Doc généré n° 1 :

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Doc généré n° 1 :

Activité d'approche n°3 : Convergence ou non

Un éditeur veut faire paraître un nouveau magazine mensuel intitulé «SESAMATH », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lorsque le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8000 la première année, que le taux de

réabonnement serait de 80 % et que chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.

n étant un entier naturel non nul, on note, dans cette activité, a_n le nombre d’abonnés à l’année n. On suppose que : a₁= 8000.

1. Estimation

À l’aide d’un tableur, a. Déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de a_n et en colonne C le résultat arrondi à l’entier.

…...…..

...…

...

…...…

...…

...…....

…...…

...…..

...…

...

b. Représenter

graphiquement le nombre d’abonnés en fonction de l’année.

Sur tablette, on utilisera le logiciel WPS. La recopie d'un contenu se fait de la façon suivante :

1) taper sur la cellule à recopier.

2) Taper sur ‘Remplir’.

3) Taper sur ‘Remplissage par glissement’.

4) Sélectionner une flèche et la trainer.

c. Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.

…...…...

(2)

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…...

d. Le magazine semble-t-il pérenne ?

…...

...

2. Point de vue mathématique

Dans cette partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1. a. Expliciter une relation entre a_n+1 et a_n.

…...

b. On définit, pour tout n entier naturel non nul, la suite (b_n) par b_n = a_n – 3000. Montrer que la suite (b_n) est géométrique, puis déterminer les éléments caractéristiques de cette suite ainsi qu’une formule explicite de b_n.

…...

c. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, a_n en fonction de n.

…...

(4)

…...

d. Justifier que la suite (a_n) est strictement décroissante et qu’elle est minorée par 3000.

…...

…...…

…...

e. La suite (a_n) peut-elle atteindre 3000 ? Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autant a_n = 3000, à partir d’un certain rang ?

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…...

f. Écrire un algorithme permettant de savoir à partir de quel rang (a_n- 3000)0,5^.

…...

…...…

…...

g. Pour ou contre ? Commenter la phrase suivante : « Tout intervalle contenant 3000 contient toutes les valeurs a_n, à partir d’un certain rang ».

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…...

h. Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine

« SESAMATH ».

…...

Exercice n°4***

Soit n ≥ 1 et un = 2

√n.

1. A partir de quel rang a-t-on 0 < un< 0,01 ? 2. A partir de quel rang a-t-on 0 < un< 0,001 ?

3. On choisit arbitrairement un réel a strictement positif. A partir de quel rang, en fonction de a, a-t-on 0 < un< a ?

4. Qu’a-t-on démontré à la question 3 ?

Cours n°2 – Limite d’une suite II) Limite finie d'une suite

Définition n°2

La suite (u_n ) admet pour limite le nombre réel

l

si, quand on choisit un intervalle ouvert I

contenant

l

, il existe toujours un n0 à partir duquel

…...

À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de l^.

Notation

(7)

On dit que la suite (u_n ) converge vers

l

et on note : …...

…...

Remarque :

Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞, soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non - Exemple : (-1)ⁿ)

Exemple n°2 :

Soit la suite (u_n ) définie par u_n=5

n² . Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que u_n converge et que

l

^{= ...}

Soit un intervalle ouvert du type ]-a;+a[ , a étant un réel strictement positif.

Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5 n²<a :

…...

…...…

Conclusion :

…...

…...…

Exemple n°3

Soit la suite (v_n ) définie par v_n+1=5

v_n . et v₀=−1 . Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que v_n …...

Démonstration par récurrence :

…...

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…...

III) Limite infinie d'une suite Définition n°3

La suite (^un ) admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[, il existe toujours un n0 à partir duquel ...………...

...

Exemple n°4

Soit la suite (w_n ) définie par w_n+1=5+n² . Déterminer la limite de cette suite.

Intuitivement, on voit que w_n …...

Soit un intervalle ouvert du type ]A;+

∞

[ , A étant un réel quelconque strictement plus grand que 5.

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Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5+n²>A :

…...

…...…

Conclusion :

…...

Se tester C1.2 (sur 8)

Objectifs :

1 : Débutant – 2 : Sait faire avec supervision – 3 : Sait faire sans supervision – 4 : Sait faire et expliquer.

Nivea

u 1 2 3 4

C1.a 2 Savoir utiliser le raisonnement par récurrence niveau 1

C1.b 2 Savoir déterminer une limite en utilisant la définition

Ex.1 (/3) :

Soit la suite (u_n ) définie par un=_n¹_² pour tout n deℕ* . 1. Quelle semble être la limite de cette suite ?

…...

…...…

2. Démontrer cette affirmation en utilisant la définition des limites : en

déterminant à partir de quel rang n0un est dans l'intervalle ]-a;a[, a étant un réel positif quelconque que l'on choisit.

…...

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(11)

…...

…...…

Ex.2 (/2)

Soit la suite (v_n ) définie par vn+1=⁹

v_n et v₀=−1 .Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

…...

...

Ex.3 (/3)

Soit la suite (w_n ) définie pour tout n deℕ* par wn = 3 + 7n². 1. Quelle semble être la limite de cette suite ?

…...

...

2. Démontrer cette affirmation en utilisant la définition des limites : en

déterminant à partir de quel rang n0 w_n est dans l'intervalle ]A;+

∞

[, A étant un réel positif quelconque que l'on choisit.

…...

(12)

…...

Conclusion :

…...

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Indices et résultats Ex.1 : lim

n→+∞u_n= 0.

Ex.2 : lim

n→+∞

v_n n’est pas définie.

Ex.3 : lim

n→+∞

w_n = + ∞.

Interrogation n°2 Objectifs

C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.

C1.b_Niv2:Savoir déterminer une limite en utilisant la définition.

Exercice n°5***

Soit n ≥ 3 et un = ⁻⁹

9n−1.

1. A partir de quel rang a-t-on -0,01 < un< 0 ? 2. A partir de quel rang a-t-on -0,001 < un< 0 ?

3. On choisit arbitrairement un réel a strictement négatif. A partir de quel rang, en fonction de a, a-t-on a < un< 0 ?

4. Qu’a-t-on démontré à la question 3 ?

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1) De savoir si vous avez juste ou faux. En cas d’erreur, refaites la question. En cas de troisième tentative infructueuse, appelez le professeur.

2) De montrer que ce sont les raisonnements qui importent, pas les solutions ci- dessous. Si vous vous êtes contenté de la même rédaction succincte, c’est que vous n’avez pas fait le travail de réflexion nécessaire pour assimiler les notions.

3) Parfois, vous n’avez pas les mêmes résultats que votre voisin : c’est NORMAL : les documents sont « aléatoirisés » . En revanche, les résultats ci-dessous sont bien justes et en rapport avec vos énoncés. Si vous voulez vous entraider, c’est toujours possible, mais il vous faudra vous expliquer la méthode et non juste fournir des résultats.

Ex.4 : 1. n> 40000 2. n> 4000000 3. 4

a² 4. lim

n→+∞

u_n=+ ∞ . Ex.5 : 1. n>⁹⁰¹

9 2. n>⁹⁰⁰¹

9 3. n>⁻⁹^+a

9a 4. lim

n→+∞u_n= 0.

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C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (3 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Résumé du Cours n° : ...

Se tester du Cours n°..., Ex. n° : … / … / … / … / …

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...