Chapitre 2: Intégrales simples et primitives

Chapitre 2:

Intégrales simples et primitives

Boua Hamid

Faculté polydisciplinaire-Safi- Module: Analyse 2

SMP-SMC

2 mai 2021

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétés des intégrales

3 Primitives

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétés des intégrales

3 Primitives

Définition

On appelle subdivision d’ordrende l’intervalle

[

a

,

b

]

toute partie finie, σ

= {

x₀

,

x₁

, ...

x_n

}

de

[

a

,

b

]

telle quea

=

x₀

<

x₁

<

x₂

< ... <

x_n−1

<

x_n

=

b.

◦

On noteIk

= [

xk

,

xk+1

]

un intervalle de la subdivision etlk

=

xk+1

−

xk sa longueur.

◦

Le nombre

Π

_σ

= max

0≤k≤n−1l_k est dit pas de la subdivision.

Exemple

La subdivision équidistante d’ordrenest la subdivision obtenue en découpant l’intervalle

[

a

,

b

]

ennintervalle de même longeur :x_k

=

a

+

kb

−

a

n avec k

=

0

, ...,

n,lk

=

^b

−

a

n et

Π

σ

=

^b

−

a n

Définition

Soitf une fonction définie sur un segment

[

a

,

b

]

, soit

σ

= (

a

=

x0

<

x1

< · · · <

xn

=

b

)

une subdivision de

[

a

,

b

]

, et soitξ1

, . . . ,

ξn

des réels tels que, pour chaquei,ξi

∈ [

xi−1

,

xi

]

. On appelle somme de Riemann def associée àσet auxξi la somme définie par :

S

(

f

,σ,

ξ) =

n

∑

i=1

(

xi

−

xi−1

)

f

(ξ

i

)

Théorème

Soitf

: [

a

,

b

] →

Rune fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, la somme de RiemannS

(

f

,σ,ξ)

tend vers une limite finie, cette limite est noté par

Z b a

f

(

x

)

dxet est appelée l’intégrale def sur

[

a

,

b

]

Corollaire

Soitf

: [

a

,

b

] →

Rune fonction continue. Alors,

n→+∞

lim

b

−

a

n

n

∑

k=1

f

a

+

kb

−

a n

=

Z b

a

f

(

t

)

dt

Exemple

Soitun

=

¹

n

+

1

+

¹

n

+

2

+ ... +

¹

n

+

n, calculer

lim

n→+∞un. un

=

n

∑

k=1

1 n

+

k

=

n

∑

k=1

1

n

(

1

+

^k_n

) =

¹ n

n

∑

k=1

1 1

+

^k_n Soitf

(

x

) =

¹

1

+

x on a :un

=

¹ n

n

∑

k=1

f

(

^k n

)

n→+∞

lim

u_n

=

Z 1

0

f

(

x

)

dx

=

Z 1

0

1

1

+

xdx

= [log(

1

+

x

)]

¹₀

= log(

2

)

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétés des intégrales

3 Primitives

Proposition

Soitc

∈]

a

,

b

[

etf une fonction continue sur

[

a

,

b

]

, alors on a la relation de Chasles :

Z b a

f

(

x

)

dx

=

Z c

a

f

(

x

)

dx

+

Z b

c

f

(

x

)

dx

Propsition

Soientf etgdeux fonctions continues sur

[

a

,

b

]

, alors on a :

1

Z b a

(

f

+

g

)(

x

)

dx

=

Z b

a

f

(

x

)

dx

+

Z b

a

g

(

x

)

dx.

2 Pour toutλréel, Z b

a

λf

(

x

)

dx

=

λ Z b

a

f

(

x

)

dx.

3 Sif

≥

0 sur

[

a

,

b

]

alors Z b

a

f

(

x

)

dx

≥

0

4 Sif

≤

gsur

[

a

,

b

]

alors Z b

a

f

(

x

)

dx

≤

Z b

a

g

(

x

)

dx

Convention

1 Sif est définie au pointaalors Z a

a

f

(

x

)

dx

=

0

2 Sia

>

bet sif est continue sur

[

b

,

a

]

alors Z b

a

f

(

x

)

dx

= −

Z a

b

f

(

x

)

dx

Corollaire

Sif est continue sur

[

a

,

b

]

, on a :

|

Z b

a

f

(

x

)

dx

| ≤

Z b

a

|

f

(

x

)|

dx.

Proposition

Soientf etgdeux fonctions continues sur

[

a

,

b

]

. On suppose queggarde un signe constant sur

[

a

,

b

]

, alors il existec

∈ [

a

,

b

]

tel que

Z b a

f

(

x

)

g

(

x

)

dx

=

f

(

c

)

Z b

a

g

(

x

)

dx

Corollaire

Soitf une fonction continue sur

[

a

,

b

]

alors il existec

∈ [

a

,

b

]

tel que Z b

a

f

(

x

)

dx

= (

b

−

a

)

f

(

c

)

Sommaire

1 Intégrales et Sommes de Riemann

2 Propriétés des intégrales

3 Primitives

SoitIun intervalle deR^etf

:

I

−→

R^.

Définition

Une fonctionF

:

I

−→

Rest une primitive def surIsi :F est dérivable surIet

∀

x

∈

I

:

F⁰

(

x

) =

f

(

x

)

.

Proposition

SoitIun intervalle deR^{. SiF}est une primitive def surIalors :

1 F

+

K, avecK

∈

R, est une primitive def surI.

2 Toute primitiveGdef surIest de la formeG

=

F

+

K, avecK

∈

R^. Une primitive def est appelée intégrale indéfinie def et est notée Z

f

(

x

) =

F

+

K.

Théorème

Sif est continue surIeta

∈

I, alors la fonctionF définie surIpar F

(

x

) =

Z x a

f

(

t

)

dt est une primitive def surI

Proposition

Soitf une fonction continue surI.

1 Pour toute primitiveGdef surI, on a : Z x

a

f

(

x

)

dx

=

G

(

x

) −

G

(

a

)

2 F

(

x

) =

Z x

a

f

(

x

)

dxest la seule primitive def qui s’annule au pointa.

Corollaire

Soientf une fonction continue sur

[

a

,

b

]

etuetv deux fonctions dérivables à valeurs dans

[

a

,

b

]

. Alors siF

(

x

) =

Z v(x) u(x)

f

(

t

)

dt on a F⁰

(

x

) =

v⁰

(

x

)

f

(

v

(

x

)) −

u⁰

(

x

)

f

(

u

(

x

))

.

Z 2x⁵ sin(t)

Primitives des fonctions usuelles Z

x^αdx

=

^x

α+1

α

+

1

+

K pourα

∈

R

\ {−

1

}

Z 1

xdx

= log|

x

|+

K Z

cos(

x

)

dx

= sin(

x

) +

K Z

sin(

x

)

dx

= −cos(

x

) +

K Z dx

cos

²

(

x

) = tan(

x

) +

K Z

−

dx

sin

²

(

x

) =

cotant

(

x

) +

K Z

e^xdx

=

e^x

+

K Z

chx dx

=

shx

+

K

Z

shxdx

=

chx

+

K Z

ln(

x

)

dx

=

x

ln(

x

) −

x

+

K Z dx

1

+

x²

= arctan

x

+

K Z dx

√

1

−

x²

= arcsin

x

+

K Z dx

√

1

+

x²

=

argshx

+

K

= log(

x

+

p

1

+

x²

) +

K Z dx

√

x²

−

1

=

argchx

+

K

= log(

x

+

p

x²

−

1

) +

K

Théorème

SoitIun intervalle deI. Sif etgont des primitives surI alorsf

+

λgadmet aussi une primitive surIet on a :

Z

f

+

λg

=

Z

f

+

λ Z

g

Théorème (Intégration par parties)

Soientf etgdeux fonctions de classeC¹sur

[

a

,

b

]

, on a alors :

1

Z

f⁰

(

x

)

g

(

x

)

dx

=

f

(

x

)

g

(

x

) −

Z

f

(

x

)

g⁰

(

x

)

dx

2

Z b a

f⁰

(

x

)

g

(

x

)

dx

=

f

(

b

)

g

(

b

) −

f

(

a

)

g

(

a

) −

Z b

a

f

(

x

)

g⁰

(

x

)

dx

Exemple

1) Calculer Z

x²e^xdx

On posef

(

x

) =

e^x etg

(

x

) =

x²doncf⁰

(

x

) =

e^x etg⁰

(

x

) =

2x Z

x²e^xdx

=

f

(

x

)

g⁰

(

x

) −

Z

f

(

x

)

g⁰

(

x

)

dx

=

x²e^x

−

Z

2xe^xdx On posef

(

x

) =

e^x etg

(

x

) =

2x doncf⁰

(

x

) =

e^x etg⁰

(

x

) =

2 Z

x²e^xdx

=

f

(

x

)

g⁰

(

x

) −

Z

f

(

x

)

g⁰

(

x

)

dx

=

2xe^x

−

Z

2e^xdx Donc

Z

x²e^xdx

=

2xe^x

−

2e^x

+

K, d’où Z

x²e^xdx

=

x²e^x

−

2xe^x

+

2e^x

+

K

= (

x²

−

2x

+

2

)

e^x

+

K

2) Calculer Z

sin(

x

)

e^xdx

On posef

(

x

) = sin(

x

)

,g

(

x

) =

e^x f⁰

(

x

) = cos(

x

)

,g⁰

(

x

) =

e^x Z

sin(

x

)

e^xdx

=

e^x

sin(

x

) −

Z

cos(

x

)

e^xdx

=

e^x

sin(

x

) − (

e^x

cos(

x

) +

Z

e^x

sin(

x

)

dx

)

=

e^x

sin(

x

) −

e^x

cos(

x

) −

Z

sin(

x

)

e^xdx

Donc 2 Z

sin(

x

)

e^xdx

=

e^x

sin(

x

) −

e^x

cos(

x

)

D’où

Z

sin(

x

)

e^xdx

=

¹

2

(sin(

x

) − cos(

x

))

e^x

+

K

Remarque

Pour calculer

Z

P

(

x

) cos(β

x

)

, Z

P

(

x

) sin(β

x

)

ou Z

P

(

x

)

e^αx avecPun polynôme à coefficient réels, on fait des intégration par parties pour diminuer le degré du polynômePjusqu’à sa disparition.

Théorème (Changement de variables)

Soientf

: [

a

,

b

] −→

Rcontinue etϕ

: [α,

β]

−→ [

a

,

b

]

de classeC¹alors Z β

α

f

(ϕ(

t

))ϕ

⁰

(

t

)

dt

=

Z ϕ(β)

ϕ(α)

f

(

x

)

dx

Remarque

Dans la pratique, il suffit d’écrirex

=

ϕ(t

)

etdx

=

ϕ⁰

(

t

)

dt. Sit

=

αalorsx

=

ϕ(α)

Sit

=

βalorsx

=

ϕ(β)

Exemples

1) Calculer

Z 1 0

e^t 1

+

e^2tdt

On posex

=

e^t, on adx

=

e^tdt.

t

=

0 alorsx

=

1 t

=

1 alorsx

=

e Z 1

0

e^t 1

+

e^2tdt

=

Z e 1

1

1

+

x²dx

= [arctan(

x

)]

^e₁

= arctan(

e

) − arctan(

1

)

2) Calculer

Z ^π₂

0

sin

³

(

t

)

dt

I

=

Z ^π₂

0

sin

³

(

t

)

dt

=

Z ^π₂

0

sin

²

(

t

) sin(

t

)

dt

=

Z ^π₂

0

(

1

− cos

²

(

t

)) sin(

t

)

dt On posex

= cos(

t

)

,dx

= − sin(

t

)

dt

I

= −

Z 0

1

(

1

−

x²

)

dx

=

Z 1

0

(

1

−

x²

)

dx

= [

x

−

^x

3

3

]

¹₀

=

1

−

¹ 3

=

²

3

Exemples

1) Calculer

Z ^π₂

0

cos

²

(

t

) sin(

t

)

dt. On posex

= cos(

t

)

,dx

= − sin(

t

)

. Z ^π₂

0

cos

²

(

t

) sin(

t

)

dt

= −

Z 0

1

x²dx

=

Z 1

0

x²dx

= [

^x

3

3

]

¹₀

=

¹ 3. 2) Calculer

Z ^π₂

0

cos

⁵

(

t

)

dt.

Z ^π₂

0

cos

⁵

(

t

)

dt

=

Z ^π₂

0

cos

⁴

(

t

).cos(

t

)

dt

=

Z ^π₂

0

(

1

−

sin²

(

t

))

²

cos

dt. On posex

= sin(

t

)

,dx

= cos(

t

)

dt.

Z ^π₂

0

cos

⁵

(

t

)

dt

=

Z 0

1

(

1

−

x²

)

²dx

=

Z 1

0

(

1

+

x⁴

−

2x²

)

dx

= [

x

+

^x

5

−

2x³

]

¹

=

1

+

¹

−

²

=

⁸