Pourcentages
Il faut savoir calculer le
pourcentage d'une quantité...
Pour calculer 5 % de 84 il suffit de traduire
%……. diviser par 100
de 84…. multiplier par 84
On obtient alors 100 5 84 4, 2
Pour calculer 5 % de 84,
Il n’y a pas de priorité entre la multiplication et la division donc :
On peut calculer ou
ou
2 , 100 4
420
5
100 84
2 , 4 84
, 0 5
5
100 84
4,2 84
0,05 100 84
5
Calcule mentalement
5 % de 120
15 % de 600
25 % de 400
18 % de 200
7 % de 35
3 % de 900
…….et vérifiez vos réponses.
5 % de 120 = 6 15 % de 600 = 90 25 % de 400 = 100 18 % de 200 = 36 7 % de 35 = 2,45 3 % de 900 = 27
Calculer un pourcentage ….
15 847 électeurs sur 26 458 ont voté pour Fil
Dans les mêmes proportions, si 100 personnes avaient voté combien auraient voté pour Fil ?
On cherche à savoir quel est le pourcentage des voix obtenu par Fil par rapport au nombre de suffrages exprimés
Tu peux retenir la formule
ou la retrouver grâce au tableau :
Si 100
personnes avaient voté ?
Il ne reste plus qu’à résoudre 26458 x = 15847 x 100 Sont allés
voter Ont voté pour Fil
26458
15847
100
x
Pour trouver un pourcentage proche de 59,9%
26458 100 15847
x
Ou encore raisonner ainsi...
15847 électeurs sur 26458 ont voté pour Fil
Dans les mêmes proportions, si 100 personnes avaient voté combien auraient voté pour Fil ?
On cherche à savoir quel est le pourcentage des voix obtenu par Fil par rapport au nombre de suffrages exprimés.
59894 ,
26458 0
15847 Soit environ 59,9 centièmes c’est à dire 59,9%
Calcule mentalement
5 représentent % de 50
15 représentent % de 30
20 représentent % de de 400
18 représentent % de 200
7 représentent % de 35
27 représentent % de 900
…….et vérifiez vos réponses.
10 50
5 9 20
3
Un problème
La construction d'une maison comporte plusieurs grandes étapes (rechercher le sens de chaque terme)
La signature du contrat...
la délivrance du permis de construire...
l'ouverture du chantier...
l'achèvement des fondations...
l'achèvement des murs...
la mise hors d'eau...
la mise hors d'air...
l'achèvement des travaux électriques...
la réception des travaux ...
A la fin de chaque tranche le maître d'ouvrage paye une fraction du prix total au constructeur selon les conventions suivantes :
5 % du prix total 5 % du prix total 5 % du prix total 10 % du prix total 15 % du prix total 15 % du prix total 20 % du prix total 20 % du prix total le reste soit 7 200€
TROUVER LE PRIX DE CETTE MAISON
Signature du contrat
5 % du prix
Délivrance du permis de
construire
5 % du prix
5 % du prix Ouverture du chantier
Achèvement des fondations
10 % du prix
Achèvement des murs
15 % du prix
Mise hors d’eau
Mise hors d’air
Achèvement des travaux
élctriques
solde
15 % du prix
20 % du prix
20 % du prix
7 200 euros
95% du prix 5% du prix
On constate que 7 200 € représentent 5 % du prix total
La maison coûte 144000€
Pourcentage du prix
Montant en euros
5
7200
100
x
5x = 720000
Problèmes de mélange...
La boisson "riche en fruit" contient 80 % de jus de fruits tandis que la boisson "fait des bulles contient 20 % de jus de fruits.
On remplit 3 cruches de 2 litres de boisson en mélangeant : 1ère cruche :
1 litre de "riche en fruit" et 1 litre de "fait des bulles"
2èm cruche :
1,5 litre de "riche en fruit" et 0,5 litre de "fait des bulles"
3ème cruche :
0,5 litre de "riche en fruit" et 1,5 litre de "fait des bulles"
Calculer le pourcentage de jus de fruits contenu dans chaque cruche.
La boisson "riche en fruit" contient 80% de jus de fruits tandis que la boisson "fait des bulles contient 20% de jus de fruits. Dans la première cruche :
1 litre de "riche en fruit" contient et
1 litre de "fait des bulles" contient
80 cl de jus de fruits 20cl de jus de fruits
La cruche de 2 litres contient 100cl soit 1 litre de jus de fruits
Problèmes de mélange...
soit 50% de jus de fruits.
1litre = 100cl
La boisson "riche en fruit" contient 80 % de jus de fruits tandis que la boisson "fait des bulles contient 20 % de jus de fruits. Dans la deuxième cruche :
1,5 litre de "riche en fruit" contient et
0,5 litre de "fait des bulles" contient
120 cl de jus de fruits
10 cl de jus de fruits La cruche de 2 litres contient 130 cl de jus de fruits
Problèmes de mélange...
soit 65 % de jus de fruits.
120 100 150
80
10 100 50
20
100 65 200
130
La boisson "riche en fruit" contient 80 % de jus de fruits tandis que la boisson "fait des bulles contient 20 % de jus de fruits. Dans la troisième cruche :
0,5 litre de "riche en fruit" contient et
1,5 litre de "fait des bulles" contient
40 cl de jus de fruits
30 cl de jus de fruits La cruche de 2 litres contient 70 cl de jus de fruits
Problèmes de mélange...
soit 35 % de jus de fruits.
40 100 50
80
30 100 150
20
100 35 200
70
Un yaourt sucrée " reste fine" contient 3 % de sucre et une autre yaourt "fait grossir " contient 15 % de sucre.
Calculer la masse de sucre contenue dans une cuillère de 20 g de "reste fine".
Calculer la masse de sucre contenue dans un pot de 60 g de "fait grossir".
On mélange ces deux quantités de yaourt.
Quelle est la masse de yaourt obtenue ? Combien de sucre contient-elle ?
Quel est le pourcentage de sucre contenu dans le mélange ?
Un deuxième problème
0,6 g 20 0,6
100
3
9 100 60
15
9 g
60 + 20 = 80 g 9 + 0,6 = 9,6 g
12 80 100
6 ,
9
12 %
Problème de prix
Complète les deux tableaux suivants.
Vérifie que ce sont des tableaux de
proportionnalité et calcule les coefficients de proportionnalité .
Prix avant augmentation 48 € 758 € 19453 €
augmentation de 20,6 % 9,89 €
Prix avant augmentation 48 € 758 € 19453 €
Prix à payer 57,89 €
156,15 € 4007,32 €
914,15 € 23460,32 €
Prix avant augmentation 48 € 758 € 19 453 €
augmentation de 20,6% 9,89 € 156,15 € 4007,32 €
Prix avant augmentation 48 € 758 € 19 453 €
Prix à payer
après augmentation de 20,6% 57,89 € 914,15 € 23460,32 €
Remarque, en 2001 le taux de la T.V.A. était de 20,6%.
Dans le premier tableau tu trouves un prix hors taxe (P.H.T.) et la taxe.
Dans le deuxième tableau tu trouves un prix hors taxe et le prix toutes taxes comprises (P.T.T.C.)
x 1,206 x 0,206 T.V.A. = 0,206 x P.H.T. P.T.T.C. = 1,206 x P.H.T
On peut retenir
Attention DANGER !
Un article coûtait 100 €
On souhaite lui appliquer une hausse de 10 %
puis une baisse de 10 %.
Quel sera son prix ?
Un article coûte 100 € après avoir subit une hausse de 25%.
Quel était le prix avant la hausse ?
On ne calcule pas 10% de la même somme!
100 + 10 % de 100 =110 € 110 – 10 % de 110 = 99 €
Le prix avant la hausse n'est pas de 75 € !!!
car 75 + 25 % de 75 = 93,75 € Vérifie que 80 + 25 % de 80 = 100
L'article coûtera 99 €
L'article coûtait 80 €
Synthèse des savoir faire sur les pourcentages.
(5ème)
En 6ème : savoir calculer le pourcentage d’une quantité.
En 5ème : savoir retrouver un pourcentage en calculant une quatrième proportionnelle ou en utilisant un quotient.
Savoir utiliser les techniques précédentes dans différents problèmes.
•Un yaourt sucrée " reste fine" contient 3% de sucre et une autre yaourt "fait grossir contient 15 % de sucre.
Calcule la masse de sucre contenue dans une cuillère de 20 g de "reste fine".
Calcule la masse de sucre contenue dans un pot de 60 g de "fait grossir".
On mélange ces deux quantités de yaourt.
Quelle est la masse obtenue ? Combien de sucre contient-elle ?
Quel est le pourcentage de sucre contenu dans le mélange ? 12 % de 458 =
56 représente % de 254.
•Un article coûte 950 € son prix augmente de 2,5 %. Calculer son nouveau prix.
•Un article coûte 325 € son prix baisse de 5 %. Calculer son nouveau prix.
Pour être efficace...
On peut retenir les deux tableaux suivants...
Et apprendre à les utiliser...
Ce tableau peut t'aider à résoudre les problèmes concernant une augmentation de t % du prix.
Prix initial Montant de
l'augmentation Prix à payer
100 t 100 + t
Prix initial Montant de la
réduction Prix à payer
100 t 100 – t
Ce tableau peut t'aider à résoudre les problèmes
concernant une réduction de t% du prix.
Un article coûtant 400
€
subit une hausse de 31,5€
. Calculer le taux de l'augmentation.Prix initial Montant de
l'augmentation Prix à payer
Complète la première ligne à l'aide de l'énoncé.
400 31,5 431,5
100 t 100 + t
Plusieurs proportions peuvent être utilisées...
Prix initial Montant de
l'augmentation Prix à payer
400 t = 100 x 31,5
400 31,5 431,5
100 t 100 + t
400 (100 + t ) = 100 x 431,5 31,5 (100 + t) = 431,5t
Trouve t à l'aide de la première équation et vérifie que cette valeur est aussi solution des deux autres équations.
Pour trouver t = 7,875 %
Un article coûtant 786 € subit une baisse de 22,5 €.
Calculer le taux de la baisse.
Complète la première ligne à l'aide de l'énoncé.
786 22,5 763,5
100 t 100 – t
Plusieurs proportions peuvent être utilisées...
Prix initial Montant de
l'augmentation Prix à payer
786 t = 100 x 22,5
786 22,5 763,5
100 t 100 - t
786 (100 - t ) = 100 x 763,5 22,5 (100 - t) = 763,5t
Trouver t à l'aide de la première équation.
(Retrouve cette valeur à l'aide des autres équations.)
Pour trouver t proche de 2,86 %
Un article coûte 1066, 40
€T.T.C. Son prix hors taxe est de 800€. Quel est le taux de la taxe ?
Prix hors taxe Montant de
l'augmentation Prix à payer
100 t 100 + t
Attention ajouter une taxe c'est augmenter le P.H.T. de t %
800 1066,40
800 t = 266,40 100 t = 33,3
Le taux de la taxe est de 33,3 %
Vérification :
33,3 % de 800 = 266,40 266,40
Un article coûte 979,9€ après une hausse de 2,5%.
Retrouver le prix avant la hausse..
Prix initial Montant de
l'augmentation Prix à payer
100 t2,5 100 + t102,5
979,9 x
102,5x = 979,9 x 100 Le prix avant la hausse était de 956€.
Vérification :
2,5 % de 956 = 23,9 956 + 23,9 = 979,9
Prix initial Montant de la
réduction Prix à payer
100 25 75
J'ai obtenu une remise de 25% sur un téléviseur que j’ai payé 3090€. Quel était le prix affiché ?
3090 x
x = 4120 €
75
3090 100
x
Vérification :
4120 - 3090 = 1030 25% de 4120 = 1030
Que signifie la phrase "
les prix ont augmenté de 200%"
Prix initial Montant de
l'augmentation Prix à payer
100 t 100 + t
100 200 300
Les prix ont été multipliés par trois !!!
Les prix ont triplés.
En 3
ème, résumons et démontrons
Si Pi désigne le prix initial, Pf le prix final (après
augmentation ou baisse) et si t est le pourcentage de hausse ou de baisse on a :
Pf = Pi + (la hausse) Pf =Pi + Pi x t/100
Pf = Pi ( 1+ t/100)
Pf = Pi - (la baisse) Pf = Pi - Pi x t/100 Pf = Pi ( 1- t/100) Examine le cas d ’une baisse
Remarque :
il n'est pas nécessaire que Pi et Pf désignent des prix !
Et appliquons
Augmenter de t % c' est multiplier par 1+ t/100
Par exemple augmenter de 2,5 % c'est multiplier par 1,025 Diminuer de t % , c'est multiplier par 1 - t/100
Par exemple diminuer de13 %, c'est multiplier par 0,87 Pf = Pi ( 1 + t/100)
Pf = Pi ( 1- t/100)
Cette méthode permet de gagner beaucoup de temps…...
- Article coûtant 458 € , avec remise de 7 %
- Article coûtant 6985 € avec remise de 18 % - Article coûtant 153 € avec remise de 5 %
- Article coûtant 26 €
avec augmentation de 3 % - Article coûtant 45 569 € avec augmentation de 5,8 % - Article coûtant 23,5€
avec augmentation de16,9 %
458 (1 – 0,07) = 425,94 € 6985 (1 – 0,18) = 5727,70 € 153 (1 – 0,05) = 145,35 € 26 x (1 + 0,03 ) = 26,78 €
45 569 x (1 + 0,058 ) = 48212 € 23,5 x (1 + 0,169 ) = 27,47 €
Calcule maintenant le prix à payer dans
les cas suivants :
558 € ,après remise de 7 % 685 €, après remise de 18 % 1353 € , après remise de 5 % 2666 € , après augmentation de 13 %
4559 € , après augmentation de 5,8 %
123,5 € , après augmentation de 1,9 %
x (1 – 0,07) = 558 €
x = 600 € x (1 0,18) = 685 €
x = 835,36 € x (1 – 0,05) = 1353 €
x = 1424,21 € x (1 + 0,13 ) = 2666 €
x = 2359,29 € x (1 + 0,058 ) = 4559 €
x = 4309,07 € x (1 + 0,019 ) = 123,5 €
x = 121,20 €
Calcule maintenant le prix initial x d'un
article pour lequel on a payé :
450 € - 414 € = 36 €
3600/450 = 8 baisse de 8 %
7000 € - 6985 € = 15 €
1500/6985 ~ 0,2 hausse proche de 0,2 %
1523 € - 1400 € = 123 €
12300/1523 ~ 4,8 baisse proche de 4,8 %
26 F - 15€ = 11€
1100/26 ~ 42,3 baisse proche de 42,3 % 46700 - 45569 € = 1131€
113100/45569 ~ 2,5 hausse proche de 2,5 %
23,5 € - 20 € = 3,5 €
350/23,5 ~14,9 baisse proche de 14,9 %
Calcule le taux de l'augmentation ou de la baisse dans les cas suivants :
- Article coûtant 450 € , payé 414 €
- Article coûtant 6985 € payé 7000 €
- Article coûtant 1523 € payé 1450 €
- Article coûtant 26 € payé 15 €
- Article coûtant 45 569 € payé 46 700 €
- Article coûtant 23,5 € payé 20 €
Autre méthode
Calcule le taux de l'augmentation ou de la baisse dans les cas suivants :
- Article coûtant 450 € , payé 414 €
- Article coûtant 45 569 €, payé 46 700 €
Autre méthode : reconnaître l'augmentation en calculant le rapport prix final / prix initial....
450
414 0 , 92 1 0 , 08
On reconnaît une baisse de 8%.
45569 46700
...
0248 ,
1 1 0 , 025
On reconnaît une hausse proche de 2,5%.
Synthèse des savoir faire sur les pourcentages.
En 6ème : savoir calculer le pourcentage d’une quantité.
En 5ème : savoir retrouver un pourcentage en calculant une quatrième proportionnelle.
Savoir utiliser les techniques précédentes dans différents problèmes.
En 3ème : connaître et savoir utiliser les propriétés suivantes :
• augmenter un nombre de n % : c’est le multiplier par 1 + n / 100
• diminuer un nombre de n % c’est le multiplier par 1 - n / 100
Un yaourt sucrée " reste fine" contient 3% de sucre et une autre yaourt "fait grossir "
contient 15% de sucre.
Calcule la masse de sucre contenue dans une cuillère de 20g de "reste fine".
Calcule la masse de sucre contenue dans un pot de 60g de "fait grossir".
On mélange ces deux quantités de yaourt.
Quelle est la masse obtenue ? Combien de sucre contient-elle ?
Quel est le pourcentage de sucre contenu dans le mélange ? 12% de 458 =
56 représente % de 254.
Un article coûte 979,9 € après une hausse de 2,5%. Retrouver le prix avant la hausse.
J’ai payé un article 548,80 € après avoir obtenu une remise de 2,5%. Combien ai-je économisé ?
