Doc généré n° 1 : Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2

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Doc généré n° 1 :

Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2

Objectifs.

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.

Niveau 1 2 3 4

C1.a 1 Savoir mener un raisonnement par récurrence.

C1.b 1 Savoir déterminer une limite en utilisant la

définition

C1.c 1 Savoir calculer des limites en utilisant les

opérations

C1.d 1 Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur

les suites

C1.e 1 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite

géométrique.

C1.f 2 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une

somme de termes d'une suite géométrique.

Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012

Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.

On considère la suite définie par

{

^un+1=u^u⁰n⁼¹+2n−1 q1. Calculer les trois premiers termes de la suite.

…...

...

...…

q2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u₀ à u₁₁

…...

...

...…

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2/10 -

q3. Représenter graphiquement page suivante l'ensemble des points

(n;

u_n

)

pour

n [0;11]

∈

:

q4. Conjecturer l’expression de u_n en fonction de

n

.

Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de

n

(par exemple :

n = 100, n=

557

…)

...…

q5. On définit, pour tout entier

n

, la propriété

P

au rang

n

par : u_n

=(n – 1)

².

a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété

P

?

…...

b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que :

« si

P

est vraie au rang

n

, alors

P

est aussi vraie au rang

n+1

» (on dit que

P

est héréditaire) :

…...

...

…...

c. Démontrer que

P

est vraie au rang

0

.

…...

2/10

(3)

…...

d. On sait maintenant que

P

est vraie au rang

0

, et que, si

P

est vraie au rang

n

, alors

P

est aussi vraie au rang

n+1

.

i. Que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

1

, et pourquoi ?

…...

…...…

ii. Que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

2

, et pourquoi ?

…...

…...…

iii. De façon plus générale, que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

n

, et que quelles sont les deux arguments que l’on doit mentionner pour le justifier?

…...

…...…

Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement par récurrence (suite)

On considère la suite définie par

{

^un+1=^uu⁰⁼²_n+2n−1

q1. On définit, pour tout entier

n

, la propriété

P

au rang

n

par : u_n

=(n – 1)

². Conjecture-t-on toujours que, pour tout entier

n

,

P

est vraie ? Argumenter.

…...

…...…

q2. Démontrer que

P

est cependant toujours héréditaire.

…...

…...…

…...

…...…

…...

(4)

4/10 -

…...

……...

...

…...

…...…

q3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?

…...

…...…

...

Cours n°1 : le raisonnement par récurrence Remarque :

Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)

I) Le raisonnement par récurrence Définition n°1 :

On dit que la propriété

P

est héréditaire à partir du rang

n

₀ si elle possède la propriété : quelque soit l'entier

n

supérieur ou égal à

n

₀ choisi, si

…...

est vraie alors

…...

...…

(i.e. : si la propriété est vraie au rang

n

, alors elle est

………..)

La propriété

P

au rang

n s'appelle l'hypothèse ………..

Axiome de récurrence :

Si la propriété

P

est vraie au rang

n

₀ (initialisation) et si la propriété

P

est héréditaire à partir de

n

₀, alors

…...

...………..

Remarques :

a. L’entier

n

₀ , rang initial est souvent

0

ou

1

, mais pas toujours.

b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes :

l’i………., l’h………. de la propriété et la c……….

c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pour autant être vraie. Par exemple, pour

n

entier naturel, la propriété : «

(10

ⁿ

+1)

est divisible par

9

» est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.

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Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)

Démontrer l'assertion suivante : Soit

a

un réel strictement positif. Alors, pour tout

n

entier naturel,

(1+a)

ⁿ

1 + na

^.

1) I... :

…...

...

2) H... :

…...

...

3) C... :

…...

...

Se tester C1.1 (sur 7)

Objectifs :

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.

Nivea

u 1 2 3 4

C1.a 1 Savoir mener un raisonnement par récurrence, niveau 1

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6/10 -

Ex.1

Démontrer l'assertion suivante :

Soit

b

un réel strictement positif. Alors, pour tout entier naturel

m

,

(1+b)

^m

≥ 1+mb

.

…...

...

…...

...

...…

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Indices et résultats Voir...le cours !

Interrogation n°1 Objectifs

C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.

Remarques importantes :

Pour le cours suivant, la quantité de travail minimum permettant d’assimiler le cours est de 3 exercices de base, ou 2 exercices de base ET un résumé de cours.

Un exercice avec une étoile correspond à 2 exercices de base, un exercice avec 2 étoiles correspond à 3 exercices de base, etc.

Toute réponse doit être justifiée, dans la mesure du possible.

Exercice n°1

On considère la propriété : «

5

ⁿ

– 2

est un multiple de

3

, pour tout

n 

^N».

a. Cette propriété est-elle vraie au rang 1 ? b. Cette propriété est-elle héréditaire ? c. Conclure.

Exercice n°2

On considère la suite

(w

n

)

définie par

w

0

= 0

et

w

n

= -

¹

5

w

n-1

+ 6

pour tout

n 

^N^*^.

Montrer que , quelque soit

n 

^N^*^,

1 ≤ w

n

≤ 6

.

Exercice n°3*

On considère la suite

(v

n

)

définie par

v

0

= 3

et v_n+1=8v_n−2

2v_n+2

pour tout n 

^N^*^.

1. Soit

f

la fonction définie par

f(x) =

⁸^x⁻²

2x+2. Étudier les variations de

f

. 2. En déduire les variations de la suite

v

n

.

3. En utilisant

f,

montrer que, pour tout

n 

^N^*^,

v

n

≥ 1

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