Chapitre 1: Intégrales simples et primitives

Chapitre 1:

Intégrales simples et primitives

Faculté polydisciplinaire-Safi- Module: Analyse 2

SMP-SMC

19 Février 2020 P: ESS

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétès de l’integrales

3 Primitives

4 Primitives des fonctions rationnelles

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétès de l’integrales

3 Primitives

4 Primitives des fonctions rationnelles

1- Intégrales et Sommes de Riemann

Notion d’intégrale

La notation Z

est due au mathématicien allemand Gottfried Wilhelm vonLeibniz (1646 ; 1716). Ce symbole fait penser à un "S" allongé et s’explique par le fait que l’intégral est égal à une aire calculée comme somme infinie d’autres aires.

Mais la notation Z b

a

a été introduite par le français JosephFourier(1768 ; 1830).

Plus tard, un second mathématicien allemand, BernhardRiemann(1826 ; 1866) établit une théorie aboutie du calcul intégral.

Définition 1.1 (Subdivision)

Soit a et b deux réels tels quea<b.

Une subdivision de l’intervalle fermé borné[a;b]est une famille finie de réels (x₀,x₁, ...x_n)telle quea=x₀<x₁<x₂< ... <x_n−1<x_n=b.

Le pas d’une telle subdivision est le nombreδ= max

0≤k≤n−1{x_k+1−x_k} C’est la longueur du plus grand intervalle dans le découpage de[a;b].

Exemple 1.2 : (Subdivision " équirépartie ")

La subdivisionéquirépartieest issue d’un découpage équidistant de[a;b]en n intervalles de longueur identiqueδ=^b−a

n .

Les points de subdivision sont donnés parxk=a+kb−a

n aveck=0, ...,n.

a•

x₀ • x₁•

x₂ •

x₃ . . . •

xk−1

• xk

•

xk+1 . . . • xn−2

• xn−1

•

xn

b δ

a•

x₀ • x₁ •

x₂ •

x₃ . . . •

xk−1

• xk

•

xk+1 . . . • xn−2

• xn−1

•

xn

b

δ δ δ δ δ δ δ

Définition 1.3 (Somme de Riemann)

Soit∆ ={x₀,x₁, ...,x_n}une subdivision de[a,b]. Pour chaquek∈ {0,1, ...,n−1}soit λk∈[x_k,x_k+1].

On appelle somme de Riemann de la fonctionfassocié à∆et aux pointsλkle nombre RS_∆(f) =

n−1

∑

k=0

(x_k+1−x_k)f(λ_k).

Ce nombre représente l’aire de la réunion des rectangles de base[xk;xk+1]et de hauteurf(λk).

x f(x)

a b

x₀x₁x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x₉ x₁₀ x₁₁ x₁₂ λ₁λ₂ λ₃ λ₄ λ₅ λ₆ λ₇λ₈ λ₉ λ₁₀ λ₁₁ λ₁₂

•

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• •

•

•

•

• •

•

Exemple 1.4 (Subdivision équirépartie)

Considérons une subdivision "équirépartie" avec comme choix desλk une des bornes de chaque sous-intervalle :x_k=a+k^b−_n^aet(λ_k=x_k−1ou x_k)avec 1≤k≤n. Les sommes de Riemann correspondante s’écrivent :

RS∆(f) =^b−a n

n−1 k

∑

f(a+kb−a

n ) ou b−a n

n k

∑

f(a+kb−a n )

x f(x)

a b

x0x1x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9x10x11x12

λ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8λ9λ10λ11λ12

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x f(x)

a b

x0x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12

λ1λ2λ3λ4λ5λ6λ7λ8λ9λ10λ11λ12

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• •

Théorème 1.5

x f(x)

a b

•

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• •

•

•

•

•

•

•

δ

Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, la somme de RiemannRS_∆(f)tend vers une limite finie, cette limite est notée par

Zb a

f(x)dx.

Théorème 1.5

x f(x)

a b

•

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• •

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• •

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• •

δ

Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, la somme de RiemannRS_∆(f)tend vers une limite finie, cette limite est notée par

Zb a

f(x)dx.

Théorème 1.5

x f(x)

a b

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•• •

•• •

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δ

Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, la somme de RiemannRS_∆(f)tend vers une limite finie, cette limite est notée par

Zb a

f(x)dx.

Proposition 1.6

Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. Alors,

1 lim

n→+∞ 1 n

n−1

∑

k=0

f(a+kb−a n ) = ¹

b−a Z b

a

f(x)dx

2 lim

n→+∞ 1 n

n

∑

k=1

f(a+kb−a n ) = ¹

b−a Z b

a

f(x)dx

Corollaire 1.7

Sifest continue sur[0,1]alors

n→lim+∞ 1 n

n−1

∑

k=0

f(^k n) =

Z 1 0

f(x)dx et

n→lim+∞ 1 n

n

∑

k=1

f(^k n) =

Z 1 0

f(x)dx

Proposition 1.6

Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. Alors,

1 lim

n→+∞ 1 n

n−1

∑

k=0

f(a+kb−a n ) = ¹

b−a Z b

a

f(x)dx

2 lim

n→+∞ 1 n

n

∑

k=1

f(a+kb−a n ) = ¹

b−a Z b

a

f(x)dx

Corollaire 1.7

Sifest continue sur[0,1]alors

n→lim+∞ 1 n

n−1

∑

k=0

f(^k n) =

Z 1 0

f(x)dx et

n→lim+∞ 1 n

n

∑

k=1

f(^k n) =

Z 1 0

f(x)dx

Exemples 1.8

En utilisant la définition de l’integrale de Reimann calculer les limites des suites suivantes.

1 u_n= ¹

n+1+ ¹

n+2+...+ ¹ n+n

2 vn=

√ 1+√

2+...+√ n n√

n

3 w_n=

n k

∑

n n²+k² 1- On au_n=

n

∑

k=1

1 n+k =

n

∑

k=1

1

n(1+^k_n)=¹ n

n

∑

k=1

1 1+^k_n On posef(x) = ¹

1+x donc :u_n=¹ n

n k

∑

f(^k n)

n→lim+∞ u_n=

Z1 0

f(x)dx= Z 1

0

1

1+xdx= [ln(1+x)]¹₀= ln(2)

Exemples 1.8

En utilisant la définition de l’integrale de Reimann calculer les limites des suites suivantes.

1 u_n= ¹

n+1+ ¹

n+2+...+ ¹ n+n

2 vn=

√ 1+√

2+...+√ n n√

n

3 w_n=

n k

∑

n n²+k² 1- On au_n=

n

∑

k=1

1 n+k =

n

∑

k=1

1

n(1+^k_n)=¹ n

n

∑

k=1

1 1+^k_n On posef(x) = ¹

1+x donc :u_n=¹ n

n k

∑

f(^k n)

n→lim+∞ u_n=

Z1 0

f(x)dx= Z 1

0

1

1+xdx= [ln(1+x)]¹₀= ln(2)

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétès de l’integrales

3 Primitives

4 Primitives des fonctions rationnelles

2- Propriétès de l’integrales

Proposition 2.1

Soitc∈]a,b[etfune fonction continue sur[a,b], alors on a la relation de Chasles : Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx

Proposition 2.2

Soientf etgdeux fonctions continues sur[a,b], alors on a :

1

Z b a

(f+g)(x)dx= Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx.

2 Pour toutλréel, Z b

a

λf(x)dx=λ Z b

a

f(x)dx.

3 Sif≥0 sur[a,b]alors Z b

a

f(x)dx≥0

4 Sif≤gsur[a,b]alors Zb

a

f(x)dx≤ Zb

a

g(x)dx

Preuve :1) et 2)- On a b−a

n

n−1

∑

k=0

(f+g)(x_k) =^b−a n

n−1

∑

k=0

f(x_k) +^b−a n

n−1

∑

k=0

g(x_k)

et b−a n

n−1 k

∑

(λf)(xk) =λ^b−a n

n−1 k

∑

f(xk)et par passage à la limite on a le résultat.

3) Sif≥0 alors b−a n

n−1 k

∑

f(xk)≥0 et par passage à la limite on a le résultat.

4) Sig−f≥0 sur[a,b]alors Z b

a

(g−f)(x)dx≥0, et par conséquent Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx

Convention 2.3

1 Sifest définie au pointaalors Z a

a

f(x)dx=0

2 Sia>bet sifest continue sur[b,a]alors Z b

a

f(x)dx=− Z a

b

f(x)dx

Preuve :1) et 2)- On a b−a

n

n−1

∑

k=0

(f+g)(x_k) =^b−a n

n−1

∑

k=0

f(x_k) +^b−a n

n−1

∑

k=0

g(x_k)

et b−a n

n−1 k

∑

(λf)(xk) =λ^b−a n

n−1 k

∑

f(xk)et par passage à la limite on a le résultat.

3) Sif≥0 alors b−a n

n−1 k

∑

f(xk)≥0 et par passage à la limite on a le résultat.

4) Sig−f≥0 sur[a,b]alors Z b

a

(g−f)(x)dx≥0, et par conséquent Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx

Convention 2.3

1 Sifest définie au pointaalors Z a

a

f(x)dx=0

2 Sia>bet sifest continue sur[b,a]alors Z b

a

f(x)dx=− Z a

b

f(x)dx

Corollaire 2.4

Sifest continue sur[a,b], on a :| Z b

a

f(x)dx| ≤ Zb

a

|f(x)|dx. Preuve :

On a−|f(x)| ≤f(x)≤ |f(x)|donc

− Z b

a

|f(x)|dx≤ Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

|f(x)|dx

D’où| Zb

a

f(x)dx| ≤ Z b

a

|f(x)|dx.

Proposition 2.5 (1

Formule de la moyenne)

Soientf etgdeux fonctions continues sur[a,b]. On suppose queggarde un signe constant sur[a,b], alors il existec∈[a,b]tel que

Z b a

f(x)g(x)dx=f(c) Z b

a

g(x)dx

Corollaire 2.4

Sifest continue sur[a,b], on a :| Z b

a

f(x)dx| ≤ Zb

a

|f(x)|dx. Preuve :

On a−|f(x)| ≤f(x)≤ |f(x)|donc

− Z b

a

|f(x)|dx≤ Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

|f(x)|dx

D’où| Zb

a

f(x)dx| ≤ Z b

a

|f(x)|dx.

Proposition 2.5 (1

Formule de la moyenne)

Soientf etgdeux fonctions continues sur[a,b]. On suppose queggarde un signe constant sur[a,b], alors il existec∈[a,b]tel que

Z b a

f(x)g(x)dx=f(c) Z b

a

g(x)dx

Preuve :

Supposons quegest positive sur[a,b]et soientm= inf

[a,b]

fetM= sup

[a,b]

f, on a

∀x∈[a,b]mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)et par suite m

Zb a

g(x)≤ Z b

a

f(x)g(x)dx≤M Z b

a

g(x)dx

Si Z b

a

g(x)dx=0 alors Z b

a

f(x)g(x)dx=0 et l’égalité est vérifiée pour toutc∈[a,b].

Si Z b

a

g(x)dx6=0 alors Z b

a

g(x)dx>0 etm≤ Z b

a

f(x)g(x)dx Zb

a

g(x)dx

≤M

Commefest continue sur[a,b],fatteint ses bornes, doncf([a,b]) = [m,M]et d’après le T.V.I, il existec∈[a,b]tel que

Z b a

f(x)g(x)dx Z b

a

g(x)dx

=f(c), donc Z b

a

f(x)g(x)dx=f(c) Zb

a

g(x)dx

Corollaire 2.6

Soitf une fonction continue sur[a,b]alors il existec∈[a,b]tel que Z b

a

f(x)dx= (b−a)f(c)

On applique la proposition 2.5 à la fonctiong≡1 sur[a,b].

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétès de l’integrales

3 Primitives

4 Primitives des fonctions rationnelles

3- Primitives

Définition 3.1

Soitf une fonction définie et continue sur l’intervalle[a;b]. On appelle primitive de la fonctionftoute fonctionF définie de[a;b]surR^{tel que}

∀x∈[a;b]F⁰(x) =f(x) .

Proposition 3.2

SoitIun intervalle deR^{. SiF}est une primitive def surIalors :

1 F+K, avecK∈R, est une primitive defsurI.

2 Toute primitiveGdefsurIest de la formeG=F+K, avecK∈R^. Une primitive def est appelée intégrale indéfinie def et est notée

Z

f(x) =F+K.

Théorème 3.3 (Théorème fondamental de l’analyse)

Soitf est continue sur un intervalleIeta∈Ifixé.

On définit la fonction suivanteF surIpar∀x∈I F(x) = Z x

a

f(t)dt. AlorsFest de classeC¹surIet∀x∈I F⁰(x) =f(x).

On dit queF est une primitive defsurI.

Proposition 3.4

Soitf une fonction continue surI.

1 Pour toute primitiveGdef surI, on a : Zx

a

f(t)dt=G(x)−G(a)

2 F(x) =

Z x a

f(t)dt est la seule primitive defqui s’annule au pointa.

Corollaire 3.5

Soientf une fonction continue sur[a,b]etuetvdeux fonctions dérivables à valeurs dans[a,b].

Alors siF(x) = Z v(x)

u(x)

f(t)dton aF⁰(x) =v⁰(x)f(v(x))−u⁰(x)f(u(x)).

Preuve : PosonsG(x) =

Z x a

f(t)dt

F(x) = Z v(x)

u(x)

f(t)dt = Z a

u(x)

f(t)dt+ Z v(x)

a

f(t)dt

= Z v(x)

a

f(t)dt− Z u(x)

a

f(t)dt

= G(v(x))−G(u(x)).

D’où

F⁰(x) = v⁰(x)G⁰(v(x))−u⁰(x)G⁰(u(x))

= v⁰(x)f(v(x))−u⁰(x)f(u(x))

Exemples

Calculer la dérivé des fonctions suivantes :

1 F(x) =

Z x 1

ln(1+t²)dt

2 H(x) =

Z 2x⁵ x²

e^sin(t)dt

F⁰(x) = ln(1+x²)

H⁰(x) =10x⁴e^sin(2x5)−2xe^sin(x2)

Exemples

Calculer la dérivé des fonctions suivantes :

1 F(x) =

Z x 1

ln(1+t²)dt

2 H(x) =

Z 2x⁵ x²

e^sin(t)dt

F⁰(x) = ln(1+x²)

H⁰(x) =10x⁴e^sin(2x5)−2xe^sin(x2)

Primitives des fonctions usuelles

Z

x^αdx= ^x

α+1

α+1+K pourα∈R\ {−1} ; Z 1

xdx= ln|x|+K Z

cos(x)dx= sin(x) +K ; Z

sin(x)dx=−cos(x) +K Z dx

cos²(x)= tan(x) +K ; Z

e^xdx=e^x+K Z

ln(x)dx=xln(x)−x+K ;

Z dx

1+x²= arctanx+K Z dx

√

1−x² = arcsinx+K ;

Z −dx

√

1−x²= arccosx+K Z

chx dx=shx+K ; Z

shx dx=chx+K Z dx

√

1+x² =argshx+K= ln(x+p

1+x²) +K Z dx

√

x²−1 =argchx+K= ln(x+p

x²−1) +K

Intégration par parties

Théorème

Soientf etgdeux fonctions de classeC¹sur[a,b], on a alors :

1

Z

f⁰(x)g(x)dx=f(x)g(x)−

Z

f(x)g⁰(x)dx

2

Z b a

f⁰(x)g(x)dx=f(b)g(b)−f(a)g(a)− Z b

a

f(x)g⁰(x)dx Preuve :

Il suffit de remarquer que(fg)⁰(x) =f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x).

Exemple 1 : Calculer Z

x

e

dx

On posef⁰(x) =e^xetg(x) =x²doncf(x) =e^xetg⁰(x) =2x Z

x²e^xdx=x²e^x− Z

2xe^xdx+k On posef⁰(x) =e^xetg(x) =2xdoncf(x) =e^xetg⁰(x) =2

Z

2xe^xdx=2xe^x− Z

2e^xdx+k

=2xe^x−2e^x+k D’où

Z

x²e^xdx=x²e^x−2xe^x+2e^x+K= (x²−2x+2)e^x+K

Exemple 2 : Calculer Z

sin( x ) e

dx

On posef⁰(x) =e^x,g(x) = sin(x)doncf(x) =e^x,g⁰(x) = cos(x) Z

sin(x)e^xdx = e^xsin(x)− Z

cos(x)e^xdx

= e^xsin(x)−

e^xcos(x) + Z

e^xsin(x)dx

= e^xsin(x)−e^xcos(x)−

Z

sin(x)e^xdx Donc

2 Z

sin(x)e^xdx=e^xsin(x)−e^xcos(x) D’où

Z

sin(x)e^xdx=¹

2(sin(x)−cos(x))e^x+K

Changement de variables

Théorème

Soientf: [a,b]−→Rcontinue etϕ: [α,β]−→[a,b]de classeC¹alors Z β

α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt= Zϕ(β)

ϕ(α)

f(x)dx

Remarque

Dans la pratique, il suffit d’écrirex=ϕ(t)etdx=ϕ⁰(t)dt.

Sit=αalorsx=ϕ(α) Sit=βalorsx=ϕ(β) Z _β

α

f(ϕ(x))ϕ⁰(t)dt= Z_ϕ(β)

ϕ(α)

f(x)dx.

Exemple 1 : Calculer Z

0

e

1 + e

dt

On posex=e^t, on adx=e^tdt.

t=0 alorsx=1 t=1 alorsx=e Z 1

0

e^t 1+e^2tdt=

Z e

1

1

1+x²dx= [arctan(x)]^e₁= arctan(e)−arctan(1)

Exemple 2 : Calculer Z

2

0

sin

( t ) dt

I= Z ^π₂

0

sin³(t)dt= Z ^π₂

0

sin²(t) sin(t)dt= Z ^π₂

0

(1−cos²(t)) sin(t)dt On posex= cos(t),dx=−sin(t)dt

DoncI=− Z0

1

(1−x²)dx= Z1

0

(1−x²)dx= [x−^x

3

3 ]¹₀=1−¹ 3 =²

3

Exemple 1 : Calculer Z

0

e

1 + e

dt

On posex=e^t, on adx=e^tdt.

t=0 alorsx=1 t=1 alorsx=e Z 1

0

e^t 1+e^2tdt=

Z e 1

1

1+x²dx= [arctan(x)]^e₁= arctan(e)−arctan(1)

Exemple 2 : Calculer Z

2

0

sin

( t ) dt

I= Z ^π₂

0

sin³(t)dt= Z ^π₂

0

sin²(t) sin(t)dt= Z ^π₂

0

(1−cos²(t)) sin(t)dt On posex= cos(t),dx=−sin(t)dt

DoncI=− Z0

1

(1−x²)dx= Z1

0

(1−x²)dx= [x−^x

3

3 ]¹₀=1−¹ 3 =²

3

Exemple 1 : Calculer Z

0

e

1 + e

dt

On posex=e^t, on adx=e^tdt.

t=0 alorsx=1 t=1 alorsx=e Z 1

0

e^t 1+e^2tdt=

Z e 1

1

1+x²dx= [arctan(x)]^e₁= arctan(e)−arctan(1)

Exemple 2 : Calculer Z

2

0

sin

( t ) dt

I= Z ^π₂

0

sin³(t)dt= Z ^π₂

0

sin²(t) sin(t)dt= Z ^π₂

0

(1−cos²(t)) sin(t)dt On posex= cos(t),dx=−sin(t)dt

DoncI=− Z0

1

(1−x²)dx= Z1

0

(1−x²)dx= [x−^x

3

3 ]¹₀=1−¹ 3 =²

3

Exemple 1 : Calculer Z

0

e

1 + e

dt

On posex=e^t, on adx=e^tdt.

t=0 alorsx=1 t=1 alorsx=e Z 1

0

e^t 1+e^2tdt=

Z e 1

1

1+x²dx= [arctan(x)]^e₁= arctan(e)−arctan(1)

Exemple 2 : Calculer Z

2

0

sin

( t ) dt

I= Z ^π₂

0

sin³(t)dt= Z ^π₂

0

sin²(t) sin(t)dt= Z ^π₂

0

(1−cos²(t)) sin(t)dt On posex= cos(t),dx=−sin(t)dt

DoncI=− Z0

1

(1−x²)dx= Z1

0

(1−x²)dx= [x−^x

3

3 ]¹₀=1−¹ 3 =²

3

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétès de l’integrales

3 Primitives

4 Primitives des fonctions rationnelles

Décomposition en éléments simples

Une fonction rationnelles est de la formeF(x) =^P_Q⁽₍^x_x⁾₎, oùPetQsont deux polynômes à coefficients dansR^.

On sait que toute fonction rationnelle se décompose comme suit : F(x) =Q₂(x) +_Q^P1(x)

1(x), oùdeg(P₁)<deg(Q₁),Q₁unitaire etQ₂(x)∈R[X] On sait queQ₁(x)peut être mis sous la forme :

Q₁(x) =

n

∏

i=1

(x−r_i)^ki

m

∏

j=1

(x²+p_jx+q_j)^hj avecp²_j −4q_j<0 et par suit la décomposition en éléments simples, on obtient :

F(x) =Q2(x) +

n i

∑

(

ki

∑

α=1

c_α,i (x−r_i)^α) +

m j

∑

(

hi

∑

β=1

a_β,jx+b_β,j (x²+pjx+qj)^β) où lesk_i,h_j∈N^etcα,i,a_β,j,b_β,j,p_j,q_j∈R^{, avecp2}j −4q_j<0

Le calcul des primitives de fonctions rationnelles se ramène donc à celui des primitives de fonctions de la forme :

1

Z

xⁿdx,n∈N^.

2

Z 1

(x−r)^ndx,r∈R^,n∈N^∗

3

Z ax+b

(x²+px+q)^ndxavecp

2

j −4q_j <0

Nous avons donc,

1

Z

xⁿdx= ¹

n+1xⁿ⁺¹+c

2

Z 1

(x−r)ⁿ =







ln|x−r|+c; sin=1 1

−n+1(x−r)⁻ⁿ⁺¹= ¹

(1−n)(x−r)ⁿ⁻¹+csin>1.

Le calcul des primitives de fonctions rationnelles se ramène donc à celui des primitives de fonctions de la forme :

1

Z

xⁿdx,n∈N^.

2

Z 1

(x−r)^ndx,r∈R^,n∈N^∗

3

Z ax+b

(x²+px+q)^ndxavecp

2

j −4q_j <0

Nous avons donc,

1

Z

xⁿdx= ¹

n+1xⁿ⁺¹+c

2

Z 1

(x−r)ⁿ =







ln|x−r|+c; sin=1 1

−n+1(x−r)⁻ⁿ⁺¹= ¹

(1−n)(x−r)ⁿ⁻¹+csin>1.

Calcule de

Z ax + b

( x

+ px + q )

^{dx avec p}

2

− 4q < 0 , n ∈ N ^∗

on a

Z ax+b

(x²+px+q)^ndx=^a 2

Z 2x+p

(x²+px+q)^ndx+ (b−^ap 2)

Z 1

(x²+px+q)^ndx On a

Z 2x+p (x²+px+q)^ndx=







ln(x²+px+q) +c;sin=1 1

(1−n)(x²+px+q)ⁿ⁻¹+csin>1.

On a :

(x²+px+q)ⁿ= ((x+^p

2)²+^4q−p²

4 )ⁿ= (^4q−p²

4 )ⁿ(( ^2x+p p4q−p²)²+1)ⁿ On poseu= ^2x+p

p4q−p²

,du=p ² 4q−p²

dx.

Z 1

(x²+px+q)^ndx= ( ⁴ 4q−p²)ⁿ

p4q−p² 2

Z 1

(u²+1)^ndu On poseIn=

Z 1

(u²+1)ⁿdu, par une intégration par parties, on montre que 2nIn+1= ^u

(1+u²)ⁿ+ (2n−1)In et

I1=

Z 1

1+u²du= arctanu+c.

Exemple 1 : Calculer

Z 3x

x

− 1 dx .

F(x) = ^3x

x³−1= ^3x

(x−1)(x²+x+1)= ^A

x−1+ ^Bx+C x²+x+1 A= ((x−1)F(x))1=1=⇒A=1

x→+∞lim xF(x) =0=A+B=⇒B=−A=−1=⇒B=−1 F(0) =0=−A+C=⇒C=A=1=⇒C=1

Donc

3x

x³−1 = ¹

x−1+ −x+1 x²+x+1

= ¹

x−1−¹ 2

2x+1 x²+x+1+³

2 1 x²+x+1 Donc

Z 3x x³−1dx=

Z dx x−1dx−¹

2

Z 2x+1 x²+x+1dx+³

2

Z 1

x²+x+1dx On a

Z 1

x²+x+1dx=

Z 1

(x+¹₂)²+³₄^dx=⁴ 3

Z 1

(^2x+1√

3 )²+1dx On poseu=^2x+1

√

3 ,du=√² 3dx doncI=⁴₃

√ 3 2

Z 1

u²+1du=²

√ 3

3 arctanu+c D’où,

Z 3x

x³−1dx= ln|x−1| −¹

2ln(x²+x+1) +√

3arctan(^2x+1

√ 3 ) +c

Exemple 2 : Calculer I =

Z x

( x

− x + 1 )

^dx

I=¹ 2

Z 2x−1

(x²−x+1)^2dx+¹ 2

Z 1

(x²−x+1)^2dx=−¹ 2

1 x²−x+1+¹

2

Z 1

(x²−x+1)^2dx On aJ=

Z 1

(x²−x+1)^2dx=

Z 1

((x−¹₂)²+³₄)^2dx=¹⁶ 9

Z 1

((^2x−1√₃ )²+1)^2dx On posex=^2x−1

√

3 du=√²

3dx. DoncJ=¹⁶ 9

√ 3 2

Z 1

(u²+1)^2du Pour

Z 1

u²+1du, on posef=u,f⁰=1,g= ¹

u²+1,g⁰= −2u (u²+1)² donc

Z 1

u²+1du = ^u u²+1+

Z 2u²

(u²+1)^2du= ^u u²+1+2

Z u²+1−1 (u²+1)^2du

= ^u

u²+1+2

Z 1

u²+1du−2

Z du

(u²+1)² donc

Z du

(u²+1)²=¹ 2( ^u

u²+1+ arctan(u)) +c

D’où

J = ¹⁶

9

√ 3 2

1 2( ^u

u²+1+ arctanu) +c

= ⁴

√ 3

9 ( ^2x−1

√ 3((^2x√−1

3 )²+1)+ arctan(^2x−1

√ 3 ) +c

= ¹

3

2x−1 x²−x+1+⁴

√ 3

9 arctan(^2x−1

√ 3 ) +c c/c

I=−¹ 2

1

x²−x+1+¹

6. ^2x−1 x²−x+1+²

√3 9 +²

√3

9 arctan(^2x−1

√ 3 ) +c

Fonctions rationnelles en sin x et cos x

SoientPetQdeux polynômes à deux variables à coefficients réels.

Le cas de R

P (sin x , cos x ) dx

Le calcul de cette primitive se ramène au calcul deR

(cosx)ⁿ(sinx)^mdx oùn,m∈N Sinest impair :n=2p+1, on poset= sinx

Z

(cosx)ⁿ(sinx)^mdx = Z

(cos²x)^pcosx(sinx)^mdx

= Z

(1−sin²x)^p(sinx)^mcosxdx= Z

(1−t²)^pt^mdt Simest impair :m=2q+1, on poset= cosx

Z

(cosx)ⁿ(sinx)^mdx = Z

(cosx)ⁿ(sin²x)^qsinxdx

= Z

(cosx)ⁿ(1−cos²x)^qsinxdx=− Z

tⁿ(1−t²)^qdt Sinetmsont pairs :n=2petm=2q, on linéarise(cosx)^2p(sinx)^2q

Dans ce cas on utilise en général le changement de variablet= tan(^x₂), qui donne : sinx= ^2t

1+t²,cosx=¹−t²

1+t² etdx= ² 1+t²dt

On se ramène ainsi au calcul des primitives d’une fonction rationnelle de la variablet.

Dans des cas particuliers il’y a d’autres changement de variables.

Proposition (Régle de Bioche)

Soit à calculer

Z P(sinx,cosx)

Q(sinx,cosx)^{dx, oùPetQ}sont deux polynômes à deux variables à coefficients réels.

1 SiF(−x) =−F(x), on poset= cos(x).

2 SiF(π−x) =−F(x), on poset= sin(x).

3 SiF(x+π) =F(x), on poset= tan(x).

Le cas de

Z P (sin x , cos x )

Q (sin x , cos x ) ^dx

Dans ce cas on utilise en général le changement de variablet= tan(^x₂), qui donne : sinx= ^2t

1+t²,cosx=¹−t²

1+t² etdx= ² 1+t²dt

On se ramène ainsi au calcul des primitives d’une fonction rationnelle de la variablet.

Dans des cas particuliers il’y a d’autres changement de variables.

Proposition (Régle de Bioche)

Soit à calculer

Z P(sinx,cosx)

Q(sinx,cosx)^{dx, oùPetQ}sont deux polynômes à deux variables à coefficients réels.

1 SiF(−x) =−F(x), on poset= cos(x).

2 SiF(π−x) =−F(x), on poset= sin(x).

3 SiF(x+π) =F(x), on poset= tan(x).

Le cas de

Z P (sin x , cos x )

Q (sin x , cos x ) ^dx

Exemple 1

CalculerI=

Z 1

cosx(sinx−cosx)^{dx SoitF}(x) = ¹

cosx(sinx−cosx)^{, on a} F(x+π) =F(x), on pose donct= tan(x),dt= (1+t²)dx

I =

Z 1

cos²x(tanx−1)^dx=

Z 1+ tan²x tanx−1dx=

Z 1+t² t−1

dt 1+t²

=

Z dt

t−1= ln|t−1|+cte= ln|tan(x)−1|+cte

Exemple 2

Calculer Z ^π₂

0

1

1+ cosxdx, on aF(−x)6=−F(x),F(π−x)6=−F(x)et F(x+π)6=F(x).

On poset= tan(^x₂),cos(x) =¹−t²

1+t²,dx= ² 1+t²dt. Z ^π₂

0

1

1+ cosxdx= Z 1

0

1 1+¹₁⁻₊^t_t²2

. ²

1+t²dt= Z 1

0

dt=1

Exemple 1

CalculerI=

Z 1

cosx(sinx−cosx)^{dx SoitF}(x) = ¹

cosx(sinx−cosx)^{, on a} F(x+π) =F(x), on pose donct= tan(x),dt= (1+t²)dx

I =

Z 1

cos²x(tanx−1)^dx=

Z 1+ tan²x tanx−1dx=

Z 1+t² t−1

dt 1+t²

=

Z dt

t−1= ln|t−1|+cte= ln|tan(x)−1|+cte

Exemple 2

Calculer Z ^π₂

0

1

1+ cosxdx, on aF(−x)6=−F(x),F(π−x)6=−F(x)et F(x+π)6=F(x).

On poset= tan(^x₂),cos(x) =¹−t²

1+t²,dx= ² 1+t²dt. Z ^π₂

0

1

1+ cosxdx= Z 1

0

1 1+¹₁⁻₊^t_t²2

. ²

1+t²dt= Z 1

0

dt=1

Fonctions rationnelles en e ^α

, α ∈ R

Pour calculerR

F(e^αx)dx, oùF est une fonction rationnelle etα∈R, on utilise en général le changement de variablet=e^αx, on a alorsdt=αtdxdonc

Z

F(e^αx)dx= Z F(t)

αt dt

Exemple

Calculer Z e^x

1+e^2xdx

On poset=e^x,dt=e^xdx=tdx=⇒dx=^dt t . Z e^x

1+e^2xdx = Z t

1+t² dt

t = Z 1

1+t²dt= arctan(t) +c

= arctan(e^x) +c