Doc généré n° 1 : Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2

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Doc généré n° 1 :

Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2

Objectifs.

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.

Niveau 1 2 3 4

C1.a 1 Savoir mener un raisonnement par récurrence.

C1.b 1 Savoir déterminer une limite en utilisant la

définition

C1.c 1 Savoir calculer des limites en utilisant les

opérations

C1.d 1 Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur

les suites

C1.e 1 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite

géométrique.

C1.f 2 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une

somme de termes d'une suite géométrique.

Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012

Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.

On considère la suite définie par

{

^un+1=u^u⁰_n⁼+2¹n−1 1. Calculer les trois premiers termes de la suite.

…...

...

...…

2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u₀ à u₁₁

…...

...

…

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3. Représenter graphiquement page suivante l'ensemble des points

(n;

u_n

)

pour

n [0;11]

∈[0;11]

^:

4. Conjecturer l’expression de u_n en fonction de

n

.

Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de

n

(par exemple :

n = 100, n=

557

…)

...…

5. On définit, pour tout entier

n

, la propriété

P

au rang

n

par : u_n

=(n – 1)

².

a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété

P

?

…...

b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que :

« si

P

est vraie au rang

n

, alors

P

est aussi vraie au rang

n+1

» (on dit que

P

est héréditaire) :

…...

...

…...

c. Démontrer que

P

est vraie au rang

0

.

…...

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…...

d. On sait maintenant que

P

est vraie au rang

0

, et que, si

P

est vraie au rang

n

, alors

P

est aussi vraie au rang

n+1

.

i. Que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

1

, et pourquoi ?

…...

…...…

ii. Que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

2

, et pourquoi ?

…...

…...…

iii. De façon plus générale, que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

n

, et que quelles sont les deux arguments que l’on doit mentionner pour le justifier?

…...

…...…

Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement par récurrence (suite)

On considère la suite définie par

{

^un+1=^uu⁰⁼²_n+2n−1

1. On définit, pour tout entier

n

, la propriété

P

au rang

n

par : u_n

=(n – 1)

². Conjecture-t- on toujours que, pour tout entier

n

,

P

est vraie ? Argumenter.

…...

...

2. Démontrer que

P

est cependant toujours héréditaire.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?

…...

...

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Cours n°1 : le raisonnement par récurrence Remarque :

Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)

I) Le raisonnement par récurrence Définition n°1 :

On dit que la propriété

P

est héréditaire à partir du rang

n

₀ si elle possède la propriété : quelque soit l'entier

n

supérieur ou égal à

n

₀ choisi, si

…...

est vraie alors

…...

...…

(i.e. : si la propriété est vraie au rang

n

, alors elle est

………..)

La propriété

P

au rang

n s'appelle l'hypothèse ………..

Axiome de récurrence :

Si la propriété

P

est vraie au rang

n

₀ (initialisation) et si la propriété

P

est héréditaire à partir de

n

₀, alors

…...

...………..

Remarques :

a. L’entier

n

₀ , rang initial est souvent

0

ou

1

, mais pas toujours.

b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes :

l’i………., l’h………. de la propriété et la c……….

c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pour autant être vraie. Par exemple, pour

n

entier naturel, la propriété : «

(10

ⁿ

+1)

est divisible par

9

» est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.

Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)

Démontrer l'assertion suivante : Soit

a

un réel strictement positif. Alors, pour tout

n

entier naturel,

(1+a)

ⁿ

1 + na

^.

1) I... :

…...

...

2) H... :

…...

...

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...

3) C... :

…...

...

Se tester C1.1 (sur 7)

Objectifs :

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.

Niveau 1 2 3 4

C1.a 1 Savoir mener un raisonnement par récurrence, niveau 1

Ex.1

Démontrer l'assertion suivante :

Soit

a

un réel strictement positif. Alors, pour tout entier naturel

k

,

(1+a)

^k

≥ 1+ka

.

…...

...

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...

…...

...

...…

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Indices et résultats Voir...le cours !

Interrogation n°1 Objectifs

C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.

Remarques importantes :

Pour le cours suivant, la quantité de travail minimum permettant d’assimiler le cours est de 3 exercices de base, ou 2 exercices de base ET un résumé de cours.

Un exercice avec une étoile correspond à 2 exercices de base, un exercice avec 2 étoiles correspond à 3 exercices de base, etc.

Toute réponse doit être justifiée, dans la mesure du possible.

Exercice n°1

On considère la propriété : «

5

ⁿ

– 2

est un multiple de

3

, pour tout

n 

N».

a. Cette propriété est-elle vraie au rang 1 ? b. Cette propriété est-elle héréditaire ? c. Conclure.

Exercice n°2

On considère la suite

(w

n

)

définie par

w

0

= 0

et

w

n

= -

¹₅

w

n-1

+ 6

pour tout

n 

N^*. Montrer que , quelque soit

n 

N^*,

1 ≤ w

n

≤ 6

.

Exercice n°3*

On considère la suite

(v

n

)

définie par

v

0

= 3

et v_n+1=7v_n−2

v_n+2

pour tout n 

N^*. 1. Soit

f

la fonction définie par

f(x) =

⁷_x^x₊₂⁻². Étudier les variations de

f

. 2. En déduire que, sur

[1;+ ∞[

,

f(x) ≥

⁵₃.

3. Démontrer alors que, pour tout

n 

N^*,

v

n

≥ 1

4

.

Étudier les variations de la suite

v

n

.

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Indices permettant de savoir si on a juste ou faux.

Remarques importantes :

Ces résultats permettent :

1) De savoir si vous avez juste ou faux. En cas d’erreur, refaites la question. En cas de troisième tentative infructueuse, appelez le professeur.

2) De montrer que ce sont les raisonnements qui importent, pas les solutions ci- dessous. Si vous vous êtes contenté de la même rédaction succincte, c’est que vous n’avez pas fait le travail de réflexion nécessaire pour assimiler les notions.

3) Parfois, vous n’avez pas les mêmes résultats que votre voisin : c’est NORMAL : les documents sont « aléatoirisés » . En revanche, les résultats ci-dessous sont bien justes et en rapport avec vos énoncés. Si vous voulez vous entraider, c’est toujours possible, mais il vous faudra vous expliquer la méthode et non juste fournir des résultats.

Ex.1 : Ex.2 : Ex.3 :

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (3 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Résumé du Cours n° : ...

Se tester du Cours n°..., Ex. n° : … / … / … / … / …

…...

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