(6 points) Pour chaque fonction suivante, d´eterminer une primitive F de f sur [1

TES 1 DST 6 Correction 27 mars 2015 Exercice 1 : Calcul de primitive . . . (6 points) Pour chaque fonction suivante, d´eterminer une primitive F de f sur [1; 5]

puis la primitiveGdef sur [1; 5] tel que G(3) = 1 (1) F(x) = ¹₃x³−⁵₂x²+ 3x.G(x) = ^x₃³−^5x₂² + 3x+ 5,5.

(2) F(x) = ^x₂² −5x+ lnx.G(x) = ^x₂² −5x+ lnx−ln 3 + 11,5 (3) F(x) =−2e^−0,5x etG(x) =−2e^−0,5x+ 2e^−1,5+ 1

(4) F(x) = ¹₂ln²x F(x) = ¹₂ln²x−¹₂ln²3 + 1

Exercice 2 : Probl`eme . . . (14 points) Partie A

1. f(2) = 0 etf⁰(0) = 0 (tangente horizontale).

2. f⁰(x) =−e^ax+ (b−x)ae^ax= e^ax(−ax+ab−1).

3. f(2) = (b−2)e^2a et f⁰(0) =−1 +ba. Comme d’autre part f(2) = 0 et f⁰(0) = 0, on a bien le syst`eme

4.

b−2 = 0 ab−1 = 0 ⇔

b = 2 a = ¹₂

Partie B

1. (a) Il faut hachurer entre 0 et 2 sous la courbe (b) On a 26

Z 2

0

f(x)dx64. Un carreau correspond `a une unit´e d’aire.

On voit qu’un carreau est enti`erement remplie et que deux autres sont remplies `a plus de la moiti´e. D’autre part le carr´e de cˆot´e de n’est pas remplie.

2. (a) F⁰(x) =−20,5x + (−2x+ 8)×0,5e^0,5x= e^0,5x(−x+ 2) =f(x) donc F est bien une primitive def.

(b) Z 2

0

f(x) dx=F(2) =F(0) = 4e−8. `A 10<sup>−2</sup>pr`es, on a 2,87

3. La valeur moyenne de la fonction est ¹₂ Z 2

0

f(x)dx= 4e−8 2

4. On observe graphiquement le signe def. On remarque quef est positive sur ]− ∞; 2[ et n´egative sur ]2; +∞[. Une primitiveG de f doit donc ˆ

etre croissante sur ]− ∞; 2[ et d´ecroissante sur ]2; +∞[. Seule la courbe C3 v´erifie ¸ca.