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(1)

Doc généré n° 1 :

(2)

Chap. n°10 : Intégration Partie 1

Objectifs du chapitre :

C10.a - Niv1 - Savoir calculer une intégrale géométriquement.

C10.b - Niv1 - Savoir démontrer qu'une fonction

F

est une primitive d'une fonction

f

. C10.c - Niv1 - Savoir déterminer une intégrale.

C10.d - Niv1 - Savoir déterminer une primitive.

C10.e - Niv1 - Connaître les formules de primitives usuelles.

Activité d’approche n°1

Le plan

P

est muni d’un repère orthonormé (O; ⃗

i

, ⃗

j )

d’unité graphique 1 cm. a et b désignent deux réels tels que a < b.

Dans chaque cas, on considère une fonction

f

définie et positive sur

[a;b]

. c désigne la courbe représentative de

f

dans le repère (O; ⃗

i

, ⃗

j )

.

d

f le domaine délimité par la courbe c, l’axe des abscisses et les droites d’équation

x=a

et

x=b

.

Cas n°1 :

f

est une fonction constante positive sur

[a;b]

.

Soit

c

un réel positif tel que, pour tout

x

appartenant à

[a;b]

,

f(x)=c

. a. Déterminer l’aire a du domaine

d

f en

cm²...

...

...………..

………

…...

On appelle a (donc l’aire du domaine) l’intégrale de

f

entre

a

et

b

et on note : a

=

∫

a b

f ( ^x ) ^dx

^.

b. Soit

M

un point de

[DC]

et

x

M son abscisse. Soit

F

la fonction qui à

x

M associe l'aire du domaine

d

M délimité par le segment

[DM]

, l’axe des abscisses et les droites d’équation

x=a

et

x=x

M . Exprimer

F(x

M)).

...

...……….

c. Dériver

F

par rapport à

x

M. Que constate-t-on ?

...

...……….

(3)

Cas n°2 :

f

est une fonction de la forme

f (x)=mx + p

, où

m

et

p

sont des réels fixés avec

m

non nul.

On suppose de plus que

f

est positive sur l’intervalle

[a;b]

.

a. Déterminer l’aire a du domaine

d

f en cm².

...

...………...

b. Soit

M

un point de

[DC]

et

x

M son abscisse. Soit

F

la fonction qui à

x

M associe l'aire du domaine

d

M délimité par le segment

[DM]

, l’axe des abscisses et les droites d’équation

x=a

et

x=x

^M. Exprimer

F(x

^M)).

...

...……….

c. Dériver

F

par rapport à

x

M. Que constate-t-on ?

...

Fin de l’activité d’approche n°1

Activité d’approche n°2 Cas n°3 : f est la fonction définie sur [0;1] par : f (x) = x². On veut déterminer a =

∫

0 1

f ( ^x ) ^dx

1. De quel domaine s'agit-il ?

(4)

...

...……….

2. En utilisant le

quadrillage de la figure ci- contre, donner un

encadrement de a en

« petits carreaux ».

...

3. OI et

OJ

sont les unités des axes. Encadrer a en unité d'aire.

...

4. Pour gagner en précision (et pouvoir affiner cette précision autant que l'on veut), on subdivise l'intervalle

[0 ; 1]

en

n

intervalles de longueur

1 n

^{, où}

n

est un entier naturel non nul.Les bornes des intervalles sont appelées

a

0

=

0

,

a

1

= 1

n , a

2

= 2

n ,... , a

k

= k

n , …., a

n

= 1.

Sur chaque intervalle, on construit des rectangles

R

min

(k)

de hauteurs

f (a

k

)

, qui ne « dépasse pas » la courbe.

De même, on des rectangles

R

max

(k)

de hauteurs

f (a

k+1

)

, qui « dépassent » la courbe.

On appelle

U

n la somme des aires des rectangles

R

min

(k)

et

V

n la somme des aires des rectangles

R

max

(k)

, pour

k

variant de

0

à

n – 1

.

1. Calculer

U

4 et

V

4 .

...

(5)

...

2. Conjectures pour

n

quelconque avec un logiciel, par le professeur.

3. Dans le cas général, exprimer

U

n et

V

n en fonction

n

.

...

4. Dans le cas général, donner un encadrement de a.

...

5. Établir par récurrence que :

∑

k=1 n

k

²=

n ( ⁿ

+

1 )( ² ⁿ

+

1 ) 6

...

6. Déduire de ce qui précède la valeur exacte de a.

...

(6)

...

Fin de l’activité d’approche n°1

Cours n°1 : Intégrale d'une fonction continue positive

C10.a - Niv1 - Savoir calculer une intégrale géométriquement.

Définition n°1 : Argument

Soit une fonction

f

définie, continue et positive sur

[a;b]

.

c désigne la courbe représentative de

f

dans le repère (O; ⃗

i

, ⃗

j )

.

d

f désigne le domaine délimité par l………..,

……….. et les droites

………...

On appelle intégrale de

f

entre

a

et

b …...

de

d

f. Ce nombre est noté

∫

a b

f ( ^x ) ^dx

et se lit « intégrale de

a

à

b

de

f

».

Exemple n°1 :

Soit

f

la fonction affine définie sur

IR

par :

f (x) = 1

4 x + 2

et cf sa représentation graphique. Déterminer

∫

2 6

f ( ^x ) ^dx

^.

...

FIN du cours n°1

Premier ‘Se tester’ du cours n°1 :

1 : Débutant - 2 : Sait faire avec de l’aide - 3 : Sait faire.

1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir

1 2 3 : C10.a - Niv1 - Savoir calculer une intégrale géométriquement.

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°29

Compléter :

(7)

lim

x→0⁺

xln ( x )

=

… …… ..

lim

x→+∞

xln ( x )

=…… .

Fin du savoir n°29

(Se tester du cours n°1 Ex.1 (4 pts)) - Exercice n°1 Soit

f

IR

par

: f (x) = 1

7 x + 9

et

c

fsa représentation

graphique. Déterminer géométriquement

∫

2 6

f ( x ) dx

(8)

Indices et résultats

268 7

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1 Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 :

1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir

1 2 3 : C10.a - Niv1 - Savoir calculer une intégrale géométriquement.

Compléter , sachant que

z

=

a

+

ib

:

z

¯

z

=………..

(Se tester du cours n°1 Ex.1 (4 pts)) - Exercice n°2 Soit

f

IR

par

: f (x) = 1

6 x + 8

et

c

fsa représentation

graphique. Déterminer géométriquement

∫

2 6

f ( ^x ) ^dx

(9)

Indices et résultats

104 3

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 Interrogation n°1

Objectif : C10.a - Niv1 - Savoir calculer une intégrale géométriquement.

Exercices du cours n°1

(Cours n°1) - Exercice n°3

Ex.2 p.176 Résultats :

1.

f(x)=x.

2. 3. 4,5.

(Cours n°1) - Exercice n°4

1. 2. 2/3.

(Cours n°1) - Exercice n°5

1. 2. 6 et 4.

(Cours n°1) - Exercice n°6

Ex.39 p.178

Résultats ( dans le désordre ) ! 1. 2.

I=2

et

J=1,5.

FIN des exercices du cours n°1

Cours n°2 : Fonction définie par une intégrale

C10.b - Niv1 - Savoir démontrer qu'une fonction

F

f

. Propriété n°1 : Argument et opérations

(10)

Si

f

est une fonction continue et positive sur un intervalle

[a ; b]

, la fonction

F

définie sur

[a ; b]

par

F(x)= ∫

a x

f ( ^t ) ^dt

est dérivable sur

[a ; b]

et sa dérivée est

…...

Démonstration :

On ne démontre ce théorème que dans le cas où

f

est strictement croissante et positive sur

[a ; b]

. On définit :

F(x)= ∫

a x

f ( ^t ) ^dt

1. Hachurer sur la figure ci-contre la quantité

T(h)= F(x

0

+ h) – F(x

0

).

2. Encadrer

T(h)

par les aires de deux rectangles : ...

...

3. Calculer, en fonction de

h, f(x

0

)

et

f(x

0

+ h)

, les aires de

MNPS

et de

MNQR

.

…...

...

4. En déduire un encadrement de T

( h ) h

^.

...

5. Conclure.

...

Définition n°1

Soit

f

une fonction continue positive sur un intervalle

I

.

Une primitive de f sur I est une fonction

F

, dérivable sur

I

, telle que

F' = f

. Exemple n°1 :

Déterminer une primitive de la fonction f définie sur

IR

par

f(x)=4x + 4

.

...

Définition n°2

a x

0 x

0+h

M N

P S R Q

(11)

Soit

f

une fonction continue positive sur un intervalle

I

.

Une primitive de f sur I est une fonction

F

, dérivable sur

I

, telle que

F' = f

. Exemple n°2 :

Démontrer que la fonction

F

définie sur

]–∞ ; 3[

par

F ( x )

=

2 x

−

4 3− x

est une primitive de

f

définie sur

]–∞ ; 3[

par

f ( ^x )

=

2 ( ³

−

x )

²^.

...

Premier ‘Se tester’ du cours n°2 :

1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir

1 2 3 : C10.b - Niv1 - Savoir démontrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction.

f

est une fonction. Donner la dérivée de

f ( ax

+

b )

^:

………..

(Se tester du cours n°2 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°7

Déterminer une primitive de la fonction f définie sur ℝ^{par :}

f(x)=2x +1

.

(Se tester du cours n°2 Ex.2 (2 pts)) - Exercice n°8 Démontrer que la fonction

F

définiepar

2 x

+

3 5−x

est une primitive de la fonction

f

définie par

f(x)= 13

( ⁵

−

x )

²

(12)

Indices et résultats

Ex.1 : x

² + x + k

,

k

^R.

Ex.2 : résultats donnés.

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°2

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 :

1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir

1 2 3 : C10.b - Niv1 - Savoir démontrer qu'une fonction est une primitive d'une fonction.

Donner le résultat de (il peut y avoir des formes indéterminées) : 1. +

∞

−

∞

= ………...

2.

a ∈

ℝ_*⁺

,

^{' '}

a 0

⁺

' ' = ………

3.

a ∈

ℝ_*^-

,

^{' '}

a 0

⁺

' ' = ………

(Se tester du cours n°2 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°9

Déterminer une primitive de la fonction f définie sur ℝ^{par :}

f(x)=-8x +6

.

(

Se tester du cours n°2 Ex.2 (2 pts)) - Exercice n°10 Démontrer que la fonction

F

définiepar

9 x

+4

8− x

est une primitive de la fonction

f

définie par

f(x)= 76

( 8− x )

²

(13)

Indices et résultats

Ex.1 : 3,5

x² + 6x + k

,

k

^R.

Ex.2 : résultats donnés.

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 Interrogation n°2

Objectif : C10.b - Niv1 - Savoir démontrer qu'une fonction

F

f

.

Exercices du cours n°2

(Pour les exercices, on admettra que les résultats vus pour les fonctions

continues positives sont aussi vrais pour les fonctions continues quelconques)

(Cours n°2) - Exercice n°11

Dans le désordre :

1 3 x

³

; ¹

2 x

²

; ¹ 2 x

²

+ 1

3 x

³

(Cours n°2) - Exercice n°12

Dans le désordre :

7x – 2x

⁴

; 7x ; ¹ 4 x

⁴

. (Cours n°2) - Exercice n°13

… – 1.

(Cours n°2) - Exercice n°14

/

(Cours n°2) - Exercice n°15

4;8;4;7

(Cours n°2) - Exercice n°16

8

(Cours n°2) - Exercice n°17

Soit la fonction

F

définie sur

[0;8]

par

F(x) = ∫

0 x

8

−

t

²+1

dt .

1. Déterminer sa dérivée.

(14)

FIN des exercices du cours n°2 Cours n°3 : primitives usuelles

C10.c - Niv1 - Savoir déterminer une intégrale.

C10.d - Niv1 - Savoir déterminer une primitive.

C10.e - Niv1 - Connaître les formules de primitives usuelles.

Propriété n°1 : relation entre primitives et intégrales Soit

f

une fonction continue, positive, admettant une primitive

F

. Alors

∫

a b

f ( ^x ) dx = F(b) – F(a)

Démonstration

Soit

G

une primitive de

f

qui s’annule en

a

. Alors

G(x)= ∫

a x

f ( ^x ) ^dx

(cf propriété n°1).

Soit

F

une primitive de

f

. Comme

G’(x)=F’(x)=f(x)

, on a

G(x)=F(x)+…. , …………..

Comme

G(a)=…

et que

G(b)= ∫

…

…… ……

, on a :

F(b) – F(a)= G(…) - G(…) = ………

Exemple n°1 Calculer

∫

−1 2

( ^x

²−

4 x

+

3 ) ^dx

(Résultat : 6)

...

Remarque :

On admettra pour l’instant que ces résultats se généralisent aux fonctions continues, positives et négatives sur un intervalle.

Propriété n°2 : primitives usuelles

Fonction Primitive Domaine de

validité

f ( x )

=

k , k

∈ℝ

. F(x)=... + ...

...

f ( ^x )

=k xⁿ

, k

∈ℝ

, n

∈ℕ

. F(x)= ...

... + ...

...

f ( ^x )

=k

1 x

ⁿ

, k

∈ℝ

, n

∈/

N , n ≠ 1.

(15)

f ( ^x )

=

k

x

=

k x

⁻¹

, k

∈ℝ

.

F(x)=... + ...

...

f ( ^x )

=

k e

^x

, k

∈ℝ

. F(x)=... + ...

^...

f ( ^x )

=

k

√ ^x

⁼

^{k x}

−1

2

, k

∈ℝ

.

F(x)= ...+ ...

...

f ( x )

=k

cos ( x ) , k

∈ℝ

. F(x)=... + ...

^...

f ( x )

=k

sin ( x ) , k

∈ℝ

. F(x)=... + ...

^...

Propriété n°3 : Primitives et opérations

On nomme f et g les dérivées respectives de F et G (ou F et G des primitives de f et g). k est un nombre réel.

a. Une primitive de

f + g

est

…………...

b. Une primitive de

kf

est

…..

c. Une primitive de

f’ f

ⁿ est ………

d. Une primitive de

f ’

f

est ……….

e. Une primitive de

f ’

f

ⁿ est ………

f. Une primitive de

f ’

√ ^f

est ……….

g. Une primitive de

f’f

^u est ………

h. Une primitive de

f(ax + b)

est ………..

Exemple n°2 Calculer

∫

0

2

3 x

( x

²+1

)

²

^dx

(

résultat

: 6 5 )

...

(16)

...

Exemple n°3

Calculer les primitives des fonctions suivantes : a.

f(x)=x³ – 2x² +4x – 1

...

b.

f(x)=2x(x² – 1)³

...

c.

f(x)=(3x – 1)

⁴

...

d.

f(x)= 2 2 x – 3

...

(17)

...

e.

f(x)= 1 4 x

+

1

...

f.

f(x)= x

+

1 ( ^x

²+

2 x – 3 ) ^²

...

g.

f(x)= 1

√ ^x

⁺

⁴

...

(18)

h.

f(x)= 3

√ ² ^x

⁺

¹

...

i.

f(x)=e

^4x+1

...

j.

f(x)=xe

^-x²+3

...

Premier ‘Se tester’ du cours n°3 :

1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir

1 2 3 : C10.c - Niv1 - Savoir déterminer une intégrale.

1 2 3 : C10.d - Niv1 - Savoir déterminer une primitive.

1 2 3 : C10.e - Niv1 - Connaître les formules usuelles.

(19)

Savoir n°32

Donner les primitives des fonctions ou formules ci-dessous (

f

et

g

sont deux fonctions,

F

et

G

étant deux primitives respectives de ces fonctions,

k

est un nombre réel quelconque) :

1. Une primitive de

f ’

f

: ……….

f ’

f

ⁿ : ……….

3.

f ( ^x )

=

kx

ⁿ : ……….

4.

f ( ^x )

=

k

√ ^x

: ……….

5.

f ( x )

=

k

x

ⁿ

( n ≠ 1 )

: ……….

6.

f ( ^x )

=ke^x : ……….

7.

f ( x )

=

kcos ( x )

: ……….

f ’

√ ^f

: ……….

kf

: ……….

f ’ e

^f : ……….

11.

f ( x )

=k : ……….

f ’ f

ⁿ : ……….

13.

f ( x )

=

ksin ( x )

: ……….

14.

f ( ^x )

=

1 x

: ……….

f

+

g

: ……….

f ( ax

+

b )

: ……….

(

Se tester du cours n°3 Ex.1 (2 pts)) - Exercice n°18 Calculer

∫

−1 4

( ^x

²−

9 x

+

7 ) ^dx

(

∫

−1

4

8 x

( x

²+

8 )

²

^dx

(

Se tester du cours n°3 Ex.3 (10 pts)) - Exercice n°20 Calculer des primitives des fonctions suivantes :

1

(20)

(21)

3.

f ( ^x )

=4

e

³^x+⁴ 4.

f ( ^x )

=

2 √ ⁹ ^x

+

2

5.

f ( ^x )

=

x

+

8 ( ^x

²+

16 x

−

4 )

⁵

6.

f ( ^x )

=

2 x ( ^x

²−

1 )

⁸

7.

f ( ^x )

=

( ⁵ ^x

−

8 )

²

8.

f ( ^x )

=

xe

^−3x^²+3

9.

f ( ^x )

=

9 8 x

+3

10.

f ( ^x )

=

8 5 x

+

8

(22)

Indices et résultats

Ex.1 : −

65 6

Ex.2 :

12 85

Ex.3 : Dans le désordre :

1 4 x

⁴+

4 3 x

³+

5 2 x

²+

8 x

+

k , k



R

; −

1 8

1 ( x

²+16

x

−5

)

⁴⁺

^{k , k}

^

^R

;

1 6 e

3x²+7.1 .9 .8.6 .2.3 .10 .5.4 .∨¿b>1.<¿b>f(^x)= 1

√^x+5 ¿b>2.<¿b>f(^x)=x³+3x²+8x−5 ¿b>3.<¿b>f(^x)=4e^3x+4 ¿b>4.<¿b>f(^x)= 2

√⁹^x+2^ ¿b>5.<¿b>f(^x)= x+8

(^x²+16x−4)⁵^ ¿b>6.<¿b>f(^x)=2x(^x²−1)⁸ ¿b>7.<¿b>f(^x)=(⁵x−8)² ¿b>8.<¿b>f(^x)=xe^−3x²+3 ¿b>9.<¿b>f(^x)= 9

8x+3 ¿b>10.<¿b>f(^x)= 8

5x+8 ¿+k , kR¿

;

1 40 ( ⁸ x− 2 )

⁶+

k , k



R

;

4 9 √ ² ^x+ ³⁺ ^{k , k}

^

^R

^;

^e

^4x⁺³⁺

^{k , k}

^

^R

^;

² √ ^x

⁺²^;

1 6 ( ^x

²−

1 )

⁶+

k , k



R

;

ln (

^|

⁸ ^x

+

9

|

)

^;

³ ₈ ^ln (

|

3 x

+

16

|

)

+

k , k



R

.

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°3

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 :

1 - 2 - 3 - 4 - 5 : Savoir

1 2 3 : C10.c - Niv1 - Savoir déterminer une intégrale.

1 2 3 : C10.d - Niv1 - Savoir déterminer une primitive.

1 2 3 : C10.e - Niv1 - Connaître les formules usuelles.

Donner les primitives des fonctions ou formules ci-dessous (

f

et

g

sont deux fonctions,

F

et

G

étant deux primitives respectives de ces fonctions,

k

est un nombre réel quelconque) :

f ( ax

+

b )

: ……….

2.

f ( x )

=kcos

( x )

: ……….

kf

: ……….

f

+

g

: ……….

5.

f ( x )

=ksin

( x )

: ……….

6.

f ( ^x )

=

k

√ ^x

: ……….

f ’

f

: ……….

f ’ e

^f : ……….

f ’

f

ⁿ : ……….

(23)

11.

f ( ^x )

=

1 x

: ……….

f ’ f

ⁿ : ……….

13.

f ( ^x )

=

ke

^x : ……….

14.

f ( ^x )

=

k

x

ⁿ

( ^{n ≠} ¹ )

: ……….

f ’

√ ^f

: ……….

16.

f ( x )

=k : ……….

(

∫

−1 2

( ^x

²−2

x+7 ) ^dx

(

∫

−3

2

2 x

( ^x

²+

3 )

²

^dx

(

Se tester du cours n°3 Ex.3 (10 pts)) - Exercice n°23 Calculer des primitives des fonctions suivantes : 1.

f ( ^x )

=

7 6 x+ 7

2.

f ( ^x )

=

x

+

2 ( ^x

²+

4 x

−

6 )

⁹

3.

f ( ^x )

=2

x ( x

²−1

)

⁹

4.

f ( ^x )

=

x

³+

8 x

²+

5 x

−

9

5.

f ( ^x )

=

1 √ ^x

⁺

⁸

6.

f ( x )

=

5 3 x

+5

7.

f ( ^x )

=

2 √ ² ^x

⁺⁶

8.

f ( ^x )

=

( ² ^x

−

4 )

²

9.

f ( ^x )

=6

e

⁵^x+6

10.

f ( ^x )

=

xe

⁻²^x²⁺⁹

(24)

Indices et résultats

Ex.1 : 0 Ex.2 : 0

Ex.3 : Dans le désordre :

5 3 ln (

^|

⁵ x+ 4

|

)

+

k , k



R

;

e

⁶^x+2+

k , k



R

;

1 24 ( ⁴ x− 2 )

⁷+

k , k



R

;

ln (

|

7 x

+

5

|

)

^;

⁶ √ ⁶ ^x+5+ ^{k , k}

^

^R

^;

¹ ₃ ⁽ ^x

²⁻¹

⁾

³⁺

^{k , k}

^

^R

^;

1 4 x

⁴+

8 3 x

³+

9 2 x

²+

9 x

+

k , k



R

; −

1 14

1 ( ^x

²+

4 x

−

9 )

⁷⁺

^{k , k}

^

^R

^;

1 18 e

9x²+4.6 .2.1 .7.5 .8.3 .9.10 .∨¿b>1.<¿b>f(^x)= 7

6x+7 ¿b>2.<¿b>f(^x)= x+2

(^x²⁺⁴^x−6)⁹^<br^>¿b>3.<¿b>f(^x)=2x(^x²−1)⁹ ¿b>4.<¿b>f(^x)=x³+8x²+5x−9 ¿b>5.<¿b>f(^x)= 1

√x+8 ¿b>6.<¿b>f(^x)= 5

3x+5 ¿b>7.<¿b>f(^x)= 2

√²^x+6 ¿b>8.<¿b>f(^x)=(²x−4)² ¿b>9.<¿b>f(^x)=6e^5x+6 ¿b>10.<¿b>f(^x)=xe^−2x^²+9 ¿+k , kR¿

;

2 √ ^x

⁺

²

^.

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3

Interrogation n°3

Objectif : C10.c - Niv1 - Connaître les primitives usuelles - relation entre intégrale et primitive.

(25)

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