Chapitre n°16Objectifs :

Chapitre n°16

Objectifs :

Niveau a eca n

C16.a 1 Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un

intervalle donné.

C16.b 1

Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 3 et réduite d'être  dans un intervalle donné.

C16.c 2 Savoir calculer connaissant l’espérance et une  probabilité donnée.

Activité n°1

Partie A

On considère une variable aléatoire X n qui suit une loi binomiale b (n,p) . 1. Quelles sont les valeurs possibles prises par X n ?

…...…

2. Rappeler les valeurs de l'espérance mathématique E n (X n ) et de l'écart-type σ n (X n )

de X n .

…...…

3. Rappeler les formules donnant E(aX+b) en fonction de E(X) et V(aX+b) en fonction de V(X).

…...

...……….

Partie B

On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilité d’une variable aléatoire X n suivant la loi binomiale b (n;0,3) où l’on fera varier n .

1. Dans le tableau ci-dessous, on donne pour n = 30 , les valeurs approchées des probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à 10 ^-2 , les autres ayant été négligées). On en donne ensuite une représentation graphique en bâtons.

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...

P(X 30 =k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

a. Calculer P(6 ≤ x ≤ 11) .

…...

...

...………...

b. Représenter ci-dessous l’histogramme où chaque rectangle :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici une unité).

→ a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à sa probabilité).

Histogramme de la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,3

c. Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tous les rectangles possibles (et pas seulement ceux correspondant à une probabilité supérieure à 10 ^-2 ) ?

…...

...……….………..………..

d. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X 30 .

…...

...

...

...

...……….

2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans le cas où n=50 et n=200 , la

probabilité élémentaire restant à 0,3

a. Dans chacun des deux cas, calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire.

…...

...

...

...

...

b. Où retrouve-t-on l'espérance sur les graphiques ?

…...

...

c. Quel est l'influence de l'écart-type sur les graphiques ?

…...

...

...

Partie C :

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Y n = X n – μ , où X n est la variable aléatoire de la partie B et μ est l'espérance de X n .

1. Si n=30 , que vaut l'espérance de Y 30 ?

…...

...

2. Compléter le tableau suivant :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Y 30 =k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

3. Représenter l'histogramme de la loi de probabilité de Y 30 sur le graphique ci-

dessous :

4. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où n vaut 50 et où n vaut

200 :

Calculer, dans le cas général, l'espérance et l'écart-type de Y n . Jouent-ils le

même rôle pour les graphiques qu'à la partie B ?

…...

...

...

...

...

...

...

...

…...

...

...

...

Partie D

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Z n telle que Z n = X _n −μ

σ ^où X n est la variable aléatoire de la partie B, μ est l'espérance de X n et σ l'écart-type de X n . 1. Calculer l'écart-type et l'espérance de Z n .

…...

...

...

...

2. On donne n=30 . Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs de k au

centième) :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Z 30 =k) ... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

3. On rappelle que chaque rectangle de l'histogramme :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici …...).

→ a son aire doit être égale à la probabilité, sachant que les probabilités, elles, n'ont pas changées.

a. Vérifier que la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire Z 30 est constante.

...

...………...

...

...………...

b. Compléter alors le tableau suivant, en expliquant comment calculer la hauteur de chaque rectangle :

...

...………...

...

...………...

...

...………...

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

Aire du rectang

-le

... 0,02 0,05 0,08 0,12 0,15 0,16 0,14 0,11 0,07 0,04 0,02 0,01 ...

Hau- teur du

rec- tangle

... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

c. Compléter le graphique suivant avec l'histogramme de la loi Z 30 .

d. Calculer P(-1,2 ≤ Z 30 ≤ 0,4).

...

...

...

...

Cours n°1

I) Loi normale centrée réduite Définition n°1

Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance μ vaut … Elle est dite réduite si son écart-type vaut ….

Propriété n°1

La fonction f définie par f(x) = …

√ ^{... …...} est une fonction de densité de probabilité.

Démonstration :

f est …..., p... sur R et ∫

I

f ( t ) dt =... (admis)

Propriété n°2 : Théorème de Moivre-Laplace (admis)

Soit X n une variable aléatoire qui suit la loi binomiale b (n;p)

( rappel : n est …... ; p est la probabilité de succès d'un événement élémentaire ; l'espérance d'une variable qui suit b (n;p) est

…..., et l'écart-type est np(1-p) ).

Soit Z n = X _n – np

√ ^{np ( 1− p )} (autrement dit Z n = X _n – ....

... ) est …... et

…...

De plus lim

n→∞ P ( ^{a≤ Z} n ≤ b ) ⁼ ∫

a

b 1

√ ^{2 π e}

−x

²

2 dx

Définition n°2

Une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

f(x) = …

√ ... …...

On a alors, pour tous réels a et b tels que a ≤ b , P(a ≤ Z ≤ b) = ∫

a

b ...

√ ^{... e}

−...

.... dx

Remarque n°1

D’après le théorème de Moivre-Laplace, Z est la limite d’une suite de variables

aléatoires qui suivent une loi ……….. transformée en centrée

(l’espérance vaut ….) et réduite (l’écart-type vaut …..), dont le nombre d’

……….. n augmente indéfiniment.

Remarque n°2

La courbe dessinée par les histogrammes, quand n tend vers de grandes valeurs, tend à former une « courbe en cloche », elle aussi centrée réduite :

→

Remarque n°3

f n'admet pas de primitive explicite, on est donc contraint d'utiliser un outils numérique pour déterminer une valeur approchée de P(a ≤ X ≤ b) .

Propriété n°3 :

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) . Alors P(Z ≤ -a) = P(Z ≥ ^… ).

Démonstration :

La fonction f définie par f(x) = …

√ ... …... est p...

Propriété n°4

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) . Soit f la densité de probabilité associée.

Alors :

E(Z)= lim

...→−∞ ∫

...

0

... dt + lim

...→+∞ ∫

0 ...

... dt V(Z)=....

Exemple n°1 : Méthode pour calculer une probabilité avec (0;1) n ^.

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) .

1. Déterminer

Indications : Sur la TI :

– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit « NormalFrep( » et on écrit NormalFrep(...,...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur

DIST puis sur NORM puis Ncd. On écrit alors NormCD(...,...,1,0)

...

...

(résultat : ≈ 0,021 )

b. P(Z ≤ 0,7)

Pour n(0;1) ^, P( Z ≤ 0 )=...

La calculatrice donne P( 0 ≤ Z ≤ 0,7) ≈ ...

Donc P(Z ≤ 0,7) ≈ …...

(résultat : ≈ 0,758 )

c. P(Z>-0,2)

La calculatrice donne P( -0,2 ≤Z ≤ 0)

≈...

P(Z>-0,2) = P(-0,2<Z<0) + P(...) ≈...

+ ...

(résultat : ≈ 0,579 )

2.a. Déterminer t tel que P( Z ≤ t)=0,25 Indications :

Sur la TI :

– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit « FracNormale( » et on écrit FracNormale(...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur

DIST puis sur NORM puis InvN. On écrit alors InvNormCD(...,1,0)

...

...

(résultat : ≈-0,674)

2.b. Déterminer u tel que P(Z > u)=0,4 P(Z>u)=0,4 ⇔<=> P(Z ≤ u) =...

...

...

(résultat : u≈ 0,2533 ) Propriété n°5

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) et α un réel

positif plus petit que 1 .

Alors il existe un unique réel u α positif tel que P( -u α ≤ Z ≤ u α ) = 1 – α .

Démonstration (principe)

Théorème de la bijection sur la fonction de densité f .

En particulier :

Si α = 0,05 , u α ≈ 1,96

Si α = 0,01 , u α ≈ 2,58

Se tester n°1 - C16_1 (/6)

Objectifs :

Niveau a eca n

C16.a 1

Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un

intervalle donné.

Ex.1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) . On arrondira les résultats au millième près. On donnera la formule de la calculatrice utilisée si elle est utilisée.

1.

a [1] . Déterminer P(-1 ≤ X ≤ 3)

...

...

b [1] . Déterminer P(X< 2) sans utiliser de grandes ou petites limites.

Expliquer son calcul.

...

...

c [1.5] . Déterminer P(X>2) sans calculatrice. Expliquer.

...

...

2.a [1] . Déterminer t tel que P(X<t)=0,17.

...

...

b [1.5] . Déterminer t tel que P(X>t)=0,15. Expliquer le calcul.

...

...

Indices et résultats

Voir exemples du cours.

Interrogation n°1 Objectifs :

C16.a_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un intervalle donné.

Exercice n°1

Ex.17 p.335

Exercice n°2

Ex.18 p.335

Exercice n°3

Ex.23 p.335

Exercice n°4*

Ex.27 p.335

Cours n°2

II) Loi normale n (μ ; σ ²) Définition n°3

On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres μ et σ ² si Z=

X − μ

σ suit la loi normale centrée réduite.

Propriété n°6

Si X suit la loi normale de paramètres μ et σ² , alors : 1) E(X)=....

2) V(X)=...

3) σ (X)=...

4) P(X ∈ [μ – σ ; μ + σ]) ≈ …...

5) P(X ∈ [μ – 2σ ; μ + 2σ]) ≈ …...

6) P(X ∈ [μ – 3σ ; μ + 3σ]) ≈ …...

Exemple n°2 : Méthode pour calculer une probabilité avec n

(μ; σ ² ) .

1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi n(7;2 ² )

a. Déterminer une valeur approchée au millième de P( 6 ≤ X ≤ 9) :

...

...

...

...

(résultat : ≈ 0,533 )

b. Déterminer une valeur approchée au millième de P( X ≤ 10) :

...

...

...

...

(résultat : ≈ 0,933 )

2. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi n(6;3 ² )

a. Déterminer t tel que P( Y < t ) = 0,95.

...

...

...

...

(résultat : ≈ 10 ,935 )

b. Déterminer u tel que P( Y ≥ u ) = 0,1.

...

...

...

...

(résultat : ≈ 9 ,844 )

Exemple n°3 : Méthode pour déterminer un σ inconnu.

On sait que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart- type σ inconnu.

On sait que P(X ≤ 237) = 0,14.

Déterminer σ . Réponse :

σ étant inconnu, il est impossible d’utiliser ………..

→ on se ramène à une loi ………... : Soit la variable aléatoire Y = X −...

... ^.

Si X ≤ 237, X – ….. … …..

X −...

... … …

...

P(X ≤ 237)= 0,14.

Donc P(Y ≤ …

... )=…..

D’après la calculatrice, en utilisant la loi normale centrée réduite, on trouve :

…

... ≈ ……

D’où σ ≈ …………

Se tester C16.2 (/9)

Objectifs :

Niveau a eca n C16.b 1 Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui

suit la loi normale de paramètre 3 et réduite d'être  dans un intervalle donné.

C16.c 2

Exercice n°1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale n(6;1²) .

On arrondira tous les résultats au millième près. On donnera la formule utilisée quand on se servira de la calculatrice.

1. Déterminer

a [1] . P(-2 ≤ X ≤ 10)

...

...

b [1] . P(X< 1)

...

...

c [1.5] . P(X> 5)

...

...

2.a [1] . Déterminer t tel que P(X<t)=0,12 :

...

...

b [1.5] . Déterminer t tel que P(X>t)=0,15 :

...

...

...

...

...

...

...

...…

Exercice n°2 : ^[3]

On sait que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 270 et d’écart- type σ inconnu.

On sait que P(X ≤ 241) = 0,63.

Déterminer σ .

...

...

...

...

...

...

...

...…

...

...

...

...

...

...

...

...…

...

...

...

...

...

...

...

...…

Interrogation n°2 Objectifs :

C16.b_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 8 et  réduite d'être dans un intervalle donné.

C16.c_Niv2 : Savoir calculer  connaissant l’espérance et une probabilité donnée.

Exercice n°5

Ex.28 p.335

Exercice n°6

Ex.34 p.335

Exercice n°7*

Ex.86 p.340

Exercice n°8*

Ex.89 p.340

Exercice n°9*

Ex.93 p.340

Exercice n°10**

Sujet D p.350

Indices et résultats

Ex. n°1 (Ex.17 p.335): a. 0,136 b. 0,595 c. 0,087 d. 0,566

Ex. n°2 (Ex.18 p.335) : a. 0,683 b. 0,403 c. 0,224 d. 0,764 Ex. n°3 (Ex.23 p.335) : a ≈ 0,396

Ex. n°4* (Ex.27 p.335) : 1 et 2. φ(a)=0,96 3. a ≈ 1,751

Ex. n°5 (Ex.28 p.335) : a. 0,789 b. 0,773 c. 0,401 d. 1

Ex. n°6 (Ex.34 p.335) : 1. 45,492 2. 39,712 3. 41,593 4. 37,407

Ex. n°7* (Ex.86 p.340) : 1. 120 km 2.a. 0,525 2.b. 0,858 3. 114

Ex. n°8* (Ex.89 p.340) : 9545 fruits sont acceptés, en moyenne.

Ex. n°9* (Ex.93 p.340) : 1. 81,76 % 2. 2,28 % 3. Q 1 ≈ 2h30 , Q 2 = 3h , Q 3 ≈ 3h30 .

Ex. n°10** (Sujet D p.350) : 1.a. 0,96 . 1.d. μ ≈ 1,93 et σ ≈ 0,10 . 2. 621 personnes.

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

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Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

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Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

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Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

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Date d’aujourd’hui : ...

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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

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Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Chapitre n°16

Objectifs :

Niveau a eca n

C16.a 1 Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un

intervalle donné.

C16.b 1

Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 9 et réduite d'être  dans un intervalle donné.

C16.c 2 Savoir calculer connaissant l’espérance et une  probabilité donnée.

Activité n°1

Partie A

On considère une variable aléatoire X n qui suit une loi binomiale b (n,p) . 1. Quelles sont les valeurs possibles prises par X n ?

…...…

2. Rappeler les valeurs de l'espérance mathématique E n (X n ) et de l'écart-type σ n (X n )

de X n .

…...…

3. Rappeler les formules donnant E(aX+b) en fonction de E(X) et V(aX+b) en fonction de V(X).

…...

...……….

Partie B

On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilité d’une variable aléatoire X n suivant la loi binomiale b (n;0,3) où l’on fera varier n .

1. Dans le tableau ci-dessous, on donne pour n = 30 , les valeurs approchées des probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à 10 ^-2 , les autres ayant été négligées). On en donne ensuite une représentation graphique en bâtons.

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...

P(X30=k) ... 0,0

2 0,0 5 0,0

8 0,1 2 0,1

5 0,1 6 0,1

4 0,1 1 0,0

7 0,0 4 0,0

2 0,0

1 ...

a. Calculer P(6 ≤ x ≤ 11) .

…...

...

...………...

b. Représenter ci-dessous l’histogramme où chaque rectangle :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici une unité).

→ a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à sa probabilité).

Histogramme de la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,3

c. Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tous les rectangles possibles (et pas seulement ceux correspondant à une probabilité supérieure à 10 ^-2 ) ?

…...

...……….………..………..

d. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X 30 .

…...

...

...

...

...……….

2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans le cas où n=50 et n=200 , la

probabilité élémentaire restant à 0,3

a. Dans chacun des deux cas, calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire.

…...

...

...

...

...

b. Où retrouve-t-on l'espérance sur les graphiques ?

…...

...

c. Quel est l'influence de l'écart-type sur les graphiques ?

…...

...

...

Partie C :

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Y n = X n – μ , où X n est la variable aléatoire de la partie B et μ est l'espérance de X n .

1. Si n=30 , que vaut l'espérance de Y 30 ?

…...

...

2. Compléter le tableau suivant :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Y30=

k) ... 0,0

2 0,0 5 0,0

8 0,1

2 0,15 0,1 6 0,1

4 0,1 1 0,0

7 0,0 4 0,0

2 0,0 1 ...

3. Représenter l'histogramme de la loi de probabilité de Y 30 sur le graphique ci-

dessous :

Histogramme de la loi de probabilité de Y 30

4. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où n vaut 50 et où n vaut

200 :

Calculer, dans le cas général, l'espérance et l'écart-type de Y n . Jouent-ils le

même rôle pour les graphiques qu'à la partie B ?

…...

...

...

...

...

...

...

...

…...

...

...

...

Partie D

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Z n telle que Z n = X _n −μ

σ ^où X n est la variable aléatoire de la partie B, μ est l'espérance de X n et σ l'écart-type de X n . 1. Calculer l'écart-type et l'espérance de Z n .

…...

...

...

...

2. On donne n=30 . Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs de k au

centième) :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Z30=

k) ... 0,0

2

0,0 5

0,0 8

0,1

2 0,15 0,1 6

0,1 4

0,1 1

0,0 7

0,0 4

0,0 2

0,0 1 ...

3. On rappelle que chaque rectangle de l'histogramme :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici …...).

→ a son aire doit être égale à la probabilité, sachant que les probabilités, elles, n'ont pas changées.

a. Vérifier que la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire Z 30 est constante.

...

...………...

...

...………...

b. Compléter alors le tableau suivant, en expliquant comment calculer la hauteur de chaque rectangle :

...

...………...

...

...………...

...

...………...

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

Aire du rectang

-le

... 0,0 2 0,0

5 0,0 8 0,1

2 0,15 0,1 6 0,1

4 0,1 1 0,0

7 0,0 4 0,0

2 0,0 1 ...

Hau- teur du

rec- tangle

... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

c. Compléter le graphique suivant avec l'histogramme de la loi Z 30 .

d. Calculer P(-1,2 ≤ Z 30 ≤ 0,4).

...

...

...

...

Cours n°1

I) Loi normale centrée réduite Définition n°1

Une variable aléatoire est dite centrée si son espérance μ vaut … Elle est dite réduite si son écart-type vaut ….

Propriété n°1

La fonction f définie par f(x) = …

√ ^{... …...} est une fonction de densité de probabilité.

Démonstration :

f est …..., p... sur R et ∫

I

f ( t ) dt =... (admis)

Propriété n°2 : Théorème de Moivre-Laplace (admis)

Soit X n une variable aléatoire qui suit la loi binomiale b (n;p)

( rappel : n est …... ; p est la probabilité de succès d'un événement élémentaire ; l'espérance d'une variable qui suit b (n;p) est

…..., et l'écart-type est np(1-p) ).

Soit Z n = X _n – np

√ ^{np ( 1− p )} (autrement dit Z n = X _n – ....

... ) est …... et

…...

De plus lim

n→∞ P ( ^{a≤ Z} n ≤ b ) ⁼ ∫

a

b 1

√ ^{2 π e}

−x

²

2 dx

Définition n°2

Une variable aléatoire Z suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par :

f(x) = …

√ ... …...

On a alors, pour tous réels a et b tels que a ≤ b , P(a ≤ Z ≤ b) = ∫

a

b ...

√ ^{... e}

−...

.... dx

Remarque n°1

D’après le théorème de Moivre-Laplace, Z est la limite d’une suite de variables

aléatoires qui suivent une loi ……….. transformée en centrée

(l’espérance vaut ….) et réduite (l’écart-type vaut …..), dont le nombre d’

……….. n augmente indéfiniment.

Remarque n°2

La courbe dessinée par les histogrammes, quand n tend vers de grandes valeurs, tend à former une « courbe en cloche », elle aussi centrée réduite :

→

Remarque n°3

f n'admet pas de primitive explicite, on est donc contraint d'utiliser un outils numérique pour déterminer une valeur approchée de P(a ≤ X ≤ b) .

Propriété n°3 :

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) . Alors P(Z ≤ -a) = P(Z ≥ ^… ).

Démonstration :

La fonction f définie par f(x) = …

√ ... …... est p...

Propriété n°4

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) . Soit f la densité de probabilité associée.

Alors :

E(Z)= lim

...→−∞ ∫

...

0

... dt + lim

...→+∞ ∫

0 ...

... dt V(Z)=....

Exemple n°1 : Méthode pour calculer une probabilité avec (0;1) n ^.

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) .

1. Déterminer

Indications : Sur la TI :

– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit « NormalFrep( » et on écrit NormalFrep(...,...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur

DIST puis sur NORM puis Ncd. On écrit alors NormCD(...,...,1,0)

...

...

(résultat : ≈ 0,021 )

b. P(Z ≤ 0,7)

Pour n(0;1) ^, P( Z ≤ 0 )=...

La calculatrice donne P( 0 ≤ Z ≤ 0,7) ≈ ...

Donc P(Z ≤ 0,7) ≈ …...

(résultat : ≈ 0,758 )

c. P(Z>-0,2)

La calculatrice donne P( -0,2 ≤Z ≤ 0)

≈...

P(Z>-0,2) = P(-0,2<Z<0) + P(...) ≈...

+ ...

(résultat : ≈ 0,579 )

2.a. Déterminer t tel que P( Z ≤ t)=0,25 Indications :

Sur la TI :

– On accède au menu distrib en appuyant sur la touche , puis sur la touche – On choisit « FracNormale( » et on écrit FracNormale(...,0,1)

Sur la Casio :

– Dans le menu RUN , on appuie sur puis sur puis sur STAT puis sur

DIST puis sur NORM puis InvN. On écrit alors InvNormCD(...,1,0)

...

...

(résultat : ≈-0,674)

2.b. Déterminer u tel que P(Z > u)=0,4 P(Z>u)=0,4 ⇔<=> P(Z ≤ u) =...

...

...

(résultat : u≈ 0,2533 ) Propriété n°5

Soit Z une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) et α un réel

positif plus petit que 1 .

Alors il existe un unique réel u α positif tel que P( -u α ≤ Z ≤ u α ) = 1 – α .

Démonstration (principe)

Théorème de la bijection sur la fonction de densité f .

En particulier :

Si α = 0,05 , u α ≈ 1,96

Si α = 0,01 , u α ≈ 2,58

Se tester n°1 - C16_1 (/6)

Objectifs :

Niveau a eca n

C16.a 1

Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un

intervalle donné.

Ex.1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite n(0;1) . On arrondira les résultats au millième près. On donnera la formule de la calculatrice utilisée si elle est utilisée.

1.

a [1] . Déterminer P(-2 ≤ X ≤ 3)

...

...

b [1] . Déterminer P(X< 1) sans utiliser de grandes ou petites limites.

Expliquer son calcul.

...

...

c [1.5] . Déterminer P(X>1) sans calculatrice. Expliquer.

...

...

2.a [1] . Déterminer t tel que P(X<t)=0,24.

...

...

b [1.5] . Déterminer t tel que P(X>t)=0,2. Expliquer le calcul.

...

...

Indices et résultats

Voir exemples du cours.

Interrogation n°1 Objectifs :

C16.a_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un intervalle donné.

Exercice n°1

Ex.17 p.335

Exercice n°2

Ex.18 p.335

Exercice n°3

Ex.23 p.335

Exercice n°4*

Ex.27 p.335

Cours n°2

II) Loi normale n (μ ; σ ²) Définition n°3

On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres μ et σ ² si Z=

X − μ

σ suit la loi normale centrée réduite.

Propriété n°6

Si X suit la loi normale de paramètres μ et σ² , alors : 1) E(X)=....

2) V(X)=...

3) σ (X)=...

4) P(X ∈ [μ – σ ; μ + σ]) ≈ …...

5) P(X ∈ [μ – 2σ ; μ + 2σ]) ≈ …...

6) P(X ∈ [μ – 3σ ; μ + 3σ]) ≈ …...

Exemple n°2 : Méthode pour calculer une probabilité avec n

(μ; σ ² ) .

1. Soit X une variable aléatoire suivant la loi n(7;2 ² )

a. Déterminer une valeur approchée au millième de P( 6 ≤ X ≤ 9) :

...

...

...

...

(résultat : ≈ 0,533 )

b. Déterminer une valeur approchée au millième de P( X ≤ 10) :

...

...

...

...

(résultat : ≈ 0,933 )

2. Soit Y une variable aléatoire suivant la loi n(6;3 ² )

a. Déterminer t tel que P( Y < t ) = 0,95.

...

...

...

...

(résultat : ≈ 10 ,935 )

b. Déterminer u tel que P( Y ≥ u ) = 0,1.

...

...

...

...

(résultat : ≈ 9 ,844 )

Exemple n°3 : Méthode pour déterminer un σ inconnu.

On sait que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart- type σ inconnu.

On sait que P(X ≤ 237) = 0,14.

Déterminer σ . Réponse :

σ étant inconnu, il est impossible d’utiliser ………..

→ on se ramène à une loi ………... : Soit la variable aléatoire Y = X −...

... ^.

Si X ≤ 237, X – ….. … …..

X −...

... … …

...

P(X ≤ 237)= 0,14.

Donc P(Y ≤ …

... )=…..

D’après la calculatrice, en utilisant la loi normale centrée réduite, on trouve :

…

... ≈ ……

D’où σ ≈ …………

Se tester C16.2 (/9)

Objectifs :

Niveau a eca n C16.b 1 Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui

suit la loi normale de paramètre 4 et réduite d'être  dans un intervalle donné.

C16.c 2

Exercice n°1

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale n(6;2²) .

On arrondira tous les résultats au millième près. On donnera la formule utilisée quand on se servira de la calculatrice.

1. Déterminer

a [1] . P(0 ≤ X ≤ 1)

...

...

b [1] . P(X< 1)

...

...

c [1.5] . P(X> 5)

...

...

2.a [1] . Déterminer t tel que P(X<t)=0,22 :

...

...

b [1.5] . Déterminer t tel que P(X>t)=0,19 :

...

...

...

...

...

...

...

...…

Exercice n°2 : ^[3]

On sait que la variable aléatoire X suit une loi normale d’espérance 210 et d’écart- type σ inconnu.

On sait que P(X ≤ 285) = 0,52.

Déterminer σ .

...

...

...

...

...

...

...

...…

...

...

...

...

...

...

...

...…

...

...

...

...

...

...

...

...…

Interrogation n°2 Objectifs :

C16.b_Niv1 : Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 8 et  réduite d'être dans un intervalle donné.

C16.c_Niv2 : Savoir calculer  connaissant l’espérance et une probabilité donnée.

Exercice n°5

Ex.28 p.335

Exercice n°6

Ex.34 p.335

Exercice n°7*

Ex.86 p.340

Exercice n°8*

Ex.89 p.340

Exercice n°9*

Ex.93 p.340

Exercice n°10**

Sujet D p.350

Indices et résultats

Ex. n°1 (Ex.17 p.335): a. 0,136 b. 0,595 c. 0,087 d. 0,566

Ex. n°2 (Ex.18 p.335) : a. 0,683 b. 0,403 c. 0,224 d. 0,764 Ex. n°3 (Ex.23 p.335) : a ≈ 0,396

Ex. n°4* (Ex.27 p.335) : 1 et 2. φ(a)=0,96 3. a ≈ 1,751

Ex. n°5 (Ex.28 p.335) : a. 0,789 b. 0,773 c. 0,401 d. 1

Ex. n°6 (Ex.34 p.335) : 1. 45,492 2. 39,712 3. 41,593 4. 37,407

Ex. n°7* (Ex.86 p.340) : 1. 120 km 2.a. 0,525 2.b. 0,858 3. 114

Ex. n°8* (Ex.89 p.340) : 9545 fruits sont acceptés, en moyenne.

Ex. n°9* (Ex.93 p.340) : 1. 81,76 % 2. 2,28 % 3. Q 1 ≈ 2h30 , Q 2 = 3h , Q 3 ≈ 3h30 .

Ex. n°10** (Sujet D p.350) : 1.a. 0,96 . 1.d. μ ≈ 1,93 et σ ≈ 0,10 . 2. 621 personnes.

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

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Chapitre n°16

Objectifs :

Niveau a eca n

C16.a 1 Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite d'être dans un

intervalle donné.

C16.b 1

Savoir calculer la probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre 1 et réduite d'être  dans un intervalle donné.

C16.c 2 Savoir calculer connaissant l’espérance et une  probabilité donnée.

Activité n°1

Partie A

On considère une variable aléatoire X n qui suit une loi binomiale b (n,p) . 1. Quelles sont les valeurs possibles prises par X n ?

…...…

2. Rappeler les valeurs de l'espérance mathématique E n (X n ) et de l'écart-type σ n (X n )

de X n .

…...…

3. Rappeler les formules donnant E(aX+b) en fonction de E(X) et V(aX+b) en fonction de V(X).

…...

...……….

Partie B

On se propose de construire des représentations graphiques de la loi de probabilité d’une variable aléatoire X n suivant la loi binomiale b (n;0,3) où l’on fera varier n .

1. Dans le tableau ci-dessous, on donne pour n = 30 , les valeurs approchées des probabilités de cette loi (seulement celles supérieures à 10 ^-2 , les autres ayant été négligées). On en donne ensuite une représentation graphique en bâtons.

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ...

P(X30=k) ... 0,0

2 0,0 5 0,0

8 0,1 2 0,1

5 0,1 6 0,1

4 0,1 1 0,0

7 0,0 4 0,0

2 0,0

1 ...

a. Calculer P(6 ≤ x ≤ 11) .

…...

...

...………...

b. Représenter ci-dessous l’histogramme où chaque rectangle :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici une unité).

→ a son aire égale à la probabilité (donc, ici, sa hauteur est égale à sa probabilité).

Histogramme de la loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,3

c. Que vaudrait la somme des aires des rectangles si on avait représenté tous les rectangles possibles (et pas seulement ceux correspondant à une probabilité supérieure à 10 ^-2 ) ?

…...

...……….………..………..

d. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de X 30 .

…...

...

...

...

...……….

2. Le même travail a été fait sur ordinateur dans le cas où n=50 et n=200 , la

probabilité élémentaire restant à 0,3

a. Dans chacun des deux cas, calculer l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire.

…...

...

...

...

...

b. Où retrouve-t-on l'espérance sur les graphiques ?

…...

...

c. Quel est l'influence de l'écart-type sur les graphiques ?

…...

...

...

Partie C :

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Y n = X n – μ , où X n est la variable aléatoire de la partie B et μ est l'espérance de X n .

1. Si n=30 , que vaut l'espérance de Y 30 ?

…...

...

2. Compléter le tableau suivant :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Y30=

k) ... 0,0

2 0,0 5 0,0

8 0,1

2 0,15 0,1 6 0,1

4 0,1 1 0,0

7 0,0 4 0,0

2 0,0 1 ...

3. Représenter l'histogramme de la loi de probabilité de Y 30 sur le graphique ci-

dessous :

Histogramme de la loi de probabilité de Y 30

4. Le même travail a été fait sur ordinateur dans les cas où n vaut 50 et où n vaut

200 :

Calculer, dans le cas général, l'espérance et l'écart-type de Y n . Jouent-ils le

même rôle pour les graphiques qu'à la partie B ?

…...

...

...

...

...

...

...

...

…...

...

...

...

Partie D

On s'intéresse à présent à la variable aléatoire Z n telle que Z n = X _n −μ

σ ^où X n est la variable aléatoire de la partie B, μ est l'espérance de X n et σ l'écart-type de X n . 1. Calculer l'écart-type et l'espérance de Z n .

…...

...

...

...

2. On donne n=30 . Compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs de k au

centième) :

Loi binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,3

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

P(Z30=

k) ... 0,0

2

0,0 5

0,0 8

0,1

2 0,15 0,1 6

0,1 4

0,1 1

0,0 7

0,0 4

0,0 2

0,0 1 ...

3. On rappelle que chaque rectangle de l'histogramme :

→ est centré sur les différentes valeurs que peut prendre la variable aléatoire.

→ sa largeur égale à la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire (soit ici …...).

→ a son aire doit être égale à la probabilité, sachant que les probabilités, elles, n'ont pas changées.

a. Vérifier que la différence entre deux valeurs successives de la variable aléatoire Z 30 est constante.

...

...………...

...

...………...

b. Compléter alors le tableau suivant, en expliquant comment calculer la hauteur de chaque rectangle :

...

...………...

...

...………...

...

...………...

k ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...

Aire du rectang

-le

... 0,0 2 0,0

5 0,0 8 0,1

2 0,15 0,1 6 0,1

4 0,1 1 0,0

7 0,0 4 0,0

2 0,0 1 ...

Hau- teur du

rec- tangle

... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...