Faculté poly-disciplinaire Filière: SMC-SMP/S2

(1)

Université Cadi Ayyad A.U.: 2019-2020

Faculté poly-disciplinaire Filière: SMC-SMP/S2

Sa Algèbre 2

TD3 Correction

Exercice 1 Soit B =

0 0 1 1

.

1. Pour n = 0, par convention, B

⁰

= I

2

. Pour n ≥ 2, le produit matriciel correspondant fait que B

²

= B. Alors, par récurrence immediate, on a

B

⁰

= I

₂

, , B

ⁿ

= B, pour tout n ≥ 1 .

2. Il n'est pas possible de calculer B

ⁿ

pour tout n ∈ Z , précisement pour n < 0 car B n'est pas inversible (puisque det(B) = 0 ).

3. Le système (S): B

³

X = 0

1 , X = x

y

. est équivuat à BX = 0

1 (car B

³

= B ).

X est une solution de S ssi y + x = 1, l'ensemble de solutions de (S) est {(λ, 1 − λ), λ ∈ R }, c'est la droite déquation y = −x + 1.

Exercice 2 On se propose de résoudre, par la méthode de diagonalisation, l'équation diérentielle suivante:

(E

0

) : 2¨ x + 3 ˙ x − 4x = 0 x(0) = −1

˙

x(0) = 1.

1. Après verication on trouve que la matrice A =

-

³₂

2 1 0

exprime l'équation (E

0

) : 2¨ x + 3 ˙ x − 4x = 0.

2. χ

A

(λ) = λ

²

+ 3

2 λ − 2 . A admet deux valeurs propres simples λ

1

= −3 − √ 41

4 et λ

2

= −3 + √ 41

4 ,

donc A est diagonalisable.

3. Diagonaliser la matrice A

• Vecteurs propres, sous espaces propres: Pour λ = λ

₁

: v

₁

= (λ

₁

, 1), E

₁

= vect(v

₁

) ; Pour λ = λ

2

: v

2

= (λ

2

, 1), E

2

= vect(v

2

) ;

• base de vecteurs propres: On pose B

p

= {v

1

, v

₂

} et note B

_c

= {e

1

, e

₂

} la base canon- ique de R

²

. On a det

B_c

(B

p

) = λ

1

− λ

2

= −

√41

2

6= 0, donc B

p

est libre, comme elle est

de cardinal 2 = dim

_R

( R

²

), il s'ensuit que B

p

est une base de vecteurs propres de

R

²

.

(2)

• matrice de passage: P = P

B_cBp

= mat(Id

_R2

, B

p

, B

c

) =

λ

1

λ

2

1 1

, Formule de changement de base: A

⁰

= P

⁻¹

AP, A

⁰

=

λ

₁

0 0 λ

₂

avec

P

⁻¹

= 1 det(P )

t

(com(P )) = − 2

√ 41

1 −λ

2

−1 λ

1

;

.

4. On pose Y = P

⁻¹

X = y

1

y

2

, y

₁

= αe

^λ¹^t

, α ∈ R et y

₂

= βe

^λ²^t

, β ∈ R . Comme X = P Y, il vient, après avoir eectué le produit matriciel correspondant, que

x(t) = y

1

(t) + y

2

(t) = αe

^λ¹^t

+ βe

^λ²^t

,

avec les conditions initiales on obtient:

α = − 1 + √ 41 2 √

41 ; β = 1 − √ 41 2 √

41 .

5. En utilisant la matrice A, déterminer le terme général de chacune des suites récurrentes (u

_n

, v

_n

) dénies par:

S

_n

:







2u

_n+1

= −3u

_n

+ 4v

_n

; v

n+1

= u

n

u

0

= 1, v

0

= −1.

Remarquons que S

n

⇐⇒ U

n+1

= AU

n

avec U

n

= u

_n

v

_n

. Alors on pose W

n

= P

⁻¹

U

n

=

u ˜

n

˜ v

n

pour voir que

S

n

⇐⇒ W

n+1

= A

⁰

W

n

⇐⇒ u ˜

n

= λ

ⁿ₁

u ˜

0

; ˜ v

n

= λ

ⁿ₂

v ˜

0

. Avec W

0

= P

⁻¹

U

0

, cela fait que

˜

u

0

= − 2

√ 41 (1 + λ

2

) et ˜ v

0

= 2

√ 41 (1 + λ

1

) .

Enn, après retour par le changement de variable U

n

= P W

n

= on obtient:

u

_n

= λ

ⁿ⁺¹₁

u ˜

₀

+ λ

ⁿ⁺¹₂

v ˜

₀

, v

_n

= λ

ⁿ₁

u ˜

₀

+ λ

ⁿ₂

˜ v

₀

.