Doc généré n° 1 : Activité d'approche n°4 : opérations sur les suites

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Doc généré n° 1 :

Activité d'approche n°4 : opérations sur les suites 1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants :

Somme de deux suites

u

v

lim

n

→+∞ u

lim

n

→+∞ v

u

+ v

lim

n

→+∞ u

+ v

2 n ² – n ² … … … …

n ² – n ² … … … …

n + 1 n

– n … … … …

n ² – 1 – 2 n ² … … … …

Produit de deux suites

u

v

lim

n

→+∞ u

lim

n

→+∞ v

u

v

lim

n

→+∞ u

v

2 n ² 1

n

… … … …

n ² 2

n

… … … …

3 n 1

n

… … … …

Quotient de deux suites

u

v

lim

n

→+∞ u

lim

n

→+∞ v

u

v

lim

n

→+∞

u

v

2 n ² n … … … …

n ² −n ² … … … …

n − n ² … … … …

1 n

1 n

… … … …

1 n

1 n

… … … …

1 n

1 n

… … … …

2. Généralisation

On considère deux suites (u _n ) et (v _n ) . On connaît les limites de ces deux suites.

L et L’ sont des nombres réels.

1. Addition   : étude de lim

n→∞

( u

+v

)

1/12

2/12 - lim

n→∞

u

→

lim

n→∞

v

L + ∞ – ∞

L ' ... ... ...

+ ∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

2. Produit   : étude de lim

n→∞

( u

×v

) lim

n→∞

u

→

lim

n→∞

v

L < 0 L > 0 L = 0 + ∞ – ∞

L ' < 0 ... ... ... ... ...

L ' > 0 ... ... ... ... ...

L ' = 0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

3. Quotient

On suppose que pour tout entier naturel n , v

est différent de zéro. On étudie lim

n→∞

u

v

2/12

3/12 - lim

n→∞

u

→

lim

n→∞

v

L < 0 L > 0 L = 0 + ∞ – ∞

L ' < 0 ... ... ... ... ...

L ' >0 ... ... ... ... ...

L ' = 0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Cours n°3 – Opérations sur les limites IV) Opérations sur les limites

Propriété n°1 Si lim

n

→+∞ u

= +∞ et u

≠ 0 à partir d'un certain rang, alors lim

n

→+∞

1 u

=... . Si lim

n

→+∞ u

= −∞ et u

≠ 0 à partir d'un certain rang, alors lim

n

→+∞

1 u

= ... .

Démonstration   : Si lim

n

→+∞ u

= +∞ , quelque soit le nombre A positif choisi, il existe n

tel que, quelque soit n>n

, u

> A .

Donc, il existe n

tel que, quelque soit n>n

, 1 u

... 1

A .

Donc, si l'on choisit un nombre quelconque a , il suffit de prendre A= ^....

.... : il y aura un rang à partir duquel u

> A (à cause de ...…….….) , et donc à partir duquel 1

u

.... 1

A soit 1 u

< a . Donc lim

n

→+∞

1 u

=0 .

Propriété n°2   : somme de limites lim

n→∞

u

→

lim

n→∞

v

L + ∞ – ∞

L ' ... ... ...

+ ∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

3/12

4/12 -

4/12

5/12 -

Propriété n°3   : produit de limites   : étude de lim

n→∞

( u

×v

) lim

n→∞

u

→

lim

n→∞

v

L < 0 L > 0 L = 0 + ∞ – ∞

L ' < 0 ... ... ... ... ...

L ' >0 ... ... ... ... ...

L ' = 0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Propriété n°4   : quotient de limites

On suppose que pour tout entier naturel n ^, v

est différent de zéro . On étudie lim

n→∞

u

v

lim

n→∞

u

→

lim

n→∞

v

L < 0 L > 0 L = 0 + ∞ – ∞

L ' < 0 ... ... ... ... ...

L ' > 0 ... ... ... ... ...

L ' = 0 ... ... ... ... ...

+ ∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Exemple n°5   :

Soit u

= –2n

– 5n . Déterminer lim

n

→+∞ u

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…... ...

...

Exemple n°6   :

5/12

6/12 -

Soit v

= –2n

+ 5n . Déterminer lim

n

→+∞ v

...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

Exemple n°7   : Soit w

= ⁿ

^{– 1}

n . Déterminer lim

n

→+∞ w

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

Se Tester C1_3 (sur 13)

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