Doc généré n° 1 : Chapitre n°5 : Fonction exponentielle
Objectifs :
Niveau a eca n
C5.a 1 R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.
C5.b 1 Connaître et utiliser les variations de la fonction
exponentielle.
C5.c 1 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.
C5.d 2 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.
C5.e 1 Maîtrise des propriétés avec la notation ex.
C5.f 1 R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞
C5.g 1 Limites avec la fonction exponentielle.
C5.h 2 Limites avec la fonction exponentielle.
C5.i 1 Équations et inéquations comportant des exponentielles.
C5.j 1 Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.
Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle
Léonhard EULER (1707-1783) est un mathématicien suisse à qui nous devons beaucoup de notations mathématiques utilisées de nos jours :
- il fut le premier à écrire f(x) pour désigner l’image de x par la fonction f ;
- il nota i le nombre imaginaire utilisé dans le chapitre des nombres imaginaires - il introduisit la lettre e pour la base de la fonction exponentielle ;
- il utilisa la lettre pour désigner une somme.
- …
Il est l’un des plus grands et des plus complets mathématiciens du XVIII
esiècle. Il fit de nombreuses découvertes en analyse, en calcul infinitésimale, en théorie des graphes, en mécanique, en dynamique des fluides, en optique, en astronomie …
Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant : (1) f(0) = 1 et,
(2) pour tout réel x , f '(x)=f(x) .
Le but de cette activité est de représenter une fonction f qui satisfasse à ces deux conditions, en utilisant une suite.
Soit h un nombre réel très petit. On pose :
x
0=0 et, pour tout n entier naturel, x
n+1=x
n+h.
y
0=f (0) et, pour tout n entier naturel , y
n=f (x
n).
1. Calculer y
1en fonction de f(h).
...
2. Démontrer que lim y
n+1− y
nh = y
n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. On interprète la relation précédente de la façon suivante : pour h suffisamment petit, y
n+1− y
nh ≈ y
n. En déduire une relation qui permette de calculer une valeur approchée de y
n+1en fonction de y
net de h , puis une relation en fonction de y
n, x
net
x
n+1.
...
...
...
...
...
...
...
4. Reproduire la page de tableur ci-contre (sur tablette).
5. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir x
1?
…...
Recopier cette formule jusqu'en B21.
6. Entrer la valeur de y
0en C2.
Quelle formule faut-il écrire en C3 pour obtenir une
approximation de y
1?
…...…
...………...
Recopier cette formule jusqu'en C21.
7. Modifier la valeur de h en D4 et vérifier que cela modifie les valeurs des approximations de y
n.
8. En prenant h=0,001 , calculer une approximation de f (1) : …...
Cours n°1 :Définition de la fonction exponentielle et propriétés I) Définition de la fonction exponentielle
Propriété n°1 (Unicité et existence de la fonction exponentielle) Il existe une unique fonction f , définie et dérivable sur R , telle que ……. =…... et
f(0)=…..
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et est notée exp . On a donc : pour tout réel x , exp'(x)=………… et exp'(0)=…
Démonstration (R.O.C.) :
● L'existence est admise.
● Démonstration de l'unicité :
=> On montre d'abord que f ne s'annule pas sur IR : ASTUCE : On définit : (x)=f(x)×f(–x).
Alors ' (x) = …...
Donc ' (x) = ….
Donc (x) est constante.
Or (0) = …...=...car f(0)=....
Donc (x) = …... (1)
Supposons qu'il existe a tel que f(a)=0 (2) .
Alors (a) = …... = …... ce qui est en contradiction avec (1) .
Donc (2) est impossible. Donc f ne ………
=> On démontre l’Unicité :
ASTUCE : Soit g une autre fonction telle que g '=g et g(0)=1 . Calculons ( g f )' (on
peut définir une telle fonction car f ………..)
...
...
...
...
Donc ( g f ) ( x ) = ...
Or ( g f ) ( 0)=...
Donc : …...………..
...
...
...
...
Propriété n°2
1. La fonction exponentielle est ………... sur IR
2. La fonction exponentielle est ………... sur IR Démonstration :
D'après la démonstration précédente, f ne s'a ... . De plus, f (0) = …... Donc f est …... sur IR .
De plus, comme f ' = f , f ' est aussi …... sur IR . Donc f est …... sur IR .
II) Propriétés de la fonction exponentielle Propriété n°3
Pour tout réel x , exp (− x )= ...
...
Démonstration : On définit : (x)= exp (x)× exp (–x) .
D'après la démonstration de la propriété n°1, (x) est constante et vaut 1 . D'où la propriété.
Propriété n°4
Pour tous réels a et b , exp(a + b) =...
Démonstration : On définit : g ( x )= exp ( x +b)
exp ( x ) On calcule la dérivée de g :
...
...
...
...
...
...
g'(x)= ... et g(0)=...………. donc g est ...………… et vaut ... , quelque soit x .
D'où :...
...
...
...
...
...
Exemple n°1 : Simplifier exp ( x +2 )
exp x :
...
...
...
...
...
Exemple n°2 :
Étudier les variations de f (x)=exp(x)+2x :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°1 - C5.1 (sur 6) Objectifs :
Niveau a eca n
C5.a 1 R.O.C : unicité de la fonction exponentielle.
C5.b 1 Connaître et utiliser les variations de la fonction
exponentielle.
C5.c 1 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle
d'une somme.
Ex.1 (/3)
Démontrer que la fonction définie et dérivable sur R , telle que f '=f et f(0)=1 est unique.
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2 (/1)
Simplifier : exp( 2 x +1)
exp( 2 x)
...
...
...
...
...
Ex.3 (/2)
Étudier les variations de f ( x )=exp ( exp( 2) × x ) + exp ( 3) × x (on ne s’occupera pas de la
limite en - ∞ ):
...
...
...
... ...
... ...
...
...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
Résultats Ex.1 : voir cours.
Ex.2 : exp ( 1) .
Ex.3 : croissante sur ℝ , lim
x→ −∞
f ( x ) =- ∞ , lim
x→ +∞
f ( x ) =+ ∞
Interrogation n°1 Objectifs
C5.a_Niv1 :R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.
C5.b_Niv1 :Connaître et utiliser les variations de la fonction exponentielle.
C5.c_Niv1 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.
Exercice n°1 Ex.1 p.114
Cours n°2 : Exponentielle (propriétés) Propriété n°5
Pour tous réels a et b , exp(a – b)= ...
...
Démonstration
Conséquence des propriétés n°3 et 4
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°6
exp(na)= ...
Démonstration :
...
...
...
...………..
...
...
...
...
...
...………..
...
...
...
...
...
...………..
...
...
...
Exemple n°3 Exprimer exp ( 3 x −2)
exp ( 2 x ) en fonction de exp(x) :
...
...
...
...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
Se tester n°2 - C5_2 (/2) Objectifs :
Niveau a eca n
C5.d 2 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.
Ex.1
Simplifier exp ( 2 x – 5) exp ( 9 x ) .
...
...
...
...
... ...
... ...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
Résultats Ex.1 : exp ( −7 x−5).
Interrogation n°2 Objectifs
C5.d_Niv2 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.
Exercice n°2 Ex.21 p.114 Exercice n°3*
Ex.63 p.115
Cours n°3 : notation e^x III) Notation e
xDéfinition n°1
L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e , c'est à dire exp(1)=e
Pour tout nombre entier n , on a exp(n) = exp(n×1) = [exp(1)]
n= e
nOn étend cette définition aux nombres réels : Définition n°2
Pour tout nombre réel x , l'image de x par la fonction exponentielle se note e
xLes propriétés, déjà démontrées, s'écrivent avec cette notation : Propriété n°7
Soient x, a et b trois nombres réels et n un entier relatif.
1. ( e
x)
'=... . 2. e
0=... . 3. e
a+b=... . 4. e
−a= ...
... et e
a−b= ...
...
5. e
na=... .
Exemple n°4 :
Simplifier les expressions suivantes : a. e
x×e
-x...
b. ( e
2x)
2× ( e
−x)
3…...
c. e
3x× e
4xe
2x−1…...
Exemple n°5 :
Démontrer, pour tout nombre réel x, que e
x1+e
x= 1 1+e
−x...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°3 - C5_3 (/5) Objectifs :
Niveau a eca n
C5.e 1 Maîtrise des propriétés avec la notation e
x.
Ex.1
Simplifier les expressions suivantes : a.
(/1)e
4x×e
-4x:
...
...
...
...
b.
(/1)(e
6x)
6:
...
...
...
...
c.
(/2)e
7x+1×e
8x+8e
9x+4:
...
...
...
...
Ex.2
(/1)
Démontrer, pour tout nombre réel x, que e
7x1+e
7x= 1 1+e
−7x...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats Ex.1 : e
0x; e
36x;e
6x+5.
Ex.2 : Résultat donné.
Interrogation n°3 Objectifs
C5.e_Niv1 :Maîtrise des propriétés avec la notation e
x. Exercice n°4
Ex.67 p.116 Exercice n°5
Ex.70 p.116
Cours n°4 : Limites de la fonction exponentielle IV) Limites de la fonction exponentielle
Propriété n°8 1. lim
x → +∞
e
x= .... . et 2. lim
x → −∞
e
x= .. .
Démonstration (R.O.C) : 1. Démonstration de lim
x → +∞
e
x= .. . :
ASTUCE : Soit f(x) = e
x– x . f est définie, continue, et dérivable sur IR . Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :
...
...
...
...
En déduire que, pour x ∈ [0;+ ∞[ , e
x>x :
...
...
...
...
Conclure :
…...
...
2. Démonstration de lim
x → −∞
e
x= .. . lim
x → −∞
e
x= lim
x → −∞
1
e
−x= lim x → +∞ 1 e
x= .... .
Propriété n°9 1. lim
x → +∞
e
xx = ... . , 2. lim
x → −∞
xe
x= .. . 3. lim
x →0
e
x−1
x = .. . 4. lim
x → +∞
x
e
x= ... .
Démonstration :
1. Démonstration de lim
x → +∞
e
xx = ... . : Soit f(x) = e
x– x
22 .
Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :
...
...
...
...
En déduire que, pour x ∈ [0;+ ∞[ , e
x> x 2
2...
...
...
...
Conclure :
…...
...
…...
...
…...
...
2. Démonstration de lim
x → −∞
xe
x= .. .
xe
x= x
e
−x= – ...
...
...
...
...
...
3. Démonstration de lim
x →0
e
x−1 x = .. .
Le nombre dérivé en 0 de la fonction x → e
xvaut …... et
...
...
Propriété n°10 (tableau de variation et représentation graphique)
x – ∞ + ∞
f ' (x ) ...
f ( x ) ….. ….
Exemple n°6
Calculer les limites en –∞ et en +∞ de la fonction f définie sur IR par
f (x)=e
x– x + 1 .
...
...
...
...
...
...
Exemple n°7 Calculer lim
x → +∞
e
xx−1 = .. .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°8 Calculer lim
x → +∞
e
x−1 e
x+1 = .. .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°9 Calculer lim
x →0+
e
x−1 x
2= .. .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester n°4 - C5_4 (/11) Objectifs :
Niveau a eca n
C5.f 1 R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞
C5.g 1 Limites avec la fonction exponentielle.
C5.h 2 Limites avec la fonction exponentielle.
Ex.1 (/3)
1.
(/1)Compléter : 1. lim
x → +∞
e
x= .... . et 2. lim
x → −∞
e
x= .. .
2.
(/2)Démontrer ces propriétés.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2 (/3)
Calculer les limites en – ∞ et en +∞ de la fonction f définie sur IR par
f (x)=e
x– 8x + 5
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.3 (/1,5)
Étudier la limite en +∞ de g(x) = e
x7 x −2 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.4 (/1,5)
Étudier la limite en +∞ de h(x) = 7 e
x−6
5 e
x+9 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.5 (/2)
Étudier la limite en 0
+de j(x) = 7 e
x−7
x :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats Ex.1 : 1. Voir cours. 2. Idem.
Ex.2 : lim
x→ −∞
f ( x )= + ∞. ; lim
x→ +∞
f ( x )= + ∞.
Ex.3 : lim
x→ +∞
g ( x ) = + ∞.
Ex.4 : lim
x→ +∞
h ( x ) = 7 5 . Ex.5 : lim
x→0+
j( x ) = 7
Interrogation n°4 Objectifs
C5.f_Niv1 :R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞
C5.g_Niv1 :Limites avec la fonction exponentielle.
C5.h_Niv2 :Limites avec la fonction exponentielle.
Exercice n°6 Ex.19 p.114 Exercice n°7*
Ex.96 p.117
Cours n°5 : Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.
V) Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.
Propriété n°11
1. Soient a et b deux expressions. Alors l'équation e
a= e
best équivalente à l'équation
…... .
2. Soient a et b deux expressions. Alors l'inéquation e
a<e
best équivalente à l'inéquation …... .
Démonstration :
La fonction exponentielle est …...
Exemple n°9 Résoudre e
–x+7=e
x+3:
...
...
...
...
Exemple n°10 Résoudre e
2–x=1 :
...
...
...
...
Exemple n°11 Résoudre e
2x+2e
x– 3= 0.
:...
...
...
...
Exemple n°12 Résoudre e
2x 1
...
...
...
...
Se tester n°5 - C5_5 (/7) Objectifs :
Niveau a eca n
C5.i 1 Équations et inéquations comportant des exponentielles.
Exercice n°1 (/1) Résoudre e
–7x+7=e
4x+7:
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°2 (/1) Résoudre e
4–6x=1 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°3 (/3)
Résoudre e
2x+7e
x– 8 = 0 :
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exercice n°4 (/2) Résoudre e
2x e
8–5x:
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats Ex.1 : .
Ex.2 : 2 3 . Ex.3 : 0 . Ex.4 : ]- ∞ ; 1
2 [.
Interrogation n°5 Objectifs
C5.i_Niv1 :Équations et inéquations comportant des exponentielles.
Exercice n°8 Ex.23 p.114 Exercice n°9
Ex.80 p.116
Cours n°6 : Exponentielle de fonctions VI) Exponentielle de fonctions
Propriété n°12 (admise)
Soit u une fonction définie, continue et dérivable sur I .
La fonction e
u(x)est dérivable sur I et sa dérivée est …...
Exemple n°13
Calculer la dérivée de f(x) = e
-x.
...
...
...
Exemple n°14
Calculer la dérivée de f(x) = e
x²+x.
...
...
...
Exemple n°15
Calculer la dérivée de f(t) = (3 – t)e
t².
...
...
...
Se tester n°6 - C5_6 (/4) Objectifs :
Niveau a eca n
C5.j 1 Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.
Exercice n°1 (/1)
Calculer la dérivée de f(x) = e
-2x+1.
...
...
Exercice n°2 (/1)
Calculer la dérivée de f(t) = e
5t²+5t+1...
...
...
Exercice n°3 (/2)
Calculer la dérivée de f(b) = (5 – 6b)e
3b²+5b+7.
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Résultats Ex.1 : f ’(x) = −2 e
−2x+1.
Ex.2 : f ’(t) = ( 10t +5 ) e
5t2+5t+1.
Ex.3 : f ’(b) = ( 19+ 0 b− 36b ² ) e
3b2+5b+7.
Interrogation n°6 Objectifs
C5.j_Niv1 : Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.
Exercice n°10 Ex.47 p.115 Exercice n°11**
Ex.130 p.119 Exercice n°12***
Sujet B p.127 Exercice n°13***
Sujet C p.127
Résultats ou indices Ex.1 (1 p.114) : a.V b.F
Ex.2 (21 p.114) : 1. 0 2. 0
Ex.3 (63 p.115) : 1. croissante sur ]1 - √ 2 ; 1 + √ 2 [ décroissante ailleurs. 2.
décroissante sur ]1 - √ 3 ; 1 + √ 3 [ , croissante ailleurs.
Ex.4 (67 p.116) : 1. e
72. e
2x3. e
x.
Ex.5 (70 p.116) : multiplier numérateur et dénominateur par e
-x...
Ex.6 (19 p.114) : 1. e
22. e
43. e
4x4. e
2.
Ex.7 (96 p.117) : 1. –∞ et +∞ 2. –2 et 1 . 3. –∞ et 0. 4. –∞ et +∞
Ex.8 (23 p.114) : 1. 1
3 2. - 1 4
Ex.9 (80 p.116) : 1. 1 et 4 2. 0 3. pas de solution. 4. -1 Ex.10 (47 p.115) : 1. +∞ et 0 2. 0 et +∞
Ex.11 (130 p.119) : 1. croissante sur R. 2.a. par recurrence. 2.b. par recurrence 2.c. croissante et majorée par 3 , donc elle converge.
Ex.12 (B p.127) : P.A.1. décroissante sur ]–∞;-2] et croissante sur ]-2 ; +∞[ . lim
x →+∞
f ( x )=0et lim
x →+∞
f ( x )=+∞2.
P.B.1.a. affine. b. (-1;0) et (0;1).
ils appartiennent à c
k.
2. c
k+1est au dessus de c
ksur ]–∞;-1] et sur ]0 ;+∞] . c
k+1est en dessous de c
ksur
[-1;0] 3.a. f'
k(x) est du signe de kx + k +1.
3.b. Si k>0, f
kest décroissante sur
] – ∞ ; −k −1
k ] et f
kest croissante sur
] − k −1
k ; +∞[ . Si k<0, f
kest croissante sur ] – ∞ ; −k −1
k ] et f
kest décroissante sur
] − k −1
k ; +∞[.
Ex.13 (C p.127) : P.A.1. e
x= 1
x . 2.a. strictement croissante sur R. 2.b.
lim
x →−∞
f ( x )=−∞et lim
x →+∞
