Doc généré n° 1 : Chapitre n°6: Nombres imaginaires, partie 1/2 Objectifs :

(1)

Doc généré n° 1 :

Chapitre n°6: Nombres imaginaires, partie 1/2 Objectifs :

Niveau

C6.a 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre

imaginaire, calculer avec des nombres imaginaires, savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres

imaginaires.

C6.b 1 Savoir calculer avec des nombres imaginaires.

C6.c 1 Savoir résoudre des équations du premier degré comportant des

nombres imaginaires.

C6.d 2 Savoir résoudre des équations du premier degré comportant des

nombres imaginaires.

C6.e 1 Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire

C6.f 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un quotient

de nombres imaginaires.

C6.g 1 Savoir résoudre une équation du second degré dans C

C6.h 1 Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un vecteur et

son affixe.

C6.i 1 Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire.

C6.j 2 Savoir utiliser le module dans des situations géométriques.

Activité d'approche n°1 : Pourquoi de nouveaux nombres

Au XVI^ème siècle, les mathématiciens italiens, dont Cardan, mettent au point des règles, plus ou moins connues partiellement auparavant, pour trouver des solutions d’équations de degré 3 ou 4. On donne ci-dessous la règle de Cardan pour trouver une solution de l’équation x³+px=q . Remarque : à l’époque, pas ou peu de calcul littéral… Remarquez comme c’est moins pratique !

Vocabulaire : Dans l'équation x³+px=q, l’inconnue x

→ l’inconnue x est nommée « la chose »,

le coefficient p

→ l’inconnue x est nommé le « nombre de la chose », et

le membre de droite q

→ l’inconnue x est nommé le « nombre de l’équation »

1. Compléter :

(2)

(3)

Règle de Cardan Exemple : x3+24x=56 a. Le tiers du nombre de la chose, élevé

au cube, étant obtenu, on y ajoute le carré de la moitié du nombre de

l’équation et, du tout, on extrait la racine carrée que l’on met de côté.

Le tiers du nombre de la chose vaut : …...

…………...

Son cube vaut : ...…

La moitié du nombre de l’équation vaut : ...…

Son carré vaut : ……..

La somme des deux résultats vaut :

……….

La racine carrée du résultat obtenu vaut :

………

b. Le demi-nombre que l’on a élevé au carré, tu l’ajoutes ou tu l’enlèves à ce que tu viens d’obtenir. Tu as le binôme avec son apotome.

La moitié du nombre de l’équation vaut : ...…

Donc l’apotome vaut : ………..

Et le binôme vaut : ……….

c. En extrayant la racine cubique du binôme et celle de son apotome, le résidu de leur différence est la valeur de la racine.

Racine cubique de l’apotome : …….

Racine cubique du binôme : ……..

Soustraction du plus petit au plus grand :

……….

Vérification que le résultat est solution de l’équation de départ : ……….

……….

(4)

3/26 -

2.Appliquer la règle de Cardan à l’équation

x

³

– 36x = 91

, en vous aidant de l’exemple donné. Obtient-on bien une solution de cette équation ?

a...

...

b...

...

c...

...

...…

4. Appliquer la règle de Cardan à

x

³

– 6x = 6

. Donner une valeur approchée de la solution obtenue et contrôler ce résultat.

a...

...

b...

...

c...

...

...…

5.

L’équation cruciale Soit

(E)

:

x

³

– 15x = 4

.

a. Conjecturer une solution entière de

(E)

(on peut s’aider de tout outil numérique...). Vérifier par le calcul qu’il s’agit bien d’une solution de

(E)

.

...

... ...

...…

b. Commencer à appliquer la règle de cardan. Que se passe-t-il ?

...

... ...

L’audace de Bombelli (20 ans après...) : √−121 =

11

_√−1 !

c. En utilisant le principe (√−1)²=−1 , calculer (√−1+2)³ et (√−1−2)³ :

...

3/26

(5)

...

... ...…

d. En déduire les valeurs de √³¹¹√−1−2 et de √³¹¹√−1+2 , puis utiliser ces résultats pour terminer la procédure de résolution de l’équation

x

³

– 15x = 4

.

...

Remarques :

1. Tout comme au moyen age, période pendant laquelle on considérait que les nombres négatifs n’avaient pas de sens,√−1 , de notre point de vue actuel, n’a pas de sens. Qu’en sera-t-il dans quelques siècles ?

2. Comme cette notation√−1 choque les mathématiciens, on lui a préféré la notation

i.

Donc

i =

_√−1, et

i²

…. vaut -1 !

3. Les nombres du type

ai+b

où

a

et

b

sont des nombres réels ordinaires, sont appelés nombres imaginaires ou nombres complexes.

4. Ces nombres se sont révélés très utiles en électronique, en permettant des calculs beaucoup plus rapide sur les circuits RLC, les amplificateurs, etc.

6.

Calculer avec des nombres imaginaires (=complexes)

On calcule comme avec les réels en remplaçant

i

² par

–1

dès qu’il se présente : Exemple n°1 :

2 + 3i + 4 + i = ... +4i

.

Exemple n°2 :

i(2 + 3i) = 2i – 3

a. Calculer :

4 + i – 5 + 3i =

…...

b. Calculer :

2 + 4i – (1 + 3i) =

…...

. c. Calculer :

(2 + i)(3 – i) =

…...

...

.

d. Calculer :

(–2 – 2i)(3 + 4i) =

…...

...

.

e. Calculer :

(i + 2)

^2.

=

…...

(6)

5/26 -

…...

...

.

f. Calculer :

(i – 2)

^2.

=

…...

...

.

g. Résoudre l'équation

x

²

= –1

…...

...

.

Cours n°1 : Nombres imaginaires,forme algébrique.

I) Nombres imaginaires: forme algébrique.

Propriété n°1 (admise)

Il existe un ensemble, noté … , appelé ensemble des nombres imaginaires, et qui possède les propriétés suivantes :

a. Cet ensemble contient

…...

b. L'addition et la multiplication dans

IR

se prolongent dans …. et les règles de calculs restent les mêmes.

c. ….. contient un nombre imaginaire, noté …, et tel que ….^....

=

…...

d. Tout nombre imaginaire

z

s'écrit de manière unique sous la forme

…...,

a

et

b

étant des nombres réels.

Démonstration du a:

Les nombres de la forme

a+0i

sont réels.

Vocabulaire

Si un nombre imaginaire s'écrit …..., alors : a. …... s'appelle la forme algébrique de

z.

b.

a

est la …... de

z

. On la note r

e(z).

C'est un nombre réel.

c.

b

est la …... de

z

. On la note i

m(z)

. C'est un nombre réel.

d. Si

a = 0

,

z = …....

et

z

est dit imaginaire pur.

e. Si

b = 0

,

…...

Exemple n°1

Si

z = 1 – 2i

, r

e(z)=...

et

i m(z)=...

Si

z =

_√–2, r

e(z)=...

et

i m(z)=...

5/26

(7)

Si

z = – 2i

, r

e(z)=...

et

i m(z)=...

re(4i – 2) = …...

et

im(4i – 2) = …...

Exemple n°2

On sait que

z

1

= 3 – 4i

et que

z

2

= 2 + 3i

Calculer :

z

1

+ z

2 :

…...

...

z

1

– z

2 :

…...

...

z

1

× z

2 :

…...

...

z₁ z₂

:

…...

...

Propriété n°2

1.

0

est le nombre imaginaire ………...

.

2. Deux nombres imaginaires sont égaux si et seulement si leur parties réelles et leurs parties imaginaires………...

Démonstration :

1. Les nombres de la forme

a+0i

sont réels.

Donc 0 est de la forme ………..

2.

z

1

= z

2 est équivalent à

z

1

– z

2

= …..

D'après 1.,

………

………..

Exemple n°3

Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :

5z + 1 = 4i – 2.

...

...…

5z + 1 = 4z – 2i

...

(8)

7/26 -

...

...…

(7i – 5)z – 2i – 2 = (6i – 8)z + 4i – 1.

...

7/26

(9)

Se tester C6_1 (/9)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C6.a 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie

imaginaire d'un nombre imaginaire.

C6.b 1 Savoir calculer avec des nombres imaginaires.

C6.c 1 savoir résoudre des équations du premier degré

comportant des nombres imaginaires.

C6.d 2 savoir résoudre des équations du premier degré

comportant des nombres imaginaires.

Ex.1 [/2]

Si

z = 4 – 9i

, r

e(z)=...

et

im(z)=...

Si

z =

_√7, r

e(z)=...

et

im(z)=...

Si

z = – 5i

, r

e(z)=...

et

im(z)=...

re(9i + 8) = …...

et

im(9i + 8) = …...

Ex.2 [/3]

On sait que

z

1

= 8 – 6i

et que

z

2

= 3 + 3i

Calculer :

z

1

+ z

2 :

…...

...

z

1

– z

2 :

…...

...

z

1

× z

2 :

…...

...

z₁ z₂

:

…...

...

Ex.3 [/2]

8z + 3 = 5i – 7.

...

(10)

9/26 -

...

2z + 3 = 8z – 6i

...

Ex.4 [/2]

Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique):

(7i – 4)z –4i –5 = (4i – 7)z +5i –5.

...

... ...

...

... ....

...

9/26

(11)

Résultats

Ex.1 : r

e(z)=4

;

im(z)= –9

. r

e(z)=

_√7 ;

im(z)=0

. r

e(z)=0

;

im(z)= –5

. r

e(z)=9

;

im(z)=+

8

.

Ex.2 :

z

1

+ z

2

= 11–3i ; z

1

– z

2

= 5 – 9i ; z

1

× z

2

= 42+ 6i

; z₁

z₂

=

¹₃− 7 3

i

Ex.3 : -5 4

+

⁵

8

i

; 1 2

+

1

i

. Ex.4 :− 2

3− 7 3

i

.

Interrogation n°1 Objectifs :

C6.a_Niv1 :Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre imaginaire.

C6.b_Niv1 : Savoir calculer avec des nombres imaginaires.

C6.c_Niv1 : Savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.

C6.d_Niv2 : Savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.

Exercice n°1

Ex.54 p.212

Exercice n°2

Ex.79 p.214

Cours n°2 : Conjugué d'un nombre imaginaire II) Conjugué d'un nombre imaginaire

Définition n°2

Soit

z = a + ib

un nombre imaginaire. On appelle …... du nombre imaginaire

z

le nombre imaginaire noté

z

telle que

z = …...

Exemple n°4 :

Si z = 4 –

5i

, alors

z = …...

Propriété n°3

Soient

z

et

z'

deux nombres imaginaires. Alors : 1.

z+z'=z+z'

2.

z

×

z'=z×z'

3. zⁿ

= z

ⁿ

4.

zz = a

²

+ b

²

5. z

= z

6. Si

z' ≠ 0

, alors

(

z '^z

) ⁼

z '^¯^¯^z

(12)

(13)

Démonstration :

1.

z+z' = a + ib + a' + ib' =... = …...

z+z' =...

2.

z

×

z' = (a + ib)

×(

a' + ib') =...

z

×

z' =...

z

×

z' = (a + ib)

×(

a' + ib') =...

z

×

z' = …...

Donc : …...

3. Par r... :

…...

...

4.

zz = (a + ib)

×(

a + ib) = …...

5. z

=

a+ib

=...

6.

(

z '^z

) ⁼

z '¹×z

= (

z '¹

)

^×^z

^.

Or

(

z '¹

) ⁼

z '¹ ×z '

z '

=

^{z '}

a '²+b '²

=

^{z '}

a '²+b '² et 1 z '

=

¹

z '×z '

z '

=

^{z '}

a '²+b '² Donc

(

z '¹

) ⁼

z '¹ et

(

z '^z

) ⁼ (

z '¹

)

^×^z

⁼

z '¹×z

=

^z

z '

Exemple n°5

Donner la partie réelle et la partie imaginaire de 4+6i

−3−4i : 4+6i

−3−4i = 4+6i

−3−4i×−3−4i

−3−4i

=...

(on multiplie le dénominateur et le numérateur par le conjugué du dénominateur) Donc r

e (

−3−4⁴⁺⁶ⁱi

) =...

et

i m (

−3−4⁴⁺⁶ⁱi

) =...

(14)

12/26 -

Se tester C6_2 (/4)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C6.e 1 Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire

C6.f 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie

imaginaire d'un quotient de nombres imaginaires.

Ex.1 (/1)

Si z = –2 +8

i

, alors

z = …...

Ex.2 (/3)

On sait que

z

1

= 7 – 8i

et que

z

2

= 5 + 3i .

Donner la partie réelle et la partie imaginaire de z₁ z₂ :

…...

...

...…………..……….

…...

...

...………..

…...

...

...……….

12/26

(15)

Résultats

Ex.1 : –2-

8i

Ex.2 : 11 34

–

⁶¹

34

i

.

Interrogation n°2 Objectifs :

C6.e_Niv1 :Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire

C6.f_Niv1 :Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un quotient de nombres imaginaires.

Exercice n°3

Ex.8 p.210

Exercice n°4

Ex.66 p.213

Cours n°3 : Équation du second degré à coefficients réels.

III) Équation du second degré à coefficients réels.

Propriété n°4

Soit az²+bz+c=0 une équation du second degré dans C avec

a

,

b

, et

c

trois nombres réels.

On note 

=b² – 4ac

.

a. Si 

>0

l'équation admet deux solutions réelles distinctes :

z

1

=

⁻^b⁻^√

Δ

2a et

z

2

=

⁻^b⁺^√

Δ

2a

b. Si 

=0

l'équation admet une unique solution

z

0

=

^−b

2a

c. Si 

<0

, l'équation admet deux solutions imaginaires distinctes :

z

1

=

^−b−i^√⁻

Δ

2a et

z

2

=

...

... (conjugué de

z

1) Démonstration :

Pour les cas a et b : voir la démonstration de première.

Pour le cas c : la mise sous forme canonique va donner :

az²+bz+c=a _¿

.

az²+bz+c=a ( ⁽

^z⁺²^b^a

⁾

²⁻4. ..^...^...^…+c a

)

az²+bz+c=a ( ⁽

^z⁺²^b^a

⁾

²⁻^...^...^{−… …}4. ..^… ^...

)

az²+bz+c=a ( (

^z⁺2^ba

)

²^–

(

… … … …

… … …

)

²

)

...

(16)

14/26 -

...

Exemple n°6

Résoudre

z²+2z+5=0.

...

14/26

(17)

Se tester C6_3 (/4)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C6.g 1 Savoir résoudre une équation du second degré dans C.

Ex.1

Résoudre dans C :

3z² + 3z + 7,5=0

.

...

(18)

16/26 -

Résultats

Ex.1 :− 1

2

–

^√⁹

2

i

et − 1 2

+

^√⁹

2

i

.

Interrogation n°3 Objectifs :

C6.g_Niv1:Savoir résoudre une équation du second degré dans C.

Exercice n°5

Ex.81 p.214

Exercice n°6 (algorithme)

Ex.82 p.214

Cours n°4 : Représentation géométrique des nombres imaginaires.

IV) Représentation géométrique des nombres imaginaires . Définition n°3

Soit (O; ⃗u ; ⃗v )un repère orthonormé (orienté dans le sens trigonométrique).

Soit

z = a+ib

un nombre imaginaire.

Alors le point

M (a;b)

est l'image du nombre imaginaire

z

, et

z

est l'affixe du point

M.

Soit ⃗w un vecteur de coordonnées

(a;b)

.

z = a+ib

est l'affixe de ⃗w .

Exemple n°7

Soit

z

1

= –3 –4i

. Placer

A ,

image de

z

1.

Quelle est l'affixe de

B ?

…...

Quelle est l'affixe de ⃗AB ?

…...

Propriété n°5

1. Deux vecteurs sont égaux, si, et seulement si, ils ont même affixe.

2. Le milieu

I

de

[AB]

a pour affixe z_I=z_A+z_B 2

16/26

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5

y

x B

(19)

Exemple n°8

On considère les points

A

,

B

et

C

d'affixes respectives :

z

A

= 1

,

z

B

= 3+2i

et

z

C =

3 – 2i

. Sont-ils alignés ?

…...

...

...….……..…….…….………..……..………….….

(20)

18/26 -

Se tester C6_4 (/6)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C6.h 1 Savoir associer un point et son affixe, savoir associer

un vecteur et son affixe.

Ex.1 (/3)

Soit

z

1

= –5+4i

. Placer

B ,

image de

z

1. Quelle est l'affixe de

A

? ...

Quelle est l'affixe de ⃗AB

? ...

Ex.2 (/3)

A

,

B

et

C

z

A

= –1 –3i

,

z

B

= 3 +3i

et

z

C

= –2

− 17 4

i

. Sont-ils alignés ?

...

18/26

O I J

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

(21)

Résultats

Ex.1 :

z

A

= –1 –7i

.

z

AB

= –4+ 11i

.

Ex.2 : Non

Interrogation n°4 Objectifs :

C6.h_Niv1:Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un vecteur et son affixe.

Exercice n°7

Ex.12 p.210

Exercice n°8

Ex.13 p.210

Cours n°5 :Module V) Module

Définition n°4

On appelle ... d'un nombre imaginaire

z=a + ib

le réel positif |z| tel que |z|

= √

^a²^+b² ^.

O I J

A B

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

(22)

20/26 -

Propriété n°6

Soit

A

un point du plan muni d'un repère

(O;

⃗u

;

⃗v

)

et

z

A son affixe. Alors |z_A| est

………..

…...

...

Propriété n°7

1.

zz = …....

2. |zz '|

= …...

3. |¯z|

=…....

4. |−z|

=…....

5. |zⁿ|

=…....

6.

|

z '^z

| ^=…....

…...

...

Exemple n°9

A

,

B

et

C

z

A

= 1

,

z

B

= 3+2i

et

z

C =

3 – 2i

.

Calculer |^z⃗AB|^,|^z⃗BC|^et|^z⃗AC| . En déduire la nature de

ABC

.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

20/26

(23)

...

…...

...

…...

...

…...

...

Remarque :

Attention : |z+z '|...|z|+^|z '|

Propriété n°8 (rappel)

1. L'ensemble des points du plan situés à une distance

R

d'un point

A

forme

……….

2. L'ensemble des points du plan situés à égale distance de deux points

A

et

B

est

………

Exemple n°10

1. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation :

|z−i+2^|=^|z+3i−4^|

…...

...

…...

...

…...

...

…...…

2. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation |z−i+2|=4

…...

...

…...

...

…...

...

(24)

22/26 -

Se Tester C6_5 (/6)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C6.i 1 Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire

C6.j 2 Savoir utiliser le calcul du module dans des situations

géométriques.

Ex.1

Dans un repère orthonormé

(O;

^⃗i

;

^⃗j

) ,

on considère les points

A

,

B

et

C

z

A

= 5+4i

;

z

B

= 8+ 9i

;

z

C

= 10+ 2i

.

[/6] Calculer |^z⃗AB|^,|^z⃗BC|^et|^z⃗AC| . En déduire la nature de

ABC

.

…...

...

...………...

…...

...

...………..…………...

…...

...

...………..

…...

...

…...

...

…...

...

...…

22/26

(25)

(26)

23/26 -

Résultats

Ex.1 : Triangle isocèle

Interrogation n°5 Objectifs :

C6.i_Niv1:Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire

C6.j_Niv2 : Savoir utiliser le calcul du module dans des situations géométriques.

Exercice n°9

Ex.16 p.210

Exercice n°10*

Ex.19 p.211

Exercice n°11*

Ex.102 p.215

Exercice n°12**

Ex.184 p.227

Exercice n°13**

Sujet A (sf question 4, « nature du triangle »)

Exercice n°14**

Sujet C, de 1.a à 2.c

Exercice n°15**

Sujet D, de 1. à 2.c.

Exercice n°16**

Ex.183 p.227, sf 4. et 5.

23/26

(27)

(28)

(29)

Résultats ou indices

Ex.1 (54 p.212) :

x = 1

et

y = –

³

2 Ex.2 (79 p.214) : 1. 1

2

–

³

2

i

et 1 2

+

³

2

i

2.

1 + 2i

et

1 – 2i

3. −1−√5

2 et −1+√5 2 4.

5 6

–

^√¹¹

6

i

et 5

6

+

^√¹¹

6

i

Ex.3 (8 p.210) : dans le désordre : 1+i

3–2i ;

(1+i)(–3–11i) ;

⁻⁵ⁱ

4+i

;

⁻²^–³ⁱ

5+i

; 1–

3i(1+i) ; –i(9 –2i)

Ex.4 (66 p.213) : a.

(1 – i z )(1 + 2 z ).

b.

z

³

– 2i z

²

+ 1 + 3i

.

Ex.5 (81 p.214) : 1.√5 ,

–

_√5,

1

et

–1

2.

2i,–2i,–i

et

i

3.

–2

,

2,–i

et

i.

Ex.6 (82 p.214) : Un test à faire sur le signe de delta...

Ex.7 (12 p.210) : dans le désordre :

1–i ;–1+2i ;2+i ;1+3i ;3+2i ;3 ;–2+2i ;–2i

Ex.8 (13 p.210) :

Ex.9 (16 p.210) :

|z

A

|=|z

E

|=2

;

|z

B

|=2,5

;

|z

C

|=|z

F

|=3

;

|z

D

|=|z

G

|=1

Ex.10 (19 p.211) :

25.

Ex.11 (102 p.215) : Dans le désordre :

Médiatrice de [AB] avec A(2i) et B(–2+3i).

Cercle de centre O et de rayon 3. Cercle de centre  (i) et de rayon 5.

Ex.12 (184 p.227) : 3.

1

et

4

4. 1

2

+

^√₂³

i

,

–

^√₂³

i

,

2 –

_√3

et

2 +

_√3.

(30)

(31)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...……….

Prénom et classe :...………

---

* REPASSES D’INTERROGATIONS (Cn°chap.n°cours) : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

---

* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)

- Activité n°... : Question n° : … / … / … / … / … - Cours n°… : Exemple n° : … / … / … / … / … - Résumé du Cours n° : ...

- Se tester du Cours n°..., Ex. n° : … / … / … / … / … - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

---

(32)

26/26 -

26/26