– ∞ ... ... ... ... ...
Cours n°3 IV) Opérations sur les limites
Propriété n°1 Si lim
n→ +∞
un=+∞ et un≠0 à partir d'un certain rang, alors lim
n→ +∞
1 un=.... Si lim
n→ +∞
un=−∞ et un≠0 à partir d'un certain rang, alors lim
n→ +∞
1 un=....
Démonstration : Si lim
n→ +∞
un=+∞, quelque soit le nombre
A
positif choisi, il existen
0 tel que, quelque soitn>n
0, un>A.Donc, il existe
n
0 tel que, quelque soitn>n
0, 1 un... 1A.
Donc, si l'on choisit un nombre quelconque
a
, il suffit de prendreA= ....
....
: il y aura un rang à partir duquel un>A(à cause de ...…….….) , et donc à partir duquel 1un.... 1
A soit 1 un<a. Donc lim
n→ +∞
1 un=0.
Propriété n°2 : somme de limites lim
n→∞
un→ lim
n→∞
vn
L +∞ – ∞
L ' ... ... ...
+∞ ... ... ...
– ∞ ... ... ...
Propriété n°3 : produit de limites : étude de lim
n→ ∞
(
un×vn)
lim
n→∞ un→ lim
n→∞
vn
L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞
L '<0 ... ... ... ... ...
L '>0 ... ... ... ... ...
L '=0 ... ... ... ... ...
+∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Propriété n°4 : quotient de limites
On suppose que pour tout entier naturel
n
,v
nest différent de zéro. On étudie limn→ ∞
un vn lim
n→∞ un→ lim
n→∞vn
L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞
L '<0 ... ... ... ... ...
L '>0 ... ... ... ... ...
L '=0 ... ... ... ... ...
+∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Exemple n°5 :
Soit
u
n= –2n
2– 5n
. Déterminer limn → + ∞
un
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…... ...
...
Exemple n°6 :
Soit
v
n= –2n
2+ 5n
. Déterminer limn → + ∞
vn
...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
Exemple n°7 : Soit
w
n= n
2– 1
n
. Déterminer limn → + ∞
wn
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
Se tester – Test n°3 Ex.n°1 :
Soit la suite définie pour tout
n
deℕ, par un=–5n2 – 9n et u0=0. Déterminer limn → + ∞
un ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.n°2 :
Soit la suite définie pour tout
n
deℕ, par vn=– n2+n et v0=0. Déterminer limn→ + ∞
vn ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.n°3 :
Soit la suite définie pour tout
n
deℕ*, par wn=n−36n2 . Déterminer lim
n→ + ∞
wn
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°3 Objectifs
C1.c_Niv1 :Savoir calculer des limites en utilisant les opérations
Exercice n°6 Ex.13 p.22 Ex.14 p.22 Exercice n°7
Ex.69 p.26 Exercice n°8*
1. Montrer que, pour tout réel
k>0, lim
n→ +∞
√ n+ k = + ∞
.2. Conjecturer lim
n→ +∞
√
n+4- lim
n→ +∞
√ n
3. Peut-on justifier la conjecture précédente avec les propriétés sur les opérations sur limites ?
4. Montrer que
√
n+4 –√
n = 4√
n+4+√
n5. Conclure.
Exercice n°9***
On considère la suite définie par
u
0= 1
2
et, pour tout entiern
,u
n+1= 7 u
n1+ 2 u
n.1.a. Calculer
u
1 etu
2.b. Démontrer que, pour tout entier
n
, le termeu
n est strictement positif.2. a. Démontrer que, pour tout entier
b, u
n<1
. b. Démontrer que la suite(u
n)
est croissante.3. Soit
(v
n)
la suite définie, pour toutn
, parv
n= u
n1− 1
3 u
n.
a. Montrer que la suite
v
n est géométrique. Donner sa raison.b. Exprimer, pour tout entier
n
,v
n en fonction den
.c. En déduire, pour tout entier
n
, l’expression deu
n en fonction den
. d. Déterminer la limite de la suite(u
n)
Cours n°4 V) Limites et comparaison de suites
Propriété n°5 :
1. Si (un) et
(v
n)
sont deux suites telles que, à partir d'un certain rangn
1, vnun, et limn → + ∞
un= +∞, alors …...
2.
Si (u
n) et(v
n)
sont deux suites telles que, à partir d'un certain rangn
1, vnun, et limn → + ∞
un= −∞
, alors …...
Démonstration (exigible) :
Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel A, on a lim
n → + ∞
un= +∞ . Donc il existe un
rang
n
0 à partir duquel .…..…..…………..……….………….……..………….De plus, à partir d'un certain rang
n
1,...
Donc, choisissons un rang
n
2 = ...………Alors …...…
Donc : …...…
Le 2 se démontre de façon équivalente.
Exemple n°8 :
Soit la suite
(v
n)
définie parv
n=2n + 1 + sinn
. Déterminer limn → + ∞
vn.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...………….
Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes » Si (u
n),(v
n)
et(w
n)
sont trois suites telles que, àpartir d'un certain rang
n
1, unvnwn , et limn → + ∞
un=lim
n → +∞
wn=L, alors
…...…..
…...…
....………..
La démonstration utilise le même principe que la démonstration précédente.
Exemple n°9 :
Soit la suite
(v
n)
définie par vn=sin nn . Déterminer
lim
n→ + ∞
vn.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
Propriété n°7 (admise)
Une suite croissante et majorée …...………...
Une suite …... et minorée …...………..
Exemple n°10
Soit la suite
(S
n)
définie par :S
n= ∑
k=1 k=n 1
k2.
1. Démontrer que
(S
n)
est croissante....
...
...
...
...
2. Démontrer que, pour tout
n
entier naturel,S
n< 2 – 1 n
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…..……..….….….….…...….….….…...….….….…....….….…..…...….….….….….…...…..
3. En déduire que
(S
n)
est convergente....
...
...
...
...
...
...
...
...………..
Se tester – Test n°4 Ex.n°1 (/3) :
Soit la suite
(
vn)
définie par vn=–6n+1+sin n8 . Déterminer lim
n → + ∞
vn.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.n°2 (/3) :
Soit la suite
(
vn)
définie par vn= 7sin n3n
. Déterminer lim
n → + ∞
vn.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°4 Objectifs
C1.d_Niv1 :Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur les suites Exercice n°10*
Ex.18 p.22 Ex.19 p.22 Exercice n°11*
Ex.71 p.26
Cours n°5 VI) Limite des suites géométriques
Propriété n°8
Soit q
la raison d'une suite géométrique : a. Siq-1
alors limn → + ∞
qn.... b. Si
-1<q<1
alors limn → + ∞
qn.... c. Si
q=1
alors limn→ + ∞
qn.... d. Si
q>1
alors limn→ + ∞
qn....
Démonstration (exigible) : On ne démontre que le d.
...
...
...
...………...
...
...
...
...………...
...
...
...
...………...
Exemple n°11 :
Soit la suite
(w
n)
définie par wn=23n . Étudier la convergence de
(w
n)
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…….….…….….…….…….….…….….….…….….…….….…….….…….
Exemple n°12 :
Soit la suite
(u
n)
définie par un= −3(√
2)n. Étudier la convergence de(u
n)
....
...
...
...
...
...
...
Exemple n°13 :
Soit la suite
(v
n)
définie par vn=(−3)n5 . Étudier la convergence de
(v
n)
....
...
...
...
...
...
...
Exemple n°14 :
Soit la suite
(z
n)
définie par zn=∑
p=0 n−1
qp . Étudier la convergence de
(z
n)
en fonction deq
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...…
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester – Test.n°5 Ex.1 [/4 – pr:2, dem:2 ]
Soit q
la raison d'une suite géométrique : 1. Si q -1 alors limn→ + ∞
qn.... 2. Si q=1 alors lim
n → + ∞
qn.... 3. Si -1<q<1 alors lim
n → + ∞
qn.... 4. Si q>1 alors lim
n → + ∞
qn....
Démonstration (exigible) : Démontrer le cas
q>1
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.2 [/2]
Soit la suite
(
wn)
définie par wn= 17n . Étudier la convergence de
(
wn)
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.3 [/2]
Soit la suite
(
un)
définie par un=–2(√
7)n . Étudier la convergence de(
un)
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.4 [/2]
Soit la suite
(
vn)
définie par vn=( −2)n2 . Étudier la convergence de
(
vn)
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.5 [/3]
Soit la suite
(
zn)
définie parz
n= ∑
p=0
n−1
( 1 3 )
p . Étudier la convergence de(
zn) .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°5 Objectifs
C1.e_Niv1 :Savoir déterminer la limite d'une suite géométrique
C1.f_Niv2 :Savoir déterminer la limite éventuelle d'une somme de termes d'une suite géométrique.
Exercice n°12 Ex.25 p.23 Exercice n°13*
Ex.29 p.23
Exercice n°14**
Ex.73 p.26
Exercice n°15**
Ex.74 p.26
Se tester – Test n°6
Ex.n°1 [q1:1, q2:1+2+1, q3:2]
On considère la fonction
f
définie par :f(x)= 5x22x+5, et sa courbe représentative cf. 1 (/1) . Donner son ensemble de définition.
…...
...
...
...
2 (/4) . Déterminer les variations de
f.
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...…
3 (/2). Donner, en justifiant, l'équation de la tangente à
c
f en0
.…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
Interrogation n°6 Objectifs
C1.g_Niv1 :Savoir étudier les variations d'une fonction.
Exercice n°16**
Ex.77 p.26
Exercice n°17***
Sujet B p.35
Exercice n°18***
Sujet E p.36
Exercice n°19***
Ex.135 p.37
Résultats ou indices
Remarques importantes :
Ces résultats permettent :
- de savoir si vous avez juste ou faux. En cas d’erreur, refaites la question. En cas de troisième tentative infructueuse, appelez le professeur.
- de montrer que ce sont les raisonnements qui importent, pas les solutions ci-dessous. Si vous vous êtes contenté de la même rédaction succincte, c’est que vous n’avez pas fait le travail de réflexion nécessaire pour assimiler les notions.
- Parfois, vous n’avez pas les mêmes résultats que votre voisin : c’est NORMAL : les documents sont « aléatoirisés » . En revanche, les
résultats ci-dessous sont bien justes et en rapport avec vos énoncés. Si vous voulez vous entraider, c’est toujours possible, mais il vous faudra expliquer votre raisonnement.
Test.1 : Reprendre la démonstration du cours.
Ex.1 : a. Oui b. Non c. La propriété est fausse.
Ex.2 : Réponse donnée.
Ex.3 : 1.
f
est croissante sur ]-∞; − 1[
et croissante sur] − 1;+
∞[
2. Réponse donnée.3. Réponse donnée. 4. Décroissante.
Ex.4 : 1.
490000
2.49000000
3. L’entier qui suit49
Ex.13 : 1. lim
n→ +∞
un=02. lim
n→ +∞
un= −∞
Ex.14 : 1. +∞ 2. +∞ 3.+∞ 4. Diverge sans limite.
Ex.15 : 1. -∞ 2. 0 3.+∞ 4. 2 5. +∞ 6.+∞
Test.6 : 1.
]-
∞; −5
2 [
U] −5
2 ; +
∞[
2.f
est croissante sur] -
∞; −10
2 [
, décroissante sur] −10 2 ; −5
2 [
, décroissante sur[ −5
2 ;0]
et croissante sur]0;+
∞[
.Ex.16 : 1.a. Le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l’intervalle [n;n + 1]
est proportionnel à un... 1.b. géométrique, raison 1+a. 1.c. a=2,5. 1.d. un=100×3,5n. 2.a.
lim
n→ +∞
un= +∞2.b. 4h;5h;5h.
Ex.17 : P.A. cf cours, exemple 1 P.B.1. lim
n→ +∞
un=1P.B.2.a. (Sn) est croissante. P.B.2.b.
Sn=n+1+15(1 –( 1
5
)
n+1)
P.B.2.c. limn→ +∞
Sn= +∞P.C.1. F P.C.2.F.
Ex.18 : 1. u1= - 5
3 ; u2= - 14
9 ; u3 = - 14
272. pour n 71. 3. par récurrence. 4.a. raison : 1 3, premier terme : v0 = - 25
2 . 4.b. vn= - 25
2 ×
(
13)
n5.a. Sn= -758 5.b.Tn=75
8 (1 – ( 1
3
)
n+1)
+34 ( n+1) (n – 7)
Ex.19 : 1. (an) semble croissante, (bn) semble décroissante, et il semble que lim
n→ + ∞
an=lim
n→ +∞
bn=4 2. 3.a. raison 1
3 , premier terme 6 3.b.
u
n= −6 × ( 1 3 )
n4. .a an<bn 4.b. (an) est croissante, (bn) est décroissante. 5. décroissante et minorée, croissante et majorée... 6.c. limn→ + ∞
an= lim
n→ +∞
bn=4
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester, Ex. n° : … / … / … / … / … du Cours n° …
Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2 Objectifs.
Niveau débutant Sf avec superv Sf sans superv Sf et expliquer
C1.a 1 Savoir mener un raisonnement par récurrence.
C1.b 1 Savoir déterminer une limite en utilisant la définition
C1.c 1 Savoir démontrer que si un< vn à partir d'un certain rang et si lim
n→+∞
un = +∞, alors lim
n→+∞
vn = +∞.
C1.d 1 Savoir étudier les limites d'une somme, d'un produit
et d'un quotient de deux suites.
C1.e 1 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite géométrique.
C1.f 2 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une somme
de termes d'une suite géométrique.
Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012
Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.
On considère la suite définie par
{
un+1=uu0n=1+2n−1 1. Calculer les trois premiers termes de la suite.…...
...
...…
2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite de u0 à u11 …...
...
...
...
...
...
..…
3. Représenter graphiquement page suivante l'ensemble des points
(n; u
n)
pourn [0;11]
∈
:4. Conjecturer l’expression de un en fonction de
n
.Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de
n
(par exemple :
n = 100
,n=
557
…)...…
...…
...…
...…
...…
...…
...…
...…
5. On définit, pour tout entier
n
, la propriétéP
au rangn
par : un=(n – 1)
2.a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété
P
?…...
…...
b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que :
« si
P
est vraie au rangn
, alorsP
est aussi vraie au rangn+1
» (on dit queP
est héréditaire) :…...
…...
...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
c. Démontrer que
P
est vraie au rang0
.…...
…...
…...
…...
d. On sait maintenant que
P
est vraie au rang0
, et que, siP
est vraie au rangn
, alorsP
est aussi vraie au rangn+1
.i. Que peut-on en déduire pour la propriété
P
au rang1
, et pourquoi ?…...
…...
…...
…...…
ii. Que peut-on en déduire pour la propriété
P
au rang2
, et pourquoi ?…...
…...
…...
…...…
iii. De façon plus générale, que peut-on en déduire pour la propriété
P
au rangn
, et que quelles sont les deux arguments que l’on doit mentionner pour le justifier?…...
…...
…...
…...…
Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement par récurrence (suite)
On considère la suite définie par
{
un+1=uu0n=2+2n−11. On définit, pour tout entier
n
, la propriétéP
au rangn
par : un=(n – 1)
2. Conjecture-t-on toujours que, pour tout entiern
,P
est vraie ? Argumenter.…...
...
...
2. Démontrer que
P
est cependant toujours héréditaire.…...
...
…...
...
…...
...
…...
...
3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?
…...
...
Cours n°1
Chapitre n°1 : Suite, partie 1/2
Remarque :
Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)
I) Le raisonnement par récurrence Définition n°1 :
On dit que la propriété P est héréditaire à partir du rang n0 si elle possède la propriété : quelque soit l'entier n supérieur ou égal à n0 choisi, si …... est vraie alors
…...
...…
(i.e. : si la propriété est vraie au rang n, alors elle est
………..)
La propriété
P
au rangn
s'appelle l'hypothèse ………..Axiome de récurrence :
Si la propriété
P
est vraie au rangn
0 (initialisation) et si la propriétéP
est héréditaire à partir den
0, alors…...
...………..
Remarques :
a. L’entier
n
0 , rang initial est souvent0
ou1
, mais pas toujours.b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes :
l’i………., l’h………. de la propriété et la c……….
c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pour autant être vraie. Par exemple, pour
n
entier naturel, la propriété : «(10
n+1)
est divisible par9
» est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)
Démontrer l'assertion suivante : Soit
a
un réel strictement positif. Alors, pour toutn
entier naturel,
(1+a)
n1 + na
.1) I... :
…...
...
...
...
...
2) H... :
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3) C... :
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester – Test n°1
Démontrer l'assertion suivante :
Soit
b
un réel strictement positif. Alors, pour tout entier naturel k ,(1+b)k ≥ 1+kb :…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs
C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.
Remarques importantes :
Pour le cours suivant, la quantité de travail minimum permettant d’assimiler le cours est de 4 exercices de base.
Un exercice avec une étoile correspond à 2 exercices de base, un exercice avec 2 étoiles correspond à 3 exercices de base, etc.
Toute réponse doit être justifiée, dans la mesure du possible.
Exercice n°1
On considère la propriété : «
5
n– 2
est un multiple de3
, pour toutn
N».a. Cette propriété est-elle vraie au rang 1 ? b. Cette propriété est-elle héréditaire ? c. Conclure.
Exercice n°2
On considère la suite
(w
n)
définie parw
0= 0
etw
n= - 1
8 w
n-1+ 9
pour toutn
N*. Montrer que , quelque soitn
N*,1 ≤ w
n≤ 9
.Exercice n°3*
On considère la suite
(v
n)
définie parv
0= 3
etv
n+1= 8 v
n−1
2 v
n+1 pour tout n
N*. 1. Soitf
la fonction définie parf(x) = 8 x − 1
2 x + 1
. Étudier les variations def
. 2. En déduire que, sur[1;+ ∞[
,f(x) ≥ 7
3
.3. Démontrer alors que, pour tout
n
N*,v
n≥ 1
4
.
Étudier les variations de la suitev
n.
Activité d'approche n°3 : Convergence ou non
Un éditeur veut faire paraître un nouveau magazine mensuel intitulé «SESAMATH », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lorsque le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8000 la première année, que le taux de
réabonnement serait de 80 % et que chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.
n étant un entier naturel non nul, on note, dans cette activité, an le nombre d’abonnés à l’année n. On suppose que : a1 = 8000.
1. Estimation
À l’aide d’un tableur, a. Déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de
a
n et en colonne C le résultat arrondi à l’entier.…...…..
...…
...
…...…
...…
...…....
…...…
...…..
...…
...…
...…
...…
...…
...
b. Représenter
graphiquement le nombre d’abonnés en fonction de l’année.
Sur tablette, on utilisera le logiciel WPS. La recopie d'un contenu se fait de la façon suivante :
1) taper sur la cellule à recopier.
2) Taper sur ‘Remplir’.
3) Taper sur ‘Remplissage par glissement’.
4) Sélectionner une flèche et la trainer.
c. Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.
…...…...
…...…...
…...…...
…...
d. Le magazine semble-t-il pérenne ?
…...
...
2. Point de vue mathématique
Dans cette partie,
n
est un entier naturel supérieur ou égal à1
. a. Expliciter une relation entrea
n+1 eta
n.…...
…...
b. On définit, pour tout
n
entier naturel non nul, la suite(b
n)
parb
n= a
n– 3000
. Montrer que la suite(b
n)
est géométrique, puis déterminer les élémentscaractéristiques de cette suite ainsi qu’une formule explicite de
b
n.…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
c. En déduire, pour tout entier naturel
n
non nul,a
n en fonction den
.…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
d. Justifier que la suite
(a
n)
est strictement décroissante et qu’elle est minorée par3000
.…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
e. La suite
(a
n)
peut-elle atteindre3000
? Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autanta
n= 3000
, à partir d’un certain rang ?…...
…...
…...
…...
…...
…...
f. Écrire un algorithme permettant de savoir à partir de quel rang
(a
n- 3000)0,5
.…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
g. Pour ou contre ? Commenter la phrase suivante : « Tout intervalle contenant 3000 contient toutes les valeurs
a
n, à partir d’un certain rang ».…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
h. Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine
« SESAMATH ».
…...
…...
…...
…...
…...
…...
Exercice n°4***
Soit
n ≥ 1
etu
n =4
√ n
.1. A partir de quel rang a-t-on
0 < u
n< 0,01
? 2. A partir de quel rang a-t-on0 < u
n< 0,001
?3. On choisit arbitrairement un réel
a
strictement positif. A partir de quel rang, en fonction dea
, a-t-on0 < u
n< a
?4. Qu’a-t-on démontré à la question 3 ?
Cours n°2 II) Limite finie d'une suite
Définition n°2
La suite
(u
n)
admet pour limite le nombre réell
si, quand on choisit un intervalle ouvert
I
contenant
l
, il existe toujours unn
0 à partir duquel…...
…...
…...
…...
À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de
l
.Notation
On dit que la suite
(u
n)
converge versl
et on note :…...
…...
Remarque :
Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞, soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non - Exemple :
(-1)
n)Exemple n°2 :
Soit la suite
(u
n)
définie par un= 5n2
.
Cette suite est-elle convergente ? Justifier.Intuitivement, on voit que un converge et que
l = ...
Soit un intervalle ouvert du type
]-a;+a[
,a
étant un réel strictement positif.Cherchons à partir de quel rang
n
0 on aura 5 n2<a :…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
Conclusion :
…...
…...
…...
…...…
Exemple n°3
Soit la suite (vn) définie par vn+1= 5
vn. et v0=−1. Cette suite est-elle convergente ? Justifier.
Intuitivement, on voit que vn …...
Démonstration par récurrence :
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
III) Limite infinie d'une suite
Définition n°3
La suite (un) admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ouvert de la forme ]A;+∞[, il existe toujours un n0 à partir duquel ...………...
...
...
...
Exemple n°4
Soit la suite
(w
n)
définie par wn+1=5+n2. Déterminer la limite de cette suite.Intuitivement, on voit que wn …...
Soit un intervalle ouvert du type
]A;+ ∞ [
,A
étant un réel quelconque strictement plus grand que 5.Cherchons à partir de quel rang
n
0 on aura 5+n2>A :…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
Conclusion :
…...
…...
…...
…...
…...
Se tester – Test n°2 Ex.n°1 (/3) :
Soit la suite
(u
n)
définie paru
n= 2
n ²
pour toutn
deℕ* . 1. Quelle semble être la limite de cette suite ?…...
…...
2. Démontrer cette affirmation en utilisant la définition des limites : en
déterminant à partir de quel rang
n
0u
n est dans l'intervalle]-a;a[
,a
étant un réel positif quelconque que l'on a choisi.…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
Ex.n°2 (/2)
Soit la suite
(v
n)
définie parv
n+1= 2
v
net v0=−1.Cette suite est-elle convergente ? Justifier.
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
...
Ex.n°3 (/3)
Soit la suite
(w
n)
définie pour toutn
deℕ* parw
n= 6 + 5n
2. 1. Quelle semble être la limite de cette suite ?…...
2. Démontrer cette affirmation en utilisant la définition des limites : en
déterminant à partir de quel rang
n
0 wn est dans l'intervalle]A;+ ∞ [
,A
étant un réel positif quelconque que l'on a choisi.…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
Conclusion :
…...
C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.
C1.b_Niv2:Savoir déterminer une limite en utilisant la définition.
Exercice n°5***
Soit
n ≥ 3 et u
n= −4 2 n−1
.1. A partir de quel rang a-t-on -
0,01 < u
n< 0
? 2. A partir de quel rang a-t-on -0,001 < u
n< 0
?3. On choisit arbitrairement un réel
a
strictement négatif. A partir de quel rang, en fonction dea
, a-t-ona < u
n< 0
?4. Qu’a-t-on démontré à la question 3 ?
Activité d'approche n°4 : opérations sur les suites
1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants : Somme de deux suites
un vn lim
Produit de deux suites
un vn lim
Quotient de deux suites
un vn lim
n −n² … … … … 1
n
1
n2 … … … …
1 n2
1
n2 … … … …
1 n2
1
n … … …
2. Généralisation
On considère deux suites (un) et (vn). On connaît les limites de ces deux suites.
L
et
L’
sont des nombres réels.1. Addition : étude de lim
n→ ∞
(
un+vn)
lim
n→∞ un→ lim
n→∞vn
L +∞ – ∞
L ' ... ... ...
+∞ ... ... ...
– ∞ ... ... ...
2. Produit : étude de lim
n→ ∞
(
un×vn)
lim
n→∞
un→ lim
n→∞
vn L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞
L '<0 ... ... ... ... ...
L '>0 ... ... ... ... ...
L '=0 ... ... ... ... ...
+∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
3. Quotient
On suppose que pour tout entier naturel
n
,v
n est différent de zéro. On étudie limn→ ∞
un vn
lim
n→∞ un→ lim
n→∞
vn
L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞
L '<0 ... ... ... ... ...
L '>0 ... ... ... ... ...
L '=0 ... ... ... ... ...
+∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Cours n°3 IV) Opérations sur les limites
Propriété n°1 Si lim
n→ +∞
un=+∞ et un≠0 à partir d'un certain rang, alors lim
n→ +∞
1 un=.... Si lim
n→ +∞
un=−∞ et un≠0 à partir d'un certain rang, alors lim
n→ +∞
1 un=....
Démonstration : Si lim
n→ +∞
un=+∞, quelque soit le nombre
A
positif choisi, il existen
0 tel que, quelque soitn>n
0, un>A.Donc, il existe
n
0 tel que, quelque soitn>n
0, 1 un... 1A.
Donc, si l'on choisit un nombre quelconque
a
, il suffit de prendreA= ....
....
: il y aura un rang à partir duquel un>A(à cause de ...…….….) , et donc à partir duquel 1un.... 1
A soit 1 un<a. Donc lim
n→ +∞
1 un=0.
Propriété n°2 : somme de limites lim
n→∞
un→ lim
n→∞
vn
L +∞ – ∞
L ' ... ... ...
+∞ ... ... ...
– ∞ ... ... ...
Propriété n°3 : produit de limites : étude de lim
n→ ∞
(
un×vn)
lim
n→∞ un→ lim
n→∞
vn
L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞
L '<0 ... ... ... ... ...
L '>0 ... ... ... ... ...
L '=0 ... ... ... ... ...
+∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Propriété n°4 : quotient de limites
On suppose que pour tout entier naturel
n
,v
nest différent de zéro. On étudie limn→ ∞
un vn lim
n→∞ un→ lim
n→∞vn
L<0 L>0 L=0 +∞ – ∞
L '<0 ... ... ... ... ...
L '>0 ... ... ... ... ...
L '=0 ... ... ... ... ...
+∞ ... ... ... ... ...
– ∞ ... ... ... ... ...
Exemple n°5 :
Soit
u
n= –2n
2– 5n
. Déterminer limn → + ∞
un
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…... ...
...
Exemple n°6 :
Soit
v
n= –2n
2+ 5n
. Déterminer limn → + ∞
vn
...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
Exemple n°7 : Soit
w
n= n
2– 1
n
. Déterminer limn → + ∞
wn
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...…
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
…...
Se tester – Test n°3 Ex.n°1 :
Soit la suite définie pour tout
n
deℕ, par un=–2n2 – 2n et u0=0. Déterminer limn → + ∞
un ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.n°2 :
Soit la suite définie pour tout
n
deℕ, par vn=n2 – n et v0=0. Déterminer limn→ + ∞
vn
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Ex.n°3 :
Soit la suite définie pour tout
n
deℕ*, par wn=n−92n2 . Déterminer lim
n→ + ∞
wn
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°3 Objectifs
C1.c_Niv1 :Savoir calculer des limites en utilisant les opérations
Exercice n°6 Ex.13 p.22 Ex.14 p.22 Exercice n°7
Ex.69 p.26 Exercice n°8*
1. Montrer que, pour tout réel
k>0, lim
n→ +∞
√ n+ k = + ∞
.2. Conjecturer lim
n→ +∞
√
n+9- lim
n→ +∞
√ n
3. Peut-on justifier la conjecture précédente avec les propriétés sur les opérations sur limites ?
4. Montrer que
√
n+9 –√
n = 9√
n+9+√
n5. Conclure.
Exercice n°9***
On considère la suite définie par
u
0= 1
On considère la suite définie par