Chapitre n°16Objectifs :

(1)

Chapitre n°16

Objectifs :

Niveau a eca n

C16.a ¹ Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un

intervalle donné.

C16.b ¹ Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre µ et  réduite d'être dans un intervalle donné.

C16.c ² Savoir calculer  connaissant l’espérance et une probabilité donnée.

Activité n°1

q.1 (Partie A)

On considère une variable aléatoire

X

n qui suit une loi binomiale b

(n,p)

. 1. Quelles sont les valeurs possibles prises par

X

n ?

…...…

2. Rappeler les valeurs de l'espérance mathématique

E

n

(X

n

)

et de l'écart-type

σ

n

(X

n

)

de

X

n.

…...…

3. Rappeler les formules donnant

E(aX+b)

en fonction de

E(X)

et

V(aX+b)

en fonction de

V(X).

…...

...……….

q.2 (Partie B)

On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilité d’une variable aléatoire

X

n suivant la loi binomiale b

(n;0,3)

où l’on fera varier

n

.

1. Dans le tableau ci-dessous, on donne pour

n = 30

, les valeurs approchées des probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à

10

^-2, les autres ayant été négligées). On en donne ensuite une représentation graphique en bâtons.

Loi binomiale de paramètres

n = 30

et

p = 0,3

k

^...

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...

P(X

30

=k)

^...

0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

(2)

a. Calculer

P(6 ≤ x ≤ 11)

.

…...

...

...………...

b. Représenter ci-dessous l’histogramme où chaque rectangle :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici une unité).

→ a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à sa probabilité).

Histogramme de la loi binomiale de paramètres

n=30

et

p=0,3

c. Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tous les rectangles possibles (et pas seulement ceux correspondant à une probabilité supérieure à

10

^-2) ?

…...

...……….………..………..

d. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de

X

30.

…...

...

...……….

2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans le cas où

n=50

et

n=200

, la probabilité élémentaire restant à

0,3

(3)

a. Dans chacun des deux cas, calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire.

…...

...

b. Où retrouve-t-on l'espérance sur les graphiques ?

…...

...

c. Quel est l'influence de l'écart-type sur les graphiques ?

…...

...

q.3 (Partie C)

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire

Y

n

= X

n

– μ

, où

X

n est la variable aléatoire de la partie B et

μ

est l'espérance de

X

n.

1. Si

n=30

, que vaut l'espérance de

Y

30 ?

…...

...

2. Compléter le tableau suivant :

n = 30

et

p = 0,3

k

^...

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Y

30

=k )

...

0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

3. Représenter l'histogramme de la loi de probabilité de

Y

30 sur le graphique ci- dessous :

(4)

Histogramme de la loi de probabilité de

Y

30

4. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où

n

vaut

50

et où

n

vaut

200

:

Calculer, dans le cas général, l'espérance et l'écart-type de

Y

n. Jouent-ils le même rôle pour les graphiques qu'à la partie B ?

(5)

…...

...

…...

...

q.4 (Partie D)

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire

Z

n telle que

Z

n

=

^Xⁿ_σ^−μ où

X

n est la variable aléatoire de la partie B,

μ

est l'espérance de

X

n et

σ

l'écart-type de

X

n. 1. Calculer l'écart-type et l'espérance de

Z

n.

…...

...

2. On donne

n=30

. Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs de

k

au centième) :

(6)

n = 30

et

p = 0,3

k

^...

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Z

30

=k )

...

0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

3. On rappelle que chaque rectangle de l'histogramme :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici …...).

→ a son aire doit être égale à la probabilité, sachant que les probabilités, elles, n'ont pas changées.

a. Vérifier que la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire

Z

30 est constante.

...

...………...

...

...………...

b. Compléter alors le tableau suivant, en expliquant comment calculer la hauteur de chaque rectangle :

...

...………...

...

...………...

...

...………...

k

...

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

Aire du rectang-

le

...

0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

Hau- teur du rec-

tangle

... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

(7)

c. Compléter le graphique suivant avec l'histogramme de la loi

Z

30.

d. Calculer

P(-1,2 ≤ Z

30

≤ 0,4).

...

(8)

Cours n°1

I) Loi normale centrée réduite Définition n°1

Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance

μ

vaut … Elle est dite réduite si son écart-type vaut ….

Propriété n°1

La fonction

f

définie par

f(x) =

^…

√

^...

^…...

est une fonction de densité de probabilité.

Démonstration :

f

est …..., p... sur

R

et

∫

I

f(t)dt=...(admis)

Propriété n°2 : Théorème de Moivre-Laplace (admis)

Soit

X

n une variable aléatoire qui suit la loi binomiale b

(n;p)

(

rappel

: n

est

…... ; p

est la probabilité de succès d'un événement élémentaire ; l'espérance d'une variable qui suit b

(n;p)

est

…..., et l'écart-type est

np(1-p)

).

Soit

Z

n

=

^Xⁿ^{– np}

√

^np⁽¹⁻^p) (autrement dit

Z

n

=

^Xⁿ^–^....

...

)

est …... et

…...

De plus lim

n→ ∞ P(a≤Z_n≤b)

= ∫

a

b 1

√

²^π^e

−x²

2 dx

Définition n°2

Une variable aléatoire

Z

suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction

f

définie sur

R

par :

f(x) =

^…

√

^...

^…...

On a alors, pour tous réels

a

et

b

tels que

a ≤ b

,

P(a ≤ Z ≤ b) = ∫

a

b ...

√

^...^e

−...

.... dx

Remarque n°1

D’après le théorème de Moivre-Laplace,

Z

est la limite d’une suite de variables aléatoires qui suivent une loi ……….. transformée en centrée (l’espérance vaut ….) et réduite (l’écart-type vaut …..), dont le nombre d’

(9)

………..

n

augmente indéfiniment.

Remarque n°2

La courbe dessinée par les histogrammes, quand

n

tend vers de grandes valeurs, tend à former une « courbe en cloche », elle aussi centrée réduite :

→

Remarque n°3

f n'admet pas de primitive explicite, on est donc contraint d'utiliser un outils numérique pour déterminer une valeur approchée de P(a ≤ X ≤ b)

.

Propriété n°3 :

Soit

Z

une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite

n(0;1)

. Alors

P(Z ≤ -a) = P(Z ≥

…

).

Démonstration :

La fonction

f

définie par

f(x) =

^…

√

^...

^…...

est p...

Propriété n°4

Soit

Z

n(0;1)

^{. Soit}

f

la densité de probabilité associée.

Alors :

E(Z)=

lim

...→−∞

∫

...

0

...dt+lim

...→+∞

∫

0 ...

...dt

V(Z)=....

Exemple n°1 : Méthode pour calculer une probabilité avec n

(0;1)

.

(10)

Sur la TI :

– On accède au menu

distrib

en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit «

NormalFrep(

» et on écrit

NormalFrep(...,...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu

RUN

, on appuie sur puis sur puis sur

STAT

puis sur

DIST

puis sur

NORM

puis

Ncd.

On écrit alors

NormCD(...,...,1,0)

...

(résultat : ≈

0,021

)

b.

P(Z ≤ 0,7)

Pour n(0;1)

,

P( Z ≤

0 )=...

La calculatrice donne P( 0 ≤ Z ≤

0,7) ≈

...

Donc P(Z ≤ 0,7) ≈

…...

(résultat : ≈

0,758

)

c.

P(Z>-0,2)

La calculatrice donne P( -0,2 ≤Z ≤

0)

≈...

P(Z>-0,2) = P(-0,2<Z<0) + P(...) ≈...

+ ...

(résultat : ≈

0,579

)

2.a. Déterminer

t

tel que

P( Z ≤ t)=0,25 Indications :

Sur la TI :

– On accède au menu

distrib

en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit «

FracNormale(

» et on écrit

FracNormale(...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu

RUN

, on appuie sur puis sur puis sur

STAT

puis sur

DIST

puis sur

NORM

puis

InvN.

On écrit alors

InvNormCD(...,1,0)

...

(résultat : ≈-0,674)

2.b. Déterminer

u

tel que

P(Z > u)=0,4 P(Z>u)=0,4 ⇔<=> P(Z ≤ u) =...

...

(résultat : u≈

^0,2533

) Propriété n°5

Soit

Z

n(0;1)

et

α

un réel positif plus petit que

1

.

Alors il existe un unique réel

u

α positif tel que

P( -u

α

≤ Z ≤ u

α

) = 1 – α

.

(11)

Démonstration (principe)

Théorème de la bijection sur la fonction de densité

f

.

En particulier :

Si

α = 0,05

,

u

α

≈ 1,96

Si

α = 0,01

,

u

α

≈ 2,58

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP16_Setester_1_NG.odt}

Interrogation n°1 Objectifs :

C16.a_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un intervalle donné.

Exercice n°1

Ex.17 p.335

Exercice n°2

Ex.18 p.335

Exercice n°3

Ex.23 p.335

Exercice n°4*

Ex.27 p.335

Cours n°2

II) Loi normale n (μ ; σ ²) Définition n°3

On dit qu'une variable aléatoire

X

suit la loi normale de paramètres

μ

et

σ

² si

Z=

X−μ

σ suit la loi normale centrée réduite.

Propriété n°6

Si

X

suit la loi normale de paramètres

μ

et

σ²

, alors : 1)

E(X)=....

2)

V(X)=...

3) σ

(X)=...

4)

P(X ∈ [μ – σ ; μ + σ]) ≈ …...

5)

P(X ∈ [μ – 2σ ; μ + 2σ]) ≈ …...

6)

P(X ∈ [μ – 3σ ; μ + 3σ]) ≈ …...

(12)

...

(résultat : ≈

0,533

)

b. Déterminer une valeur approchée au millième de

P( X ≤ 10) :

...

(résultat : ≈

0,933

)

2. Soit

Y

une variable aléatoire suivant la loi

n(6;3

²

)

a. Déterminer

t

tel que

P( Y < t ) = 0,95.

...

(résultat : ≈ 10

,935

)

b. Déterminer

u

tel que

P( Y ≥ u ) = 0,1.

...

(résultat : ≈ 9

,844

)

Exemple n°3 : Méthode pour déterminer un σ inconnu.

On sait que la variable aléatoire

X

suit une loi normale d’espérance

250

et d’écart- type

σ

inconnu.

On sait que

P(X ≤ 237) = 0,14.

Déterminer

σ

. Réponse :

σ

étant inconnu, il est impossible d’utiliser ………..

→ on se ramène à une loi ………... : Soit la variable aléatoire

Y =

^X^−...

... .

Si

X ≤ 237, X – ….. … …..

X−...

...

…

^…

...

P(X ≤ 237)= 0,14.

Donc

P(Y ≤

^…

...

)=…..

D’après la calculatrice, en utilisant la loi normale centrée réduite, on trouve :

…

...

≈

……

D’où

σ ≈ …………

(13)

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP16_Setester_2_NG.odt}

Interrogation n°2 Objectifs :

C16.b_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre µ et  réduite d'être dans un intervalle donné.

C16.c_Niv2 : Savoir calculer  connaissant l’espérance et une probabilité donnée.

Exercice n°5

Ex.28 p.335

Exercice n°6

Ex.34 p.335

Exercice n°7*

Ex.86 p.340

Exercice n°8*

Ex.89 p.340

Exercice n°9*

Ex.93 p.340

Exercice n°10**

Sujet D p.350

(14)

Indices et résultats

Ex. n°1 (Ex.17 p.335): a.

0,136

b.

0,595

c.

0,087

d.

0,566

Ex. n°2 (Ex.18 p.335) : a.

0,683

b.

0,403

c.

0,224

d.

0,764

Ex. n°3 (Ex.23 p.335) :

a ≈ 0,396

Ex. n°4* (Ex.27 p.335) : 1 et 2.

φ(a)=0,96

3.

a ≈ 1,751

Ex. n°5 (Ex.28 p.335) : a.

0,789

b.

0,773

c.

0,401

d.

1

Ex. n°6 (Ex.34 p.335) : 1.

45,492

2.

39,712

3.

41,593

4.

37,407

Ex. n°7* (Ex.86 p.340) : 1.

120 km

2.a.

0,525

2.b.

0,858

3.

114

Ex. n°8* (Ex.89 p.340) :

9545

fruits sont acceptés, en moyenne.

Ex. n°9* (Ex.93 p.340) : 1.

81,76 %

2.

2,28 %

3.

Q

1

≈ 2h30

,

Q

2

= 3h

,

Q

3

≈ 3h30

. Ex. n°10** (Sujet D p.350) : 1.a.

0,96

. 1.d.

μ

≈

1,93

et σ ≈

0,10

. 2.

621

personnes.

(15)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__