Analyse - Chapitre 2
Suites numériques - Bilan
I - Généralités
❑ Monotonie.
⋆ Signe deun+1−un(ou comparaison deun+1etun).
⋆ Si (un)n∈Nest positive, comparer un+1
un à 1 : suite croissante siun+1
un ⩾1 et décroissante sinon.
❑ Règles de calcul sur les limites (Somme, produit, inverse, quotient, composée)
❑ Formes indéterminées : ∞ − ∞; 0.∞; ∞
∞; 0
0; 1∞; 00.
❑ Siun −→
n→+∞ℓet sifest une fonction continue enℓ, alorsf(un) −→
n→+∞f(ℓ).
❑ Théorème de prolongement des inégalités à la limite.
⋆ Si (un)n∈Net (vn)n∈Nsont convergentes, alors : (∀n,un⩽vn)=⇒ lim
n→+∞un⩽ lim
n→+∞vn
⋆ Si (un)n∈Net (vn)n∈Nsont convergentes, alors : (∀n,un<vn)=⇒ lim
n→+∞un⩽ lim
n→+∞vn
❑ Théorème des gendarmes (Théorème d’encadrement).
Soient (un)n∈N, (vn)n∈Net (wn)n∈Ntrois suites telles que∀n,vn⩽un⩽wn. Sivnn→+∞−→ ℓetwnn→+∞−→ ℓ, alorsunn→+∞−→ ℓ.
❑ Divergence par minoration.
Soient (un)n∈Net (vn)n∈Ndeux suites telles que∀n,un⩾vn. Si lim
n→+∞vn= +∞, alors lim
n→+∞un= +∞.
❑ Théorème de la limite monotone (utile pour prouver l’existenced’une limite).
⋆ Une suite croissante et majorée (resp. décroissante minorée) est convergente.
⋆ Une suite croissante et non majorée (resp. décroissante non minorée) diverge vers+∞(resp.−∞).
❑ Suites adjacentes, théorème des suites adjacentes.
⋆ Les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nsont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et si leur différence tend vers 0.
⋆ Si (un)n∈Net (vn)n∈Nsont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.
II - Suites classiques
❑ Voir le détail des savoir-faire sur la fiche de résumé.
⋆ Suites arithmétiques.
⋆ Suites géométriques
⋆ Suites arithmético-géométriques.
⋆ Suites récurrences linéaires d’ordre 2 :u0,u1fixés etun+2=aun+1+bun.
⋆ Sommes finies classiques.
⋆ Sommes téléscopiques.
⋆ Croissances comparées.
Analyse - Chapitre 2 –1/2– Suites numériques - Bilan
III - Suites récurrence de type : u
n+1= f (u
n)
❑L’étude préalable de la fonctionfpermet de d’obtenir des résultats sur la suite.
❑Voir le détail des savoir-faire sur la fiche de résumé.
⋆ Définition de la suite.
⋆ Encadrement (majoration, minoration) de la suite.
⋆ Variations de la suite.
– Par étude du signe def(x)−x.
– Sif est croissante : par récurrence avecP(n) :un+1<unouP(n) :un+1>un.
⋆ Convergence de la suite.
– Par théorème des gendarmes.
– Par le théorème de la limite monotone.
⋆ Les limites possibles de la suite sont solutions de l’équationf(x)=x.
⋆ Utilisation de l’IAF.
IV - Suites implicites de type : f
n(x) = C ou f (x) = c
n❑Deux types de suites implicites.
⋆ xnunique solution de l’équationfn(x)=CavecCconstante.
La fonctionfndépend den, la constanteCne dépend pas den.
⋆ xnunique solution de l’équationf(x)=cn.
La fonctionfne dépend pas den, la constantecndépend den(souventcn=noucn=1/n).
❑Voir le détail des savoir-faire sur la fiche de résumé.
⋆ Existence de la suite par le théorème de la bijection monotone.
⋆ Encadrement de la suite : on raisonne sur les images en utilisant la relationfn(x)=Couf(x)=cn.
⋆ Monotonie de la suite : on raisonne sur les images en utilisant la relationfn(x)=Couf(x)=cn.
⋆ Convergence de la suite.
– Par théorème des gendarmes.
– Par le théorème de la limite monotone.
⋆ Limite de la suite en utilisant la relationfn(x)=Couf(x)=cn.
V - Suites définie par une intégrale du type : I
n= Z
ba
f
n(t) dt
❑Existence de la suite.
⋆ Sifn(t) est continue sur [a,b] (fermé), alorsInexiste.
⋆ SiInest impropre, alorsInexiste ssi l’intégrale est convergente.
❑Variations de la suite par l’étude du signe deIn+1−In= Zb
a
fn+1(t)−fn(t) dt.
⋆ On travaille sur l’intégrande : signe defn+1(t)−fn(t).
⋆ On intègre en vérifiant l’ordre des bornes (a<b).
❑Encadrement de la suite
⋆ On travaille sur l’intégrande : on encadre d’abordfn(t).
⋆ On intègre en vérifiant l’ordre des bornes (a<b).
❑On peut souvent obtenir une relation de récurrence entreIn+1etInpar une IPP.
❑Convergence de la suite.
⋆ Par théorème des gendarmes.
⋆ Par le théorème de la limite monotone.
Analyse - Chapitre 2 –2/2– Suites numériques - Bilan
