Chapitre n°16
Objectifs :
Niveau a eca n
C16.a 1 Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un
intervalle donné.
C16.b 1 Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 4 et réduite d'être dans un intervalle donné.
C16.c 2 Savoir calculer connaissant l’espérance et une probabilité donnée.
Activité n°1
Partie A
On considère une variable aléatoire X
nqui suit une loi binomiale b (n,p) . 1. Quelles sont les valeurs possibles prises par X
n?
…...…
2. Rappeler les valeurs de l'espérance mathématique E
n(X
n) et de l'écart-type σ
n(X
n)
de X
n.
…...…
3. Rappeler les formules donnant E(aX+b) en fonction de E(X) et V(aX+b) en fonction de V(X).
…...
...……….
Partie B
On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilité d’une variable aléatoire X
nsuivant la loi binomiale b (n;0,3) où l’on fera varier n .
1. Dans le tableau ci-dessous, on donne pour n = 30 , les valeurs approchées des probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à 10 -2 , les autres ayant été négligées). On en donne ensuite une représentation graphique en bâtons.
Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3
k ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...
P(X
30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...
a. Calculer P(6 ≤ x ≤ 11) .
…...
...
...………...
b. Représenter ci-dessous l’histogramme où chaque rectangle :
→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.
→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici une unité).
→ a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à sa probabilité).
Histogramme de la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,3
c. Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tous les rectangles possibles (et pas seulement ceux correspondant à une probabilité supérieure à 10
-2) ?
…...
...……….………..………..
d. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X
30.
…...
...
...
...
...……….
2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans le cas où n=50 et n=200 , la
probabilité élémentaire restant à 0,3
a. Dans chacun des deux cas, calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire.
…...
...
...
...
...
b. Où retrouve-t-on l'espérance sur les graphiques ?
…...
...
c. Quel est l'influence de l'écart-type sur les graphiques ?
…...
...
...
Partie C :
On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Y
n= X
n– μ , où X
nest la variable aléatoire de la partie B et μ est l'espérance de X
n.
1. Si n=30 , que vaut l'espérance de Y
30?
…...
...
2. Compléter le tableau suivant :
Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3
k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...
P(Y
30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...
3. Représenter l'histogramme de la loi de probabilité de Y
30sur le graphique ci- dessous :
Histogramme de la loi de probabilité de Y
304. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où n vaut 50 et où n vaut
200 :
Calculer, dans le cas général, l'espérance et l'écart-type de Y
n. Jouent-ils le
même rôle pour les graphiques qu'à la partie B ?
…...
...
...
...
...
...
...
...
…...
...
...
...
Partie D
On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Z
ntelle que Z
n= X
n−μ
σ où X
nest la variable aléatoire de la partie B, μ est l'espérance de X
net σ l'écart-type de X
n. 1. Calculer l'écart-type et l'espérance de Z
n.
…...
...
...
...
2. On donne n=30 . Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs de k au
centième) :
Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3
k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...
P(Z
30=k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...
3. On rappelle que chaque rectangle de l'histogramme :
→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.
→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici …...).
→ a son aire doit être égale à la probabilité, sachant que les probabilités, elles, n'ont pas changées.
a. Vérifier que la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire Z
30est constante.
...
...………...
...
...………...
b. Compléter alors le tableau suivant, en expliquant comment calculer la hauteur de chaque rectangle :
...
...………...
...
...………...
...
...………...
k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...
Aire du rectang
-le
... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...
Hau- teur du
rec- tangle
... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...
c. Compléter le graphique suivant avec l'histogramme de la loi Z
30.
d. Calculer P(-1,2 ≤ Z
30≤ 0,4).
...
...
...
...
Cours n°1
I) Loi normale centrée réduite Définition n°1
Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance μ vaut … Elle est dite réduite si son écart-type vaut ….
Propriété n°1
La fonction f définie par f(x) = …
√ ... …... est une fonction de densité de probabilité.
Démonstration :
f est …..., p... sur R et ∫
I
f ( t ) dt=... (admis)
Propriété n°2 : Théorème de Moivre-Laplace (admis)
Soit X
nune variable aléatoire qui suit la loi binomiale b (n;p)
( rappel : n est …... ; p est la probabilité de succès d'un événement élémentaire ; l'espérance d'une variable qui suit b (n;p) est
…..., et l'écart-type est np(1-p) ).
Soit Z
n= X
n– np
√ np ( 1− p ) (autrement dit Z
n= X
n– ....
... ) est …... et
…...
De plus lim
n→∞
P ( a≤ Z
n≤ b ) = ∫
a
b
1
√ 2 π e
−x2
2
dx
Définition n°2
Une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :
f(x) = …
√ ... …...
On a alors, pour tous réels a et b tels que a ≤ b , P(a ≤ Z ≤ b) = ∫
a
b
...
√ ... e
−...
....
dx
Remarque n°1
D’après le théorème de Moivre-Laplace, Z est la limite d’une suite de variables
aléatoires qui suivent une loi ……….. transformée en centrée
(l’espérance vaut ….) et réduite (l’écart-type vaut …..), dont le nombre d’
……….. n augmente indéfiniment.
Remarque n°2
La courbe dessinée par les histogrammes, quand n tend vers de grandes valeurs, tend à former une « courbe en cloche », elle aussi centrée réduite :
→
Remarque n°3
f n'admet pas de primitive explicite, on est donc contraint d'utiliser un outils numérique pour déterminer une valeur approchée de P(a ≤ X ≤ b) .
Propriété n°3 :
Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) . Alors P(Z ≤ -a) = P(Z ≥ … ).
Démonstration :
La fonction f définie par f(x) = …
√ ... …... est p...
Propriété n°4
Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) . Soit f la densité de probabilité associée.
Alors :
E(Z)= lim
...→−∞
∫
...
0
... dt + lim
...→+∞
∫
0 ...
... dt V(Z)=....
Exemple n°1 : Méthode pour calculer une probabilité avec n
(0;1) .
Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) . 1. Déterminer
a. P(2 ≤ Z ≤ 3 )
Indications : Sur la TI :
– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit « NormalFrep( » et on écrit NormalFrep(...,...,0,1)
Sur la Casio :
– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur
DIST puis sur NORM puis Ncd. On écrit alors NormCD(...,...,1,0)
...
...
(résultat : ≈ 0,021 )
b. P(Z ≤ 0,7)
Pour n (0;1) , P( Z ≤ 0 )=...
La calculatrice donne P( 0 ≤ Z ≤ 0,7) ≈ ...
Donc P(Z ≤ 0,7) ≈ …...
(résultat : ≈ 0,758 )
c. P(Z>-0,2)
La calculatrice donne P( -0,2 ≤Z ≤ 0)
≈...
P(Z>-0,2) = P(-0,2<Z<0) + P(...) ≈...+
...
(résultat : ≈ 0,579 )
2.a. Déterminer t tel que P( Z ≤ t)=0,25 Indications :
Sur la TI :
– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit « FracNormale( » et on écrit FracNormale(...,0,1)
Sur la Casio :
– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur
DIST puis sur NORM puis InvN. On écrit alors InvNormCD(...,1,0)
...
...
(résultat : ≈-0,674)
2.b. Déterminer u tel que P(Z > u)=0,4 P(Z>u)=0,4 ⇔ <=> P(Z ≤ u) =...
...
...
(résultat : u≈ 0,2533 ) Propriété n°5
Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) et α un
réel positif plus petit que 1 .
Alors il existe un unique réel u
αpositif tel que P( -u
α≤ Z ≤ u
α) = 1 – α .
Démonstration (principe)
Théorème de la bijection sur la fonction de densité f .
En particulier :
Si α = 0,05 , u
α≈ 1,96
Si α = 0,01 , u
α≈ 2,58
Se tester n°1 - C16_1 (/6)
Objectifs :
Niveau a eca n
C16.a 1
Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un
intervalle donné.
Ex.1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n (0;1) . On arrondira les résultats au millième près. On donnera la formule de la calculatrice utilisée si elle est utilisée.
1.
a
[1]. Déterminer P(-3 ≤ X ≤ 1)
...
...
b
[1]. Déterminer P(X< 3) sans utiliser de grandes ou petites limites.
Expliquer son calcul.
...
...
c
[1.5]. Déterminer P(X>3) sans calculatrice. Expliquer.
...
...
2.a
[1]. Déterminer t tel que P(X<t)=0,15.
...
...
b
[1.5]. Déterminer t tel que P(X>t)=0,23. Expliquer le calcul.
...
...
Indices et résultats
Voir exemples du cours.
Interrogation n°1 Objectifs :
C16.a_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un intervalle donné.
Exercice n°1
Ex.17 p.335
Exercice n°2
Ex.18 p.335
Exercice n°3
Ex.23 p.335
Exercice n°4*
Ex.27 p.335
Cours n°2
II) Loi normale n (μ ; σ ²) Définition n°3
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres μ et σ ² si Z=
X − μ
σ suit la loi normale centrée réduite.
Propriété n°6
Si X suit la loi normale de paramètres μ et σ² , alors : 1) E(X)=....
2) V(X)=...
3) σ (X)=...
4) P(X ∈ [μ – σ ; μ + σ]) ≈ …...
5) P(X ∈ [μ – 2σ ; μ + 2σ]) ≈ …...
6) P(X ∈ [μ – 3σ ; μ + 3σ]) ≈ …...
Exemple n°2 : Méthode pour calculer une probabilité avec n
(μ; σ ² ) .
1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi n (7;2
2)
a. Déterminer une valeur approchée au millième de P( 6 ≤ X ≤ 9) :
...
...
...
...
(résultat : ≈ 0,533 )
b. Déterminer une valeur approchée au millième de P( X ≤ 10) :
...
...
...
...
(résultat : ≈ 0,933 )
2. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi n (6;3
2)
a. Déterminer t tel que P( Y < t ) = 0,95.
...
...
...
...
(résultat : ≈ 10 ,935 )
b. Déterminer u tel que P( Y ≥ u ) = 0,1.
...
...
...
...
(résultat : ≈ 9 ,844 )
Exemple n°3 : Méthode pour déterminer un σ inconnu.
On sait que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart- type σ inconnu.
On sait que P(X ≤ 237) = 0,14.
Déterminer σ . Réponse :
σ étant inconnu, il est impossible d’utiliser ………..
on se ramène à une
→ loi ………... :
Soit la variable aléatoire Y = X −...
... .
Si X ≤ 237, X – ….. … …..
X −...
... … …
...
P(X ≤ 237)= 0,14.
Donc P(Y ≤ …
... )=…..
D’après la calculatrice, en utilisant la loi normale centrée réduite, on trouve :
…
... ≈ ……
D’où σ ≈ …………
Se tester C16.2 (/9)
Objectifs :
Niveau a eca n C16.b 1 Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui
suit la loi normale de paramètre 4 et réduite d'être dans un intervalle donné.
C16.c 2
Exercice n°1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale n (5;9²) .
On arrondira tous les résultats au millième près. On donnera la formule utilisée quand on se servira de la calculatrice.
1. Déterminer
a
[1]. P(-2 ≤ X ≤ 1)
...
...
b
[1]. P(X< 1)
...
...
c
[1.5]. P(X> 5)
...
...
2.a
[1]. Déterminer t tel que P(X<t)=0,21 :
...
...
b
[1.5]. Déterminer t tel que P(X>t)=0,14 :
...
...
...
...
...
...
...
...…
Exercice n°2 :
[3]On sait que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 260 et d’écart- type σ inconnu.
On sait que P(X ≤ 215) = 0,86.
Déterminer σ .
...
...
...
...
...
...
...
...…
...
...
...
...
...
...
...
...…
...
...
...
...
...
...
...
...…
Interrogation n°2 Objectifs :
C16.b_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 7 et réduite d'être dans un intervalle donné.
C16.c_Niv2 : Savoir calculer connaissant l’espérance et une probabilité donnée.
Exercice n°5
Ex.28 p.335
Exercice n°6
Ex.34 p.335
Exercice n°7*
Ex.86 p.340
Exercice n°8*
Ex.89 p.340
Exercice n°9*
Ex.93 p.340
Exercice n°10**
Sujet D p.350
Indices et résultats
Ex. n°1 (Ex.17 p.335): a. 0,136 b. 0,595 c. 0,087 d. 0,566
Ex. n°2 (Ex.18 p.335) : a. 0,683 b. 0,403 c. 0,224 d. 0,764 Ex. n°3 (Ex.23 p.335) : a ≈ 0,396
Ex. n°4* (Ex.27 p.335) : 1 et 2. φ(a)=0,96 3. a ≈ 1,751
Ex. n°5 (Ex.28 p.335) : a. 0,789 b. 0,773 c. 0,401 d. 1
Ex. n°6 (Ex.34 p.335) : 1. 45,492 2. 39,712 3. 41,593 4. 37,407
Ex. n°7* (Ex.86 p.340) : 1. 120 km 2.a. 0,525 2.b. 0,858 3. 114
Ex. n°8* (Ex.89 p.340) : 9545 fruits sont acceptés, en moyenne.
Ex. n°9* (Ex.93 p.340) : 1. 81,76 % 2. 2,28 % 3. Q
1≈ 2h30 , Q
2= 3h , Q
3≈ 3h30 .
Ex. n°10** (Sujet D p.350) : 1.a. 0,96 . 1.d. μ ≈ 1,93 et σ ≈ 0,10 . 2. 621 personnes.
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