Doc généré n° 1 : Activité d'approche n°4 : opérations sur les suites

(1)

Doc généré n° 1 :

Activité d'approche n°4 : opérations sur les suites 1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants :

Somme de deux suites

u_n v_n lim

n→+∞u_n lim

n→+∞v_n u_n+v_n lim

n→+∞u_n+v_n

2n² – n² … … … …

n² – n² … … … …

n+1 n

– n … … … …

n²–1 –2n² … … … …

Produit de deux suites

u_n v_n lim

n→+∞u_n lim

n→+∞v_n u_nv_n lim

n→+∞u_nv_n 2n² 1

n

… … … …

n² 2

n²

… … … …

3n 1

n²

… … … …

Quotient de deux suites

u_n v_n lim

n→+∞u_n lim

n→+∞v_n u_n

v_n lim

n→+∞

u_n v_n

2n² n … … … …

n² −n² … … … …

n −n² … … … …

1 n

1 n²

… … … …

1 n²

… … … …

1 n²

1 n

… … … …

2. Généralisation

On considère deux suites (u_n) et (v_n). On connaît les limites de ces deux suites.

L et L’ sont des nombres réels.

1. Addition : étude de lim

n→∞ (u_n+v_n)

(2)

limn→∞ u_n →

lim

n→∞ v_n

L +∞ – ∞

L ' ... ... ...

+∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

2. Produit : étude de lim

n→∞ (u_n×v_n) lim

n→∞

u_n →

lim

n→∞ v_n

L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞

L '<0 ... ... ... ... ...

L '>0 ... ... ... ... ...

L '=0 ... ... ... ... ...

+∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

3. Quotient

On suppose que pour tout entier naturel n, vn est différent de zéro. On étudie lim

n→∞

u_n v_n

(3)

limn→∞ u_n →

lim

n→∞ v_n

L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞

L '<0 ... ... ... ... ...

L '>0 ... ... ... ... ...

L '=0 ... ... ... ... ...

+∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Cours n°3 – Opérations sur les limites IV) Opérations sur les limites

Propriété n°1 Si lim

n→+∞u_n=+∞ et u_n≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n→+∞

1 u_n=.... Si lim

n→+∞u_n=−∞ et u_n≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n→+∞

1 u_n=....

Démonstration : Si lim

n→+∞u_n=+∞ , quelque soit le nombre A positif choisi, il existe n0 tel que, quelque soit n>n0, u_n>A .

Donc, il existe n0 tel que, quelque soit n>n0, 1 u_n...1

A .

Donc, si l'on choisit un nombre quelconque a, il suffit de prendre A= ^....

.... : il y aura un rang à partir duquel u_n>A (à cause de ...…….….) , et donc à partir duquel 1

u_n.... 1

A soit 1 u_n<a . Donc lim

n→+∞

1 u_n=0 .

Propriété n°2 : somme de limites lim

n→∞ u_n →

lim

n→∞

v_n

L +∞ – ∞

L ' ... ... ...

+∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

(4)

(5)

Propriété n°3 : produit de limites : étude de lim

n→∞ (u_n×v_n) lim

n→∞

u_n →

lim

n→∞ v_n

L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞

L '<0 ... ... ... ... ...

L '>0 ... ... ... ... ...

L '=0 ... ... ... ... ...

+∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Propriété n°4 : quotient de limites

On suppose que pour tout entier naturel n^,vnest différent de zéro. On étudie lim

n→∞

u_n v_n lim

n→∞

u_n →

lim

n→∞ v_n

L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞

L '<0 ... ... ... ... ...

L '>0 ... ... ... ... ...

L '=0 ... ... ... ... ...

+∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Exemple n°5 :

Soit un= –2n² –5n. Déterminer lim

n→+∞u_n

…...

…... ...

...

Exemple n°6 :

(6)

Soit vn= –2n² +5n. Déterminer lim

n→+∞v_n

...

…...

…...…

Exemple n°7 : Soit wn= ⁿ²^–¹

n . Déterminer lim

n→+∞w_n

…...

…...…

…...

Se Tester C1_3 (sur 13)

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Objectifs :

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.

Nivea

u 1 2 3 4

C1.c 1 Savoir calculer des limites en utilisant les opérations

Ex.1 :

Soit la suite définie pour tout n deℕ, par u_n=–5n²–6n et u₀=0. Déterminer lim

n→+∞u_n ...

...

Ex.2 :

Soit la suite définie pour tout n deℕ, par v_n=5n²–6n et v₀=0. Déterminer lim

n→+∞v_n ...

...

Ex.3 :

Soit la suite définie pour tout n deℕ*, par w_n=n²−3

3n . Déterminer lim

n→+∞ w_n

...

... ...

...

(8)

...

(9)

Indices et résultats

Ex.1 : - ∞

Ex.2 : + ∞

Ex.3 : + ∞

Interrogation n°3 Objectifs

C1.c_Niv1 :Savoir calculer des limites en utilisant les opérations

Exercice n°6 Ex.13 p.22 Ex.14 p.22 Exercice n°7

Ex.69 p.26 Exercice n°8*

1. Montrer que, pour tout réel k>0, lim

n→+∞√n+k = + ∞. 2. Conjecturer lim

n→+∞√ⁿ+3-lim

n→+∞√ⁿ

3. Peut-on justifier la conjecture précédente avec les propriétés sur les opérations sur limites ?

4. Montrer que√n+3 – _√n = ³

√n+3+√n 5. Conclure.

Exercice n°9***

On considère la suite définie par u0 = ¹

2 et, pour tout entier n, un+1 = ₁⁹^uⁿ

+2u_n. 1. a. Calculer u1 et u2.

b. Démontrer que, pour tout entier n, le terme un est strictement positif.

2. a. Étudier les variations de la fonction f(x) = ₁⁹^x

+2x . b. Démontrer que, pour tout entier n,un<9.

c. Démontrer que la suite (un) est croissante.

3. Soit (vn) la suite définie, pour tout n, par vn = ^uⁿ

1−1 4u_n

.

a. Montrer que la suite vn est géométrique. Donner sa raison.

b. Exprimer, pour tout entier n, vn en fonction de n.

c. En déduire, pour tout entier n, l’expression de un en fonction de n. d. Déterminer la limite de la suite (un)

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(13)

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Indices permettant de savoir si on a juste ou faux.

Remarques importantes :

Ces résultats permettent :

1) De savoir si vous avez juste ou faux. En cas d’erreur, refaites la question. En cas de troisième tentative infructueuse, appelez le professeur.

2) De montrer que ce sont les raisonnements qui importent, pas les solutions ci- dessous. Si vous vous êtes contenté de la même rédaction succincte, c’est que vous n’avez pas fait le travail de réflexion nécessaire pour assimiler les notions.

3) Parfois, vous n’avez pas les mêmes résultats que votre voisin : c’est NORMAL : les documents sont « aléatoirisés » . En revanche, les résultats ci-dessous sont bien justes et en rapport avec vos énoncés. Si vous voulez vous entraider, c’est toujours possible, mais il vous faudra vous expliquer la méthode et non juste fournir des résultats.

Ex.6 : Ex13 : 1. +∞ 2. +∞ 3. +∞ 4. -30 5. -∞ 6. +∞. Ex14 : 1. 4 2. 0 3. 0 4. -3/4 Ex.7 : 1. -∞ 2. -∞ 3. 0 4. -2

3 5. +∞ 6. -∞.

Ex.8 : 1. Résultat donné. 2. 0 3. Non 4. Résultat donné. 5. 0. Ex.9 : 1.a. 9

4 et 0{4}} ]§;1+2*⁹₄} b. Résultat donné. 2.a., b., et c.: Résultats donnés.

3.a. Raison : 9

b. vn = (9)ⁿ ⁴₇

c. un = ²^×⁹ⁿ⁺¹⁻²⁹ⁿ

9ⁿ⁺¹−9ⁿ+28.

d. 2.

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (3 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Résumé du Cours n° : ...

Se tester du Cours n°..., Ex. n° : … / … / … / … / …

…...