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Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2 Objectifs.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2 Objectifs.

Niveau débutant Sf avec superv Sf sans superv Sf et expliquer

C1.a 1 Savoir mener un raisonnement par récurrence.

C1.b 1 Savoir déterminer une limite en utilisant la définition

C1.c 1 Savoir démontrer que si un< vn à partir d'un certain rang et si lim

n→+∞

un = +∞, alors lim

n→+∞

vn = +∞.

C1.d 1 Savoir étudier les limites d'une somme, d'un produit

et d'un quotient de deux suites.

C1.e 1 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique.

C1.f 2 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une somme

de termes d'une suite géométrique.

Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012

Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.

On considère la suite définie par

{

un+1=uu0n=1+2n−1 1. Calculer les trois premiers termes de la suite.

…...

...

...…

2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u0 à u11 …...

...

...

...

...

...

..…

3. Représenter graphiquement page suivante l'ensemble des points (n; un) pour n [0;11]

:

(2)

4. Conjecturer l’expression de un en fonction de n.

Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de n

(par exemple : n = 100, n=

557 …)

...…

...…

...…

...…

...…

...…

...…

...…

5. On définit, pour tout entier n, la propriété P au rang n par : un=(n – 1)2.

a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété P ?

…...

…...

b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que :

« si P est vraie au rang n, alors P est aussi vraie au rang n+1» (on dit que P est héréditaire) :

…...

…...

...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

c. Démontrer que P est vraie au rang 0.

…...

…...

…...

…...

d. On sait maintenant que P est vraie au rang 0, et que, si P est vraie au rang n, alors P est aussi vraie au rang n+1.

(3)

i. Que peut-on en déduire pour la propriété P au rang 1, et pourquoi ?

…...

…...

…...

…...…

ii. Que peut-on en déduire pour la propriété P au rang 2, et pourquoi ?

…...

…...

…...

…...…

iii. De façon plus générale, que peut-on en déduire pour la propriété P au rang

n, et que quelles sont les deux arguments que l’on doit mentionner pour le justifier?

…...

…...

…...

…...…

Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement par récurrence (suite)

On considère la suite définie par

{

un+1=uu0n=2+2n−1

1. On définit, pour tout entier n, la propriété P au rang n par : un=(n – 1)2. Conjecture-t- on toujours que, pour tout entier n, P est vraie ? Argumenter.

…...

...

...

2. Démontrer que P est cependant toujours héréditaire.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?

…...

...

(4)

Cours n°1

Chapitre n°1 : Suite, partie 1/2

Remarque :

Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)

I) Le raisonnement par récurrence Définition n°1 :

On dit que la propriété P est héréditaire à partir du rang n0 si elle possède la propriété : quelque soit l'entier n supérieur ou égal à n0 choisi, si …... est vraie alors

…...

...…

(i.e. : si la propriété est vraie au rang n, alors elle est

………..)

La propriété Pau rang n s'appelle l'hypothèse ………..

Axiome de récurrence :

Si la propriété P est vraie au rang n0 (initialisation) et si la propriété P est héréditaire à partir de n0, alors

…...

...………..

Remarques :

a. L’entier n0 , rang initial est souvent 0 ou 1, mais pas toujours.

b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes :

l’i………., l’h………. de la propriété et la c……….

c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pour autant être vraie. Par exemple, pour n entier naturel, la propriété : « (10n+1) est divisible par 9 » est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.

Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)

Démontrer l'assertion suivante : Soit a un réel strictement positif. Alors, pour tout n

entier naturel, (1+a)n 1 + na.

1) I... :

…...

...

...

...

...

2) H... :

…...

...

(5)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

3) C... :

…...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Se tester – Test n°1

Démontrer l'assertion suivante :

Soit b un réel strictement positif. Alors, pour tout entier naturel n ,(1+b)n 1+nb :

…...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(6)

…...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Interrogation n°1 Objectifs

C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.

Remarques importantes :

Pour le cours suivant, la quantité de travail minimum permettant d’assimiler le cours est de 4 exercices de base.

Un exercice avec une étoile correspond à 2 exercices de base, un exercice avec 2 étoiles correspond à 3 exercices de base, etc.

Toute réponse doit être justifiée, dans la mesure du possible.

Exercice n°1

On considère la propriété : « 5n – 2 est un multiple de 3, pour tout n N».

a. Cette propriété est-elle vraie au rang 1 ? b. Cette propriété est-elle héréditaire ? c. Conclure.

Exercice n°2

On considère la suite (wn) définie par w0 = 0 et wn = - 1

9wn-1 + 10 pour tout n  N*. Montrer que , quelque soit n  N*, 1 ≤ wn ≤ 10.

Exercice n°3*

On considère la suite (vn) définie par v0 = 3 et vn+1= 8vn−2

2vn+1 pour tout n  N*. 1. Soit f la fonction définie par f(x) = 8x− 2

2x+ 1. Étudier les variations de f. 2. En déduire que, sur [1;+ ∞[, f(x) ≥ 2.

3. Démontrer alors que, pour tout n  N*, vn ≥ 1

4. Étudier les variations de la suite vn.

Activité d'approche n°3 : Convergence ou non

Un éditeur veut faire paraître un nouveau magazine mensuel intitulé «SESAMATH »,

(7)

sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lorsque le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8000 la première année, que le taux de

réabonnement serait de 80 % et que chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.

n étant un entier naturel non nul, on note, dans cette activité, an le nombre d’abonnés à l’année n. On suppose que : a1 = 8000.

1. Estimation

À l’aide d’un tableur, a. Déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de an et en colonne C le résultat arrondi à l’entier.

…...…..

...…

...

…...…

...…

...…....

…...…

...…..

...…

...…

...…

...…

...…

...

b. Représenter

graphiquement le nombre d’abonnés en fonction de l’année.

Sur tablette, on utilisera le logiciel WPS. La recopie d'un contenu se fait de la façon suivante :

1) taper sur la cellule à recopier.

2) Taper sur ‘Remplir’.

3) Taper sur ‘Remplissage par glissement’.

4) Sélectionner une flèche et la trainer.

c. Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.

…...…...

…...…...

…...…...

…...

d. Le magazine semble-t-il pérenne ?

…...

...

2. Point de vue mathématique

Dans cette partie, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1.

(8)

a. Expliciter une relation entre an+1 et an.

…...

…...

b. On définit, pour tout n entier naturel non nul, la suite (bn) par bn = an – 3000. Montrer que la suite (bn) est géométrique, puis déterminer les éléments

caractéristiques de cette suite ainsi qu’une formule explicite de bn.

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

c. En déduire, pour tout entier naturel n non nul, an en fonction de n.

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

(9)

d. Justifier que la suite (an) est strictement décroissante et qu’elle est minorée par 3000.

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

e. La suite (an) peut-elle atteindre 3000 ? Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autant an = 3000, à partir d’un certain rang ?

…...

…...

…...

…...

…...

…...

(10)

f. Écrire un algorithme permettant de savoir à partir de quel rang (an - 3000)0,5.

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

g. Pour ou contre ? Commenter la phrase suivante : « Tout intervalle contenant 3000 contient toutes les valeurs an, à partir d’un certain rang ».

…...

…...

…...

…...

…...

…...

(11)

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

h. Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine

« SESAMATH ».

…...

…...

…...

…...

…...

…...

Exercice n°4***

Soit n ≥ 1 et un = 6

n.

1. A partir de quel rang a-t-on 0 < un< 0,01 ? 2. A partir de quel rang a-t-on 0 < un< 0,001 ?

3. On choisit arbitrairement un réel a strictement positif. A partir de quel rang, en fonction de a, a-t-on 0 < un< a ?

4. Qu’a-t-on démontré à la question 3 ?

Cours n°2 II) Limite finie d'une suite

Définition n°2

La suite (un) admet pour limite le nombre réel

l

si, quand on choisit un intervalle ouvert I

contenant

l

, il existe toujours un n0 à partir duquel

…...

…...

…...

…...

À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de l.

Notation

On dit que la suite (un) converge vers

l

et on note : …...

…...

Remarque :

(12)

Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞, soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non - Exemple : (-1)n)

Exemple n°2 :

Soit la suite (un) définie par un= 5

n2. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que un converge et que

l

= ...

Soit un intervalle ouvert du type ]-a;+a[ , a étant un réel strictement positif.

Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5 n2<a :

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

Conclusion :

…...

…...

…...

…...…

Exemple n°3

Soit la suite (vn) définie par vn+1= 5

vn. et v0=−1. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que vn …...

Démonstration par récurrence :

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

(13)

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

III) Limite infinie d'une suite

Définition n°3

La suite (un) admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[, il existe toujours un n0 à partir duquel ...………...

...

...

...

Exemple n°4

Soit la suite (wn) définie par wn+1=5+n2. Déterminer la limite de cette suite.

Intuitivement, on voit que wn …...

Soit un intervalle ouvert du type ]A;+∞[ , A étant un réel quelconque strictement plus grand que 5.

Cherchons à partir de quel rang n0 on aura 5+n2>A :

…...

…...

…...

…...

…...

(14)

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

Conclusion :

…...

…...

…...

…...

…...

Se tester – Test n°2 Ex.n°1 (/3) :

Soit la suite (un) définie par un= 9

n² pour tout n de* . 1. Quelle semble être la limite de cette suite ?

…...

…...

2. Démontrer cette affirmation en utilisant la définition des limites : en

déterminant à partir de quel rang n0un est dans l'intervalle ]-a;a[, a étant un réel positif quelconque que l'on a choisi.

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

Ex.n°2 (/2)

(15)

Soit la suite (vn) définie par vn+1=3

vn et v0=−1.Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

...

Ex.n°3 (/3)

Soit la suite (wn) définie pour tout n deℕ* par wn = 9 + 4n2. 1. Quelle semble être la limite de cette suite ?

…...

2. Démontrer cette affirmation en utilisant la définition des limites : en

déterminant à partir de quel rang n0 wn est dans l'intervalle ]A;+∞ [, A étant un réel positif quelconque que l'on a choisi.

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

Conclusion :

…...

(16)

…...

…...

…...

…...

…...

Interrogation n°2 Objectifs

C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.

C1.b_Niv2:Savoir déterminer une limite en utilisant la définition.

Exercice n°5***

Soit n ≥ 3 et un = −2 2n−1.

1. A partir de quel rang a-t-on -0,01 < un< 0 ? 2. A partir de quel rang a-t-on -0,001 < un< 0 ?

3. On choisit arbitrairement un réel a strictement négatif. A partir de quel rang, en fonction de a, a-t-on a < un< 0 ?

4. Qu’a-t-on démontré à la question 3 ?

Activité d'approche n°4 : opérations sur les suites

1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants : Somme de deux suites

un vn lim

n→+∞un n→+∞lim vn un+vn n→+∞lim un+vn

2n² – n²

n² – n²

n+1

n – n

n²1 2n²

Produit de deux suites

un vn lim

n→+∞

un lim

n→+∞

vn

unvn lim

n→+∞

unvn

2n² 1

n

n² 2

n2

3n 1

n2

Quotient de deux suites

un vn lim

n→+∞

un lim

n→+∞

vn un

vn lim

n→+∞

un vn

2n² n

n² −n²

(17)

n −n² 1

n

1

n2

1 n2

1

n2

1 n2

1

n

2. Généralisation

On considère deux suites (un) et (vn). On connaît les limites de ces deux suites. L

et L’ sont des nombres réels.

1. Addition : étude de lim

n→ ∞ (un+vn)

lim

n→∞ un lim

n→∞vn

L +∞ – ∞

L ' ... ... ...

+∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

2. Produit : étude de lim

n→ ∞ (un×vn)

lim

n→∞

un lim

n→∞

vn L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞

L '<0 ... ... ... ... ...

L '>0 ... ... ... ... ...

L '=0 ... ... ... ... ...

+∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

3. Quotient

On suppose que pour tout entier naturel n, vn est différent de zéro. On étudie lim

n→ ∞

un vn

(18)

lim

n→∞ un lim

n→∞

vn

L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞

L '<0 ... ... ... ... ...

L '>0 ... ... ... ... ...

L '=0 ... ... ... ... ...

+∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Cours n°3 IV) Opérations sur les limites

Propriété n°1 Si lim

n→ +∞

un=+∞ et un0 à partir d'un certain rang, alors lim

n→ +∞

1 un=.... Si lim

n→ +∞

un=−∞ et un0 à partir d'un certain rang, alors lim

n→ +∞

1 un=....

Démonstration : Si lim

n→ +∞

un=+∞, quelque soit le nombre A positif choisi, il existe n0 tel que, quelque soit n>n0, un>A.

Donc, il existe n0 tel que, quelque soit n>n0, 1 un... 1

A.

Donc, si l'on choisit un nombre quelconque a, il suffit de prendre A= ....

.... : il y aura un rang à partir duquel un>A(à cause de ...…….….) , et donc à partir duquel 1

un.... 1

A soit 1 un<a. Donc lim

n→ +∞

1 un=0.

Propriété n°2 : somme de limites lim

n→∞

un lim

n→∞

vn

L +∞ – ∞

L ' ... ... ...

+∞ ... ... ...

– ∞ ... ... ...

(19)

Propriété n°3 : produit de limites : étude de lim

n→ ∞ (un×vn)

lim

n→∞ un lim

n→∞

vn

L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞

L '<0 ... ... ... ... ...

L '>0 ... ... ... ... ...

L '=0 ... ... ... ... ...

+∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Propriété n°4 : quotient de limites

On suppose que pour tout entier naturel n, vnest différent de zéro. On étudie lim

n→ ∞

un vn lim

n→∞ un lim

n→∞vn

L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞

L '<0 ... ... ... ... ...

L '>0 ... ... ... ... ...

L '=0 ... ... ... ... ...

+∞ ... ... ... ... ...

– ∞ ... ... ... ... ...

Exemple n°5 :

Soit un= –2n25n. Déterminer lim

n → + ∞

un

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…... ...

...

Exemple n°6 :

Soit vn= –2n2 +5n. Déterminer lim

n → + ∞

vn

...

…...

…...

(20)

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

Exemple n°7 : Soit wn= n2 1

n . Déterminer lim

n → + ∞

wn

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...…

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

…...

Se tester – Test n°3 Ex.n°1 :

Soit la suite définie pour tout n de, par un=2n2+7n et u0=0. Déterminer lim

n→ + ∞

un ...

(21)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Ex.n°2 :

Soit la suite définie pour tout n de, par vn=5n2+2n et v0=0. Déterminer lim

n → + ∞

vn ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Ex.n°3 :

Soit la suite définie pour tout n deℕ*, par wn=n2−2

3n . Déterminer lim

n→ + ∞

wn

...

...

... ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(22)

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Interrogation n°3 Objectifs

C1.c_Niv1 :Savoir calculer des limites en utilisant les opérations

Exercice n°6 Ex.13 p.22 Ex.14 p.22 Exercice n°7

Ex.69 p.26 Exercice n°8*

1. Montrer que, pour tout réel k>0, lim

n→ +∞

n+k = + ∞.

2. Conjecturer lim

n→ +∞n+6-lim

n→ +∞

n

3. Peut-on justifier la conjecture précédente avec les propriétés sur les opérations sur limites ?

4. Montrer que n+6 – n = 6

n+6+n

5. Conclure.

Exercice n°9***

On considère la suite définie par u0 = 1

2 et, pour tout entier n, un+1 = 5un 1+2un.

1.a. Calculer u1 et u2.

b. Démontrer que, pour tout entier n, le terme un est strictement positif.

2. a. Démontrer que, pour tout entier b,un<1. b. Démontrer que la suite (un) est croissante.

3. Soit (vn) la suite définie, pour tout n, par vn = un 1−1

2un

.

a. Montrer que la suite vn est géométrique. Donner sa raison.

b. Exprimer, pour tout entier n, vn en fonction de n.

(23)

c. En déduire, pour tout entier n, l’expression de un en fonction de n. d. Déterminer la limite de la suite (un)

Cours n°4 V) Limites et comparaison de suites

Propriété n°5 :

1. Si (un) et (vn) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n1, vnun, et lim

n → + ∞

un= +∞, alors …...

2. Si (un) et (vn) sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang n1, vnun, et lim

n → + ∞

un= −∞

, alors …...

Démonstration (exigible) :

Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel A, on a lim

n → + ∞

un= +∞ . Donc il existe un

rang n0 à partir duquel .…..…..…………..……….………….……..………….

De plus, à partir d'un certain rang n1,

...

Donc, choisissons un rang n2 = ...………

Alors …...…

Donc : …...…

Le 2 se démontre de façon équivalente.

Exemple n°8 :

Soit la suite (vn) définie par vn=2n + 1 + sinn. Déterminer lim

n → + ∞

vn.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...………….

(24)

Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes » Si (un),(vn) et (wn) sont trois suites telles que, à

partir d'un certain rang n1, unvnwn , et lim

n → + ∞

un=lim

n → +∞

wn=L, alors

…...…..

…...…

....………..

La démonstration utilise le même principe que la démonstration précédente.

Exemple n°9 :

Soit la suite (vn) définie par vn=sin n

n . Déterminer

lim

n→ + ∞

vn.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

Propriété n°7 (admise)

Une suite croissante et majorée …...………...

Une suite …... et minorée …...………..

Exemple n°10

Soit la suite (Sn) définie par :

(25)

Sn =

k=1 k=n 1

k2.

1. Démontrer que (Sn) est croissante.

...

...

...

...

...

2. Démontrer que, pour tout n entier naturel, Sn < 2 – 1 n.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…..……..….….….….…...….….….…...….….….…....….….…..…...….….….….….…...…..

3. En déduire que (Sn) est convergente.

...

...

...

...

...

...

...

...

...………..

Se tester – Test n°4 Ex.n°1 (/3) :

Soit la suite (vn) définie par vn=9n+1+sin n

9 . Déterminer lim

n→ + ∞

vn.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(26)

...

...

...

...

...

...

...

Ex.n°2 (/3) :

Soit la suite (vn) définie par vn= 2 sinn

9n . Déterminer lim

n → + ∞

vn.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Interrogation n°4 Objectifs

C1.d_Niv1 :Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur les suites Exercice n°10*

Ex.18 p.22 Ex.19 p.22 Exercice n°11*

Ex.71 p.26

Cours n°5 VI) Limite des suites géométriques

Propriété n°8

Soit q la raison d'une suite géométrique : a. Si q-1 alors lim

n → + ∞

qn.... b. Si -1<q<1 alors lim

n → + ∞

qn.... c. Si q=1 alors lim

n→ + ∞

qn.... d. Si q>1 alors lim

n→ + ∞

qn....

Démonstration (exigible) : On ne démontre que le d.

(27)

...

...

...

...………...

...

...

...

...………...

...

...

...

...………...

Exemple n°11 :

Soit la suite (wn) définie par wn=2

3n . Étudier la convergence de (wn).

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…….….…….….…….…….….…….….….…….….…….….…….….…….

Exemple n°12 :

Soit la suite (un) définie par un= −3(√2)n. Étudier la convergence de (un).

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°13 :

Soit la suite (vn) définie par vn=(−3)n

5 . Étudier la convergence de (vn).

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°14 :

(28)

Soit la suite (zn) définie par zn=

p=0 n−1

qp . Étudier la convergence de (zn) en fonction de

q.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

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...

...

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...…

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...

Se tester – Test.n°5 Ex.1 [/4 – pr:2, dem:2 ]

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