : 1. 1 et 4 2. 0 3. pas de solution. 4. -1 Ex.19 (87 p.117) : 1. -4 et 1 2. 0

Ex.20 (47 p.115) : 1. +∞ et 0 2. 0 et +∞

Ex.21 (52 p.115) : 1. f '(x)=(2x –x²)e^-x 2. f

' ( x )= 2 e

²^x

(e

²^x

+1)

² Ex.22 (117 p.118) : a.0 b. +∞.

Ex.23 (121 p.118) : 3,+∞,0,2,0,+∞

Ex.24 (130 p.119) : 1. croissante sur R. 2.a. par recurrence. 2.b. par recurrence 2.c. croissante et majorée par 3 , donc elle converge.

15/17

(24)

16/17 -

Ex.25 (B p.127) : P.A.1. décroissante sur ]–∞;-2] et croissante sur ]-2 ;+∞[.

lim

x

→

^+∞

f ( x)=0

et

lim

x

→

^+∞

f ( x)=+∞

2.

P.B.1.a. affine. b. (-1;0) et (0;1).

ils appartiennent à ck.

2. ck+1 est au dessus de ck sur ]–∞;-1] et sur ]0 ;+∞]. ck+1 est en dessous de ck sur [-1;0] 3.a. f'k(x) est du signe de kx + k +1.

3.b. Si k>0, fk est décroissante sur ] – ∞ ;

− k − 1

k

^{] et f}^k est croissante sur

]

− k − 1

k

; +∞[. Si k<0, fk est croissante sur ] – ∞ ;

− k − 1

k

^{] et f}^k est décroissante sur ]

− k − 1

k

^{; +∞[.}

Ex.26 (C p.127) : P.A.1. e^x=

1 x

. 2.a. strictement croissante sur R. 2.b.

lim

x

→

^{− ∞}

f ( x )= −∞

et

lim

x

→

^+∞

f ( x )=+ ∞

… 2.c. α [

1

2

;1] 2.d. f(x)<0 sur [0 ;α].

P.B.1. f(x)=0. 2. g(α)=α. 3. g est croissante sur [0 ;α]. P.C.1. récurrence. 2. la suite est croissante et majorée par α, donc convergente. 3. Correctif : il faut calculer u4 à 10^–6 près à la question b., pas à la question a. b. u4 ≈ 0,567143.

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17/17 -

17/17

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :