Chapitre 17 : Primitives et intégrales 1 Primitive

Chapitre 17 : Primitives et intégrales 1 Primitive

Soitf une fonction continue et positive sur[a;b]; la fonctionF définie sur[a;b]parF(x) = Z ^x

a

f(t)dt . . . . . . . .

Théorème

Démonstration dans le cas oùf est croissante

Pour toutx∈[a;b]eth >0, . . . . OrF(x+h)−F(x) =

Z ^x+h a

f(t)dt− Z ^x

a

f(t)dt= Z ^x+h

a

f(t)dt+ Z ^a

x

f(t)dt= Z ^x+h

x

f(t)dt AinsiF(x+h)−F(x)est . . . .

. . . . On sait quef est croissante sur[a, b].

On a donc . . . . . . . .

Puisque la fonction f est continue, lim

h→0f(x+h) =. . . .

donc, d’après le théorème des gendarmes,

. . . . . . . . . . . .

Soitfune fonction continue sur un intervalleI.

On dit qu’une fonctionF est une primitive de la fonctionf surI si . . . . . . . .

Définition

"F est une primitive defsurI" a le même sens que . . . .

Exemple

• f(x) = 2a pour primitiveF(x) =. . . sur^R. • g(x) = 1

2√x a pour primitiveG(x) =. . . sur^R.

Toute fonction continue . . . . Théorème

Démonstration dans le cas oùI = [a;b].

Sifest positive, . . . .

Sinon, on admet quefa un minimummsur[a;b]et on défini une fonctiongsur[a;b], parg(x) =f(x)−m;

gest . . . . . . . .

Si la fonctionF est une primitive de la fonctionf surI, . . . . . . . .

Théorème

Toutes les primitives de f sur I sont les fonctions G définies surI parG(x) = F(x) +c où c est un nombre réel

quelconque.

Soit f une fonction continue sur un intervalleI,x0 un réel appartenant à I ety0 un réel donné quelconque ; . . . . . . . .

Théorème

Démonstration

SiGest une primitive quelconque, alors toutes les primitives def sont les fonctionsFdéfinies surIpar . . . . . . . .

En particulier, siI = [a;b]et siF est la fonction définie sur[a;b]parF(x) = Z ^x

a

f(t)dtalorsF . . . . . . . .

Détermination des primitives d’une fonction

On cherche dans le tableau des dérivées usuelles en le lisant de droite à gauche et on utilise les résultats suivants :

•siF est une primitive def surI et siGest une primitive degsurI alorsF +Gest une primitive def +gsurI.

•siF est une primitive def surI et sikest un nombre réel quelconque alorskFest une primitive dekf surI.

Primitives des fonctions usuelles

Pour chacune des fonctionsf suivantes, la fonctionF est une primitive def sur l’intervalleI donné :

Fonctionf IntervalleI PrimitiveF

f(x) =a aveca∈^R I =^R . . . . f(x) =xⁿ avecn∈^N∗ I =^R . . . .

f(x) = 1

x² I =]− ∞; 0[ ou I =]0 : +∞[ . . . . f(x) = 1

√x I =]0 : +∞[ . . . .

f(x) =e^x I =^R . . . .

f(x) = 1

x I =]0 : +∞[ . . . .

f(x) = cosx I =^R . . . .

f(x) = sinx I =^R . . . .

Fonctions composées : on suppose queuest une fonction dérivable sur un intervalleJ, dérivable et strictement positive sur un intervalleK.

Fonctionf IntervalleI PrimitiveF

f(x) = cos(ax+b) aveca6= 0 I =^R . . . . f(x) = sin(ax+b) aveca6= 0 I =^R . . . . f =u^′×uⁿ avecn∈^N∗ I =J . . . .

f = u^′

√u I =K . . . .

f =u^′e^u I =J . . . .

f = u^′

u I =K . . . .

2 Liens Primitives-Intégrales

Soitf une fonction continue et positive sur[a;b]etF une primitive def sur[a;b].

Alors . . . . On note :

. . . . Propriété

Démonstration

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . On généralise la notion d’intégrale :

Soitf une fonction continue sur un intervalleI,aetbdeux réels quelconques deI etF une primitive def sur

I.

. . . . On note :

. . . . Définition

Exemple

Pourx >0,

Z ^x

1

1

tdt= lnx−ln 1 = lnx

[F(x)]^ba=F(b)−F(a) Notation

Conséquence

On peut donc réécrire la définition de cette façon : Z ^b

a

f(x)dx= [F(x)]^ba=F(b)−F(a)

Exemple

Z ¹

0

x²dx=

Remarque

Toutes les propriétés vues sur les intégrales (dans un chapitre précédent : linéarité, relation de Chasles, inégalités, bornes) peuvent se démontrer avec la définition vue plus haut.

Exercice :Soientf etgdeux fonctions continues sur un intervalleI,a,betcdes éléments deI. Soitλ∈R. Compléter et démontrer les propriétés ci-dessous à l’aide de la nouvelle définition :

Z ^b

a

f(x)dx=F(b)−F(a)où F est une primitive de f surI

Linéarité Bornes de l’intégrale

Z ^b

a

(f+g)(x)dx=

. . . .

Z ^b

a

λf(x)dx=

. . . .

Z ^a

a

f(x)dx=. . .

Z ^a

b

f(x)dx=

. . . .

Démonstration : Démonstration : Démonstration : Démonstration :

Positivité Relation d’ordre Relation de Chasles

Sif(x)≥0sur[a;b]

Z ^b

a

f(x)dx≥. . . .

Sif(x)≤g(x)sur[a;b]

Z ^b

a

f(x)dx≤. . . .

Z ^b

a

f(x)dx=

. . . .

Démonstration : Démonstration :Aide : considérer la

fonctionh=g−f.

Démonstration :