Doc généré n° 1 : Chapitre n°16

(1)

Doc généré n° 1 : Chapitre n°16

Objectifs :

Niveau

C16.a ¹ Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un intervalle donné.

C16.b ¹ Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 8 et  réduite d'être dans un intervalle donné.

C16.c ² Savoir calculer  connaissant l’espérance et une probabilité donnée.

Activité n°1

q.1 (Partie A)

On considère une variable aléatoire X

n

qui suit une loi binomiale b (n,p) . 1. Quelles sont les valeurs possibles prises par X

n

?

…...…

2. Rappeler les valeurs de l'espérance mathématique E

n

(X

n

) et de l'écart-type σ

n

(X

n

)

de X

n

.

…...…

3. Rappeler les formules donnant E(aX+b) en fonction de E(X) et V(aX+b) en fonction de V(X).

…...

...……….

q.2 (Partie B)

On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilité d’une variable aléatoire X

n

suivant la loi binomiale b (n;0,3) où l’on fera varier n . 1. Dans le tableau ci-dessous, on donne pour n = 30 , les valeurs approchées des probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à 10 ^-2 , les autres ayant été négligées). On en donne ensuite une représentation graphique en bâtons.

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...

P(X

30

=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

(2)

a. Calculer P(6 ⩽ x ⩽ 11) .

…...

...

...………...

b. Représenter ci-dessous l’histogramme où chaque rectangle :

est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→

sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable

→

aléatoire (soit ici une unité).

a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à sa

→

probabilité).

Histogramme de la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,3

c. Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tous les rectangles possibles (et pas seulement ceux correspondant à une probabilité supérieure à 10

^-2

) ?

…...

...……….………..………..

d. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X

30

.

…...

...

……….

2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans le cas où n=50 et

n=200 , la probabilité élémentaire

restant à 0,3

(3)

a. Dans chacun des deux cas, calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire.

…...

...

b. Où retrouve-t-on l'espérance sur les graphiques ?

…...

...

c. Quel est l'influence de l'écart-type sur les graphiques ?

…...

...

q.3 (Partie C)

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Y

n

= X

n

– μ , où X

n

est la variable aléatoire de la partie B et μ est l'espérance de X

n

.

1. Si n=30 , que vaut l'espérance de Y

30

?

…...

...

2. Compléter le tableau suivant :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Y

30

=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

3. Représenter l'histogramme de la loi de probabilité de Y

30

sur le graphique ci- dessous :

Histogramme de la loi de probabilité de Y

30

(4)

4. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où n vaut 50 et où n vaut

200 :

Calculer, dans le cas général, l'espérance et l'écart-type de Y

n

. Jouent-ils le même rôle pour les graphiques qu'à la partie B ?

…...

...

…...

...

(5)

q.4 (Partie D)

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Z

n

telle que Z

n

= X _n − μ

σ ^où ^X

ⁿ

^{est la}

variable aléatoire de la partie B, μ est l'espérance de X

n

et σ l'écart-type de X

n

. 1. Calculer l'écart-type et l'espérance de Z

n

.

…...

...

2. On donne n=30 . Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs de k au

centième) :

(6)

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ^... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Z

30

=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

3. On rappelle que chaque rectangle de l'histogramme :

est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→

sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable

→

aléatoire (soit ici …...).

a son aire

→ doit être égale à la probabilité, sachant que les probabilités, elles, n'ont pas changées.

a. Vérifier que la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire Z

30

est constante.

...

...………...

...

...………...

b. Compléter alors le tableau suivant, en expliquant comment calculer la hauteur de chaque rectangle :

...

...………...

...

...………...

...

...………

k ^... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

Aire du rectang-

le

... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

Hau- teur du rec-

tangle

... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

c. Compléter le graphique suivant avec l'histogramme de la loi Z

30

.

(7)

d. Calculer P(-1,2 ⩽ Z

30

⩽ 0,4).

...

Cours n°1

I) Loi normale centrée réduite Définition n°1

Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance μ vaut … Elle est dite réduite si son écart-type vaut ….

Propriété n°1

La fonction f définie par f(x) = …

√ ^... ^…... est une fonction de densité de probabilité.

Démonstration :

f est …..., p... sur R et ∫

I

f ( t ) dt =... (admis)

Propriété n°2 : Théorème de Moivre-Laplace (admis)

Soit X

n

une variable aléatoire qui suit la loi binomiale b (n;p)

( rappel : n est …... ; p est la probabilité de succès d'un événement élémentaire ; l'espérance d'une variable qui suit b (n;p) est

…..., et l'écart-type est np(1-p) ).

(8)

Soit Z

n

= X _n – np

√ ^np ⁽ ¹⁻ ^p ⁾ (autrement dit Z

n

= X _n – ....

... ) est …... et

…...

De plus lim

n→∞ P ( ^a ^⩽ ^Z n ⩽ b ) ⁼ ∫

a

b 1

√ 2 π ^e

−x

²

2 dx

Autrement dit, dans une situation binomiale, si on fait tendre le nombre d’essais vers

………., la variable aléatoire Z

n

(discrète, centrée et réduite par rapport à celle qui suit la loi binomiale) s’approche d’une variable aléatoire continue Z qui

suit une loi ……….. définie par la fonction de densité :

……….

Définition n°2

Une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

f(x) = …

√ ... …...

On a alors, pour tous réels a et b tels que a ⩽ b , P(a ⩽ Z ⩽ b) = ∫

a

b ...

√ ... e

−...

.... dx

Remarque n°1

D’après le théorème de Moivre-Laplace, Z est la limite d’une suite de variables aléatoires qui suivent une loi ……….. transformée en centrée (l’espérance vaut ….) et réduite (l’écart-type vaut …..), dont le nombre d’

……….. n augmente indéfiniment.

Remarque n°2

La courbe dessinée par les histogrammes, quand n tend vers de grandes valeurs, tend à former une « courbe en cloche », elle aussi centrée réduite :

→

Remarque n°3

f n'admet pas de primitive explicite, on est donc contraint d'utiliser un outils

(9)

numérique pour déterminer une valeur approchée de P(a ⩽ X ⩽ b) . Propriété n°3 :

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) . Alors P(Z ⩽ -a) = P(Z ⩾ … ).

Démonstration :

La fonction f définie par f(x) = …

√ ^... ^…... est p...

Propriété n°4

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) . Soit f la densité de probabilité associée.

Alors :

E(Z)= lim

...→−∞ ∫

...

0 ... dt + lim

...→+∞ ∫

0 ...

... dt V(Z)=....

Exemple n°1 : Méthode pour calculer une probabilité avec (0;1) n .

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) . 1. Déterminer

a. P(2 ⩽ Z ⩽ 3 ) Indications : Sur la TI :

– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit « NormalFrep( » et on écrit NormalFrep(...,...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur DIST puis sur

NORM puis Ncd. On écrit alors NormCD(...,...,1,0)

...

(résultat : ≈ ^0,021 )

b. P(Z ⩽ 0,7)

Pour n (0;1) , P( Z ⩽ 0 )=...

La calculatrice donne P( 0 ⩽ Z ⩽ 0,7) ≈ ...

Donc P(Z ⩽ 0,7) ≈ …...

(résultat : ≈ ^0,758 )

c. P(Z>-0,2)

La calculatrice donne P( -0,2 ⩽ Z ⩽ ⁰⁾

≈...

P(Z>-0,2) = P(-0,2<Z<0) +

P(...) ≈...+ ...

(résultat : ≈ 0,579 )

(10)

2.a. Déterminer t tel que P( Z ⩽ t)=0,25 Indications :

Sur la TI :

– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit « FracNormale( » et on écrit FracNormale(...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur DIST puis sur

NORM puis InvN. On écrit alors InvNormCD(...,1,0)

...

(résultat : ≈-0,674)

2.b. Déterminer u tel que P(Z > u)=0,4 P(Z>u)=0,4 ⇔ ⩽> P(Z ⩽ u) =...

...

(résultat : u≈ 0,2533 ) Propriété n°5

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) et α un réel positif plus petit que 1 .

Alors il existe un unique réel u

α

positif tel que P( -u

α

⩽ Z ⩽ u

α

) = 1 – α .

Démonstration (principe)

Théorème de la bijection sur la fonction de densité f .

En particulier (à connaître !!!) :

Si α = 0,05 , u

α

≈ 1,96

Si α = 0,01 , u

α

≈ 2,58

Se tester n°1 - C16_1 (/6)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C16.a ¹ Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un intervalle donné.

Ex.1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) .

On arrondira les résultats au millième près. On donnera la formule de la calculatrice utilisée si elle est utilisée.

1. a [1] . Déterminer P(-3 ⩽ X ⩽ 3)

(11)

...

b [1] . Déterminer P(X< 1) sans utiliser de grandes ou petites limites.

Expliquer son calcul.

...

c [1.5] . Déterminer P(X>1) sans calculatrice. Expliquer.

...

2.a [1] . Déterminer t tel que P(X<t)=0,15.

...

b [1.5] . Déterminer t tel que P(X>t)=0,14. Expliquer le calcul.

...

(12)

(13)

Indices et résultats

Ex.1 : 1.a. 0,99730020393674 1.b. 0,841344746068543 1.c. 0,158655253931457 2.a. -1,03643338949379 2.b. 1,08031934081496.

Interrogation n°1 Objectifs :

C16.a_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un intervalle donné.

Exercice n°1

Ex.17 p.335

Exercice n°2

Ex.18 p.335

Exercice n°3

Ex.23 p.335

Exercice n°4*

Ex.27 p.335

Cours n°2

II) Loi normale n (μ ; σ ²) Définition n°3

On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres μ et σ ² si Z=

X − μ

σ suit la loi normale centrée réduite.

Propriété n°6

Si X suit la loi normale de paramètres μ et σ² , alors : 1) E(X)=....

2) V(X)=...

3) σ (X)=...

4) P(X ∈ [μ – σ ; μ + σ]) ≈ …...

5) P(X ∈ [μ – 2σ ; μ + 2σ]) ≈ …...

6) P(X ∈ [μ – 3σ ; μ + 3σ]) ≈ …...

Exemple n°2 : Méthode pour calculer une probabilité avec (μ; n σ ² ) .

1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi n (7;2

²

)

a. Déterminer une valeur approchée au millième de P( 6 ⩽ X ⩽ 9) :

...

(14)

...

(résultat : ≈ ^0,533 )

b. Déterminer une valeur approchée au millième de P( X ⩽ 10) :

...

(résultat : ≈ 0,933 )

2. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi n (6;3

²

)

a. Déterminer t tel que P( Y < t ) = 0,95.

...

(résultat : ≈ 10 ,935 )

b. Déterminer u tel que P( Y ⩾ u ) = 0,1.

...

(résultat : ≈ 9 ,844 )

Exemple n°3 : Méthode pour déterminer un σ inconnu.

On sait que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart- type σ inconnu.

On sait que P(X ⩽ 237) = 0,14.

Déterminer σ . Réponse :

σ étant inconnu, il est impossible d’utiliser ………..

on se ramène à une

→ loi ………... :

Soit la variable aléatoire Y = X −...

... . Si X ⩽ 237,

X – ….. … …..

X −...

... … … ...

P(X ⩽ 237)= 0,14.

Donc P(Y ⩽ …

... )=…..

D’après la calculatrice, en utilisant la loi normale centrée réduite, on trouve :

…

... ≈ ……

D’où σ ≈ …………

(15)

Se tester C16.2 (/9)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C16.b ¹ Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre \4 et  réduite d'être dans un intervalle donné.

Ex.1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale n (7;1²) .

On arrondira tous les résultats au millième près. On donnera toujours la formule utilisée même si on se sert de la calculatrice.

1. Déterminer : a [1] . P(0 ⩽ X ⩽ 1).

...

b [1] . P(X< 10) .

...

c [1.5] . P(X> 5) .

...

2.Déterminer

a[1]. t tel que P(X<t)=0,19 :

...

b [1.5] . t tel que P(X>t)=0,21 :

...

Ex.2 : [3]

On sait que la variable aléatoire X suit une loi normale d’esp érance 200 et d’écart- type σ inconnu.

On sait que P(X ⩽ 200) = 0,74.

Déterminer σ .

...

(16)

...

(17)

Indices et résultats

Ex.1 : 1.a. 0,00000000085307832493815 1.b. 0,99865010196837 1.c.

0,977249868051821 2.a. 6,12210370494877 2.b. 7,80642124701824.

Ex.2 : 0

Interrogation n°2 Objectifs :

C16.b_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 7 et  réduite d'être dans un intervalle donné.

C16.c_Niv2 : Savoir calculer  connaissant l’espérance et une probabilité donnée.

Exercice n°5

Ex.28 p.335

Exercice n°6

Ex.34 p.335

Exercice n°7*

Ex.86 p.340

Exercice n°8*

Ex.89 p.340

Exercice n°9*

Ex.93 p.340

Exercice n°10**

Sujet D p.350

(18)

(19)

Indices et résultats

Ex. n°1 (Ex.17 p.335): a. 0,136 b. 0,595 c. 0,087 d. 0,566

Ex. n°2 (Ex.18 p.335) : a. 0,683 b. 0,403 c. 0,224 d. 0,764 Ex. n°3 (Ex.23 p.335) : a ≈ 0,396

**Ex. n°4* (Ex.27 p.335) : 1 et 2.** φ(a)=0,96 3. a ≈ 1,751

Ex. n°5 (Ex.28 p.335) : a. 0,789 b. 0,773 c. 0,401 d. 1

Ex. n°6 (Ex.34 p.335) : 1. 45,492 2. 39,712 3. 41,593 4. 37,407

**Ex. n°7* (Ex.86 p.340) : 1.** 120 km 2.a. 0,525 2.b. 0,858 3. 114

**Ex. n°8* (Ex.89 p.340) :** 9545 fruits sont acceptés, en moyenne.

**Ex. n°9* (Ex.93 p.340) : 1.** 81,76 % 2. 2,28 % 3. Q

1

≈ 2h30 , Q

2

= 3h , Q

3

≈ 3h30 .

Ex. n°10 (Sujet D p.350) : 1.a.** 0,96 . 1.d. μ ≈ 1,93 et σ ≈ 0,10 . 2. 621 personnes.

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Doc généré n° 1 : Chapitre n°16