Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2

(1)

Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2

Objectifs :

1. →Savoir mener un raisonnement par récurrence.

2. → Savoir déterminer, dans le cas d'une limite infinie pour une suite croissante, à l'aide d'un algorithme, un rang à partir duquel

u

_n est supérieur à A.

3. → Savoir démontrer que si

u

_n^<

v

_n à partir d'un certain rang et si

lim

n

→+∞ u

_n = +∞, alors

lim

n

→+∞ v

_n = +∞.

4. → Savoir étudier les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient de deux suites.

5. → Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique.

Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012

Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.

On considère la suite définie par { ^u

ⁿ⁺¹

^=u ^u

⁰

⁼¹

ⁿ

⁺ ² ⁿ⁻¹

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.

…...

...

2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u

₀

à u

₁₁

…...

...

...…

3. Représenter

graphiquement l'ensemble des points (n; u

_n

) pour n

∈[0;11] :

(2)

4. Conjecturer l’expression de u

_n

en fonction de n. Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de n (par exemple : n = 100, n= 557 …)

…...

5. On définit, pour tout entier n, la propriété P(n) par : u

_n

=(n – 1)

²

. a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété P ?

…...

b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que, si P(n) est vraie, alors P(n+1) est aussi vraie (on dit que P est héréditaire) :

…...

...

…...

c. Démontrer que P(0) est vraie.

…...

d. On sait maintenant que P(0) est vraie, et que, si P(n) est vraie, alors P(n+1) est aussi vraie. Que peut-on en déduire, et pourquoi ?

…...

(3)

Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement par récurrence (suite)

On considère la suite définie par { ^u

ⁿ⁺¹

^=u ^u

⁰

⁼²

ⁿ

⁺ ² ⁿ⁻¹

1. On définit, pour tout entier n, la propriété P(n) par : u

_n

=(n – 1)

²

. Conjecture-t- on toujours que, pour tout entier n, P(n) est vraie ? Argumenter.

…...

...

2. Démontrer que P est cependant toujours héréditaire.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?

…...

...

(4)

(5)

Cours n°1

Chapitre n°1 : Suite, partie 1/2

Remarque :

Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)

I) Le raisonnement par récurrence

Définition n°1 :

On dit que la propriété P est héréditaire à partir du rang n

₀

si elle possède la propriété : quelque soit l'entier n supérieur ou égal à n

₀

choisi, si …...

est vraie alors

…...

...…

(i.e. : si la propriété est vraie au rang n, alors elle est

………..) P(n) s'appelle l'hypothèse de récurrence.

Axiome de récurrence :

Si la propriété P(n

₀

) est vraie (initialisation) et la propriété P est héréditaire à partir de n

₀

, alors

…...

...

Remarques :

a. L’entier n

₀

, rang initial est souvent 0 ou 1, mais pas toujours.

b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes :

l’i………., l’h………. de la propriété et la c……….

c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pour

autant être vraie. Par exemple, pour n entier naturel, la propriété : « (10

ⁿ

+1) est

divisible par 9 » est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.

(6)

Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)

Démontrer l'assertion suivante : Soit a un réel strictement positif. Alors, pour tout n entier naturel, (1+a)

ⁿ

1 + na.

1) I... :

…...

...

2) H... :

…...

...

3) C... :

…...

...

Activité d'approche n°3 : Convergence ou non

Un éditeur veut faire paraître un nouveau magazine mensuel intitulé

«SESAMATH », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès

(7)

lorsque le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8000 la première année, que le taux de réabonnement serait de 80 % et que chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.

n étant un entier naturel non nul, on note, dans cette activité, a

_n

le nombre d’abonnés à l’année n. On suppose que : a

₁

= 8000.

1. Estimation

À l’aide d’un tableur,

a. Déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de a

_n

et en colonne C le résultat arrondi à l’entier.

…...

...

b. Représenter graphiquement le nombre d’abonnés en fonction de l’année.

Sur tablette, on utilisera le logiciel WPS. La recopie d'un contenu se fait de la façon suivante :

1) Cliquer sur la cellule à recopier.

2) -> Modifier ->

Copier.

3) Cliquer sur la cellule en dessous.

4) -> Coller.

5) -> Remplir ->

Remplissage par glissement.

c. Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.

…...…...

…...

d. Le magazine semble-t-il pérenne ?

…...

...

2. Point de vue mathématique

Dans cette partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

a. Expliciter une relation entre a

_n+1

et a

_n

.

(8)

…...

b. On définit, pour tout n entier naturel non nul, la suite (b

_n

) par b

_n

= a

_n

– 3000. Montrer que la suite (b

_n

) est géométrique, puis déterminer les éléments caractéristiques de cette suite ainsi qu’une formule explicite de b

_n

.

…...

c. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, a

_n

en fonction de n.

…...

d. Justifier que la suite (a

_n

) est strictement décroissante et qu’elle est minorée

par 3000.

(9)

…...

…...…

…...

e. La suite (a

_n

) peut-elle atteindre 3000 ? Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autant a

_n

= 3000, à partir d’un certain rang ?

…...

f. Écrire un algorithme permettant de savoir à partir de quel rang (a

_n

- 3000)0,5.

…...

(10)

…...

…...…

…...

g. Pour ou contre ? Commenter la phrase suivante : « Tout intervalle contenant 3000 contient toutes les valeurs a

_n

, à partir d’un certain rang ».

…...

(11)

…...

h. Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine

« SESAMATH ».

…...

Cours n°2

II) Limite finie d'une suite

Définition n°2

La suite ( u

_n

) admet pour limite le nombre réel L si, quand on choisit un intervalle ouvert contenant L, il existe toujours un n

0

à partir duquel

…...

À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de L.

Notation

On dit que la suite ( u

_n

) converge vers L et on note : …...

…...

Remarque :

Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞,

soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non exemple :

(-1)

ⁿ

)

(12)

Exemple n°2 :

Soit la suite ( u

_n

) définie par u

_n

= 5

n

²

. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que u

_n

converge et que L = ...

Soit un intervalle ouvert du type ]-a;+a[ , a étant un réel strictement positif.

Cherchons à partir de quel rang n

0

on aura 5 n

²

<a :

…...

…...…

Conclusion :

…...

…...…

Exemple n°3

Soit la suite ( v

_n

) définie par v

_n+1

= 5

v

_n

^{. et} v

₀

=−1 . Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que v

_n

…...

Démonstration par récurrence :

…...

(13)

…...

III) Limite infinie d'une suite

Définition n°3

La suite ( u

_n

) admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[, il existe toujours un n

0

à partir

duquel ...

...

…...

...

Exemple n°4

Soit la suite ( w

_n

) définie par w

_n+1

=5+ n

²

. Déterminer la limite de cette suite.

Intuitivement, on voit que w

_n

…...

Soit un intervalle ouvert du type ]A;+ ∞ [ , A étant un réel strictement plus grand que 5.

Cherchons à partir de quel rang n

0

on aura 5+ n

²

> A :

…...

(14)

…...

…...…

Conclusion :

…...

(15)

Activité d'approche n°3 : opérations sur les suites

1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants : Somme de deux suites

u

_n

v

_n

lim

n

→+∞ u

_n

lim

n

→+∞ v

_n

^u

n

+ v

_n

lim

n

→+∞ u

_n

+ v

_n

2n² –n² … … … …

n² –n² … … … …

n + 1

n –n … … … …

n² – 1 –2n² … … … …

Produit de deux suites

u

_n

v

_n

lim

n

→+∞ u

_n

lim

n

→+∞ v

_n

^u

ⁿ

^v

ⁿ

lim

n

→+∞ u

_n

v

_n

2n² 1

n ^… ^… ^… ^…

n² 2

n

²

^… ^… ^… ^…

3n 1

n

²

^… ^… ^… ^…

Quotient de deux suites

u

_n

v

_n

lim

n

→+∞ u

_n

lim

n

→+∞ v

_n

u

_n

v

_n

lim

n

→+∞

u

_n

v

_n

2n² n … … … …

n² -n² … … … …

n -n² … … … …

1 n

²

^… ^… ^… ^…

1 n

²

1 n

²

^… ^… ^… ^…

1 n

²

1 n ^… ^… ^… ^…

2. Généralisation

On considère deux suites (u

_n

) et (v

_n

). On connaît les limites de ces deux suites. L et L’ sont des nombres réels.

1. Addition : étude de lim

n→ ∞

(u

_n

+ v

_n

)

lim

n→ ∞

u

_n

→ L + ∞ – ∞

(16)

lim

n→ ∞

v

_n

¯

L' ... ... ...

+ ∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

2. Produit : étude de lim

n→ ∞

(u

_n

×v

_n

) lim

n→ ∞

u

_n

→ lim

n→ ∞

v

_n

¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0 ... ... ... ... ...

L'>0 ... ... ... ... ...

L'=0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

3. Quotient

On suppose que pour tout entier naturel n, v

n

est différent de zéro. On étudie lim

n→ ∞

u

_n

v

_n

lim

n→ ∞

u

_n

→ lim

n→ ∞

v

_n

¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0 ... ... ... ... ...

L'>0 ... ... ... ... ...

L'=0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

(17)

Cours n°3

IV) Opérations sur les limites

Propriété n°1

Si lim

n

→+∞ u

_n

= +∞ et u

_n

≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n

→+∞

1 u

_n

=....

Si lim

n

→+∞ u

_n

= −∞ et u

_n

≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n

→+∞

1 u

_n

=....

Démonstration :

Si lim

n

→+∞ u

_n

= +∞ , quelque soit le nombre A positif choisi, il existe n

0

tel que, quelque soit n>n

0

, u

_n

> A .

Donc, il existe n

0

tel que, quelque soit n>n

0

, 1 u

_n

< 1

A ^.

Donc, si l'on choisit un nombre quelconque a, il suffit de prendre A= 1

a : il y aura un rang à partir duquel u

_n

> A , et donc à partir duquel 1

u

_n

< 1 A ^soit

1 u

_n

< a .

Donc lim

n

→+∞

1 u

_n

=0 .

Propriété n°2 : somme de limites

lim

n→ ∞

u

_n

→ lim

n→ ∞

v

_n

¯

L + ∞ – ∞

L' ... ... ...

+ ∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

(18)

Propriété n°3 : produit de limites : étude de ^lim

n→ ∞

(u

_n

×v

_n

) lim

n→ ∞

u

_n

→ lim

n→ ∞

v

_n

¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0 ... ... ... ... ...

L'>0 ... ... ... ... ...

L'=0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Propriété n°4 : quotient de limites

On suppose que pour tout entier naturel n, vn est différent de zéro.

On é tudie lim

n→ ∞

u

_n

v

_n

lim

n→ ∞

u

_n

→ lim

n→ ∞

v

_n

¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0 ... ... ... ... ...

L'>0 ... ... ... ... ...

L'=0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Exemple n°5 :

Soit u

n

= –2n

²

– 5n. Déterminer lim

n

→+∞ u

_n

…...

...

Exemple n°6 :

Soit v

n

= –2n

²

+ 5n. Déterminer lim

n

→+∞ v

_n

...

(19)

…...

…...…

Exemple n°7 :

Soit w

n

= n

²

– 1

n . Déterminer lim

n

→+∞ w

_n

…...

…...…

…...

(20)

(21)

Cours n°4

V) Limites et comparaison de suites

Propriété n°5 :

1. Si (u

n

) et (v

n

) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n

1

, v

_n

 u

_n

, et

lim

n

→+∞ u

_n

=+∞ , alors

…...

2. Si (u

n

) et (v

n

) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n

1

, v

_n

 u

_n

, et

lim

n

→+∞ u

_n

=−∞ , alors

…...

Démonstration (exigible) :

Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel A, on a lim

n

→+∞ u

_n

=+∞ . Donc il existe un rang n

0

à partir duquel u

n

est dans l'intervalle ]A;+∞[.

De plus, à partir d'un certain rang n

1

,

...

Donc, choisissons un rang n

2

tel que

...

Alors

…...

Donc :

…...

Le 2 se démontre de façon équivalente.

Exemple n°8 :

Soit la suite (v

n

) définie par v

n

=2n + 1 + sinn. Déterminer lim

n

→+∞ v

_n

.

...

...…

(22)

Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes »

Si (u

_n

), (v

n

) et (w

n

) sont trois suites telles que, à partir d'un certain rang n

1

,

u

_n

v

_n

w

_n

, et lim

n

→+∞ u

_n

= lim

n

→+∞ w

_n

= L , alors

…...

Exemple n°9 :

Soit la suite (v

n

) définie par v

_n

= sin n

n . Déterminer lim

n

→+∞ v

_n

.

...

...…

...

...…

(23)

Propriété n°7 (admise)

Une suite croissante et majorée …...

Une suite …... et minorée …...

Exemple n°10

Soit la suite (S

n

) définie par : S

_n

= ∑

k=1 k=n

1 k

²

.

1. Démontrer que (S

n

) est croissante.

...

...…

...

...…

2. Démontrer que, pour tout n entier naturel, S

n

< 2 – 1 n .

...

...…

...

3. En déduire que (S

n

) est convergente.

...

(24)

Cours n°5

VI) Limite des suites géométriques

Propriété n°8

Soit q la raison d'une suite géométrique : a. Si q-1 alors lim

n

→+∞ q

ⁿ

... . b. Si -1<q<1 alors lim

n

→+∞ q

ⁿ

...

c. Si q=1 alors lim

n

→+∞ q

ⁿ

... . d. Si q>1 alors lim

n

→+∞ q

ⁿ

...

Démonstration (exigible) :

On ne démontre que le d.

...

...…

...

...…

...

Exemple n°11 :

Soit la suite (w

n

) définie par w

_n

= 2

3

ⁿ

. Étudier la convergence de (w

n

).

...

(25)

...

Exemple n°12 :

Soit la suite (u

n

) définie par u

_n

= −3 ( √ 2)

ⁿ

. Étudier la convergence de (u

n

).

...

...…

...

Exemple n°13 :

Soit la suite (v

n

) définie par v

_n

= (−3)

ⁿ

5 . Étudier la convergence de (v

n

).

...

...…

...

Exemple n°14 :

Soit la suite (z

n

) définie par z

_n

= ∑

p=0 n−1

q

^p

. Étudier la convergence de (z

n

) en fonction de q.

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

(26)

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2