Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2 Objectifs.

(1)

Chapitre n°1 : Suites, partie 1/2 Objectifs.

Niveau débutant Sf avec superv Sf sans superv Sf et expliquer

C1.a 1 Savoir mener un raisonnement par récurrence.

C1.b 1 Savoir déterminer une limite en utilisant la définition C1.c 1 Savoir démontrer que si u_n< v_n à partir d'un certain

rang et si lim

n→+∞u_n = +∞, alors lim

n→+∞v_n = +∞.

C1.d 1 Savoir étudier les limites d'une somme, d'un produit et

d'un quotient de deux suites.

C1.e 1 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une suite

géométrique.

C1.f 2 Savoir déterminer la limite éventuelle d'une somme de

termes d'une suite géométrique.

Référence du manuel : Bordas, indice TS prgm 2012

Activité d'approche n°1 : construction du raisonnement par récurrence.

On considère la suite définie par

{ ^u

ⁿ⁺¹

^=u ^u

⁰ⁿ

⁼¹ ⁺² ⁿ⁻¹

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.

…...

...

...…

2. À l'aide d'un tableur ou d'une calculatrice, afficher les termes de la suite

de u

₀

à

u₁₁

…...

...

3. Représenter graphiquement page suivante l'ensemble des points (n;

u

_n)

pour n ∈[0;11] :

(2)

4. Conjecturer l’expression de

u

_n en fonction de

n

. Vérifier cette conjecture pour des grandes valeurs de

n

(par exemple :

n = 100, n=

557

…)

…...…

...…

...…………..………...

…...…

...…

..………...

5. On définit, pour tout entier

n

, la propriété

P

au rang

n

par :

u

_n

=(n – 1)

².

a. Qu'est-ce que l'étude précédente laisse penser de la propriété

P

?

…...

b. Démontrer, en utilisant la définition de la suite donnée au départ, que :

« si

P

est vraie au rang

n

, alors

P

est aussi vraie au rang

n+1

» (on dit que

P

est héréditaire) :

…...

...

…...

c. Démontrer que

P

est vraie au rang 0.

…...

d. On sait maintenant que

P

est vraie au rang 0, et que, si

P

est vraie au rang

n

, alors

P

est aussi vraie au rang

n+1

.

(3)

i. Que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

1

, et pourquoi ?

…...

…...…

ii. Que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

2

, et pourquoi ?

…...

…...…

iii. De façon plus générale, que peut-on en déduire pour la propriété

P

au rang

n

, et que quelles sont les deux arguments que l’on doit mentionner pour le justifier?

…...

…...…

Activité d'approche n°2 : construction du raisonnement par récurrence (suite)

On considère la suite définie par { ^u

ⁿ⁺¹

^=u ^u

⁰ⁿ

⁼² ⁺² ⁿ⁻¹

1. On définit, pour tout entier n, la propriété P(n) par : u

_n=(n – 1)²

. Conjecture-t- on toujours que, pour tout entier n, P(n) est vraie ?

Argumenter.

…...

...

2. Démontrer que

P est cependant toujours héréditaire.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

3. Que faudrait-il pour que le raisonnement par récurrence « fonctionne » ?

…...

...

(4)

Chapitre n°1 : Suite, partie 1/2

Remarque :

Toutes les notions relatives aux suites vues en 1ère sont nécessaires (croissance et décroissance, suites arithmétiques, géométriques, somme des premiers termes, etc.)

I) Le raisonnement par récurrence

Définition n°1 :

On dit que la propriété

P

est héréditaire à partir du rang

n

₀ si elle possède la propriété : quelque soit l'entier

n

supérieur ou égal à

n

₀ choisi, si

…...

est vraie alors

…...

...…

(i.e. : si la propriété est vraie au rang

n

, alors elle est

………..)

P(n)

s'appelle l'hypothèse de récurrence.

Axiome de récurrence :

Si la propriété

P(n

₀

)

est vraie (initialisation) et la propriété

P

est héréditaire à partir de

n

₀, alors

…...

...

Remarques :

a. L’entier

n

₀ , rang initial est souvent

0

ou

1

, mais pas toujours.

b. Une démonstration par récurrence comporte trois étapes :

l’i………., l’h………. de la propriété et la c……….

c. L’initialisation est importante. Une propriété peut être héréditaire sans pour autant être vraie. Par exemple, pour n entier naturel, la propriété : «

(10

ⁿ

+1)

est divisible par

9

» est héréditaire, mais fausse. Il manque l’initialisation.

(5)

Exemple n°1 (Inégalité de Bernoulli)

Démontrer l'assertion suivante : Soit

a

un réel strictement positif. Alors, pour tout

n

entier naturel,

(1+a)

ⁿ

1 + na

.

1) I... :

…...

...

2) H... :

…...

...

3) C... :

…...

...

Interrogation n°1 Objectifs

C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.

Exercice n°1 Ex.1 p.22 Exercice n°2*

(6)

Exercice n°3*

Ex.42 p.24

Exercice n°4**

Ex.44 p.24

Activité d'approche n°3 : Convergence ou non

Un éditeur veut faire paraître un nouveau magazine mensuel intitulé

«SESAMATH », sachant qu’un nouveau magazine reste rentable pour lui, dès lorsque le nombre d’abonnés reste supérieur ou égal à 3000. Il réalise une étude de marché qui révèle que le nombre d’abonnés serait de 8000 la première année, que le taux de réabonnement serait de 80 % et que chaque année, il y aurait 600 nouveaux abonnés.

n

étant un entier naturel non nul, on note, dans cette activité,

a

_n le nombre d’abonnés à l’année

n

. On suppose que :

a

₁= 8000.

1. Estimation

À l’aide d’un tableur, a. Déterminer le nombre d’abonnés des premières années. En colonne B, on donnera le résultat de

a

_n et en colonne C le résultat arrondi à l’entier.

…...…

...…

...

…...…

...…

...

…...…

...…

...

b. Représenter

graphiquement le nombre d’abonnés en fonction de l’année.

Sur tablette, on utilisera le logiciel WPS. La recopie d'un contenu se fait de la façon suivante :

1) Cliquer sur la cellule à recopier.

2) -> Modifier -> Copier.

3) Cliquer sur la cellule en dessous.

4) -> Coller.

5) -> Remplir -> Remplissage par glissement.

(7)

c. Conjecturer alors le comportement de ce nombre d’abonnés au fur et à mesure que les années s’écoulent.

…...…...

…...

d. Le magazine semble-t-il pérenne ?

…...

...

2. Point de vue mathématique

Dans cette partie,

n

est un entier naturel supérieur ou égal à

1

. a. Expliciter une relation entre

a

_n+1 et

a

_n.

…...

b. On définit, pour tout

n

entier naturel non nul, la suite

(b

_n

)

par

b

_n

= a

_n

– 3000

. Montrer que la suite

(b

_n

)

est géométrique, puis déterminer les éléments

caractéristiques de cette suite ainsi qu’une formule explicite de

b

_n.

…...

c. En déduire, pour tout entier naturel

n

non nul,

a

_n en fonction de

n

.

…...

(8)

…...

d. Justifier que la suite

(a

_n

)

est strictement décroissante et qu’elle est minorée par

3000

.

…...

…...…

…...

(9)

…...

e. La suite

(a

_n

)

peut-elle atteindre

3000

? Pourquoi le tableur affiche-t-il pour autant

a

_n

= 3000

, à partir d’un certain rang ?

…...

f. Écrire un algorithme permettant de savoir à partir de quel rang

(a

_n

- 3000)0,5

.

…...

…...…

…...

(10)

…...

g. Pour ou contre ? Commenter la phrase suivante : « Tout intervalle contenant 3000 contient toutes les valeurs

a

_n, à partir d’un certain rang ».

…...

h. Conclure sur l’évolution dans le temps du nombre d’abonnés au magazine

« SESAMATH ».

…...

Exercice n°5

Ex.8 p.22

Exercice n°6*

Ex.9 p.22

Exercice n°7*

Ex.11 p.22

Exercice n°8*

Ex.12 p.22

(11)

Cours n°2

II) Limite finie d'une suite Définition n°2

La suite

(

u_n

)

admet pour limite le nombre réel

L

si, quand on choisit un intervalle ouvert contenant

L

, il existe toujours un

n

0

à partir duquel

…...

À partir d'un certain rang, les termes de la suite « s'accumulent » autour de

L

.

Notation

On dit que la suite

(

u_n

)

converge vers

L

et on note :

…...

Remarque :

Une suite qui ne converge pas est une suite qui diverge, soit vers + ∞ ou - ∞, soit parce qu'elle oscille continuellement de manière aléatoire ou non exemple :

(-1)

ⁿ)

Exemple n°2 :

Soit la suite

(

u_n

)

définie par u_n= 5

n²

.

Cette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que u_n converge et que

L = ...

Soit un intervalle ouvert du type

]-a;+a[

,

a

étant un réel strictement positif.

Cherchons à partir de quel rang

n

0 on aura 5 n²<a :

…...

(12)

…...

…...…

Conclusion :

…...

…...…

Exemple n°3

Soit la suite

(

v_n

)

définie par v_n₊₁= 5

v_n

.

et v₀=−1.

C

ette suite est-elle convergente ? Justifier.

Intuitivement, on voit que v_n …...

Démonstration par récurrence :

…...

(13)

…...

III) Limite infinie d'une suite Définition n°3

La suite

(

u_n

)

admet pour limite l'infini si , quand on choisit un intervalle ouvert de la forme

]A;+∞[

, il existe toujours un

n

0 à partir duquel ...

...

…...

...

Exemple n°4

Soit la suite

(

w_n

)

définie par w_n₊₁=5+n². Déterminer la limite de cette suite.

Intuitivement, on voit que w_n …...

Soit un intervalle ouvert du type

]A;+ ∞ [

,

A

étant un réel strictement plus grand que 5.

Cherchons à partir de quel rang

n

0 on aura 5+n²>A :

…...

…...…

Conclusion :

…...

(14)

…...

C1.a_Niv2 :Savoir mener un raisonnement par récurrence.

C1.b_Niv2:Savoir déterminer une limite en utilisant la définition.

Exercice n°9**

Ex.54 p.25

Exercice n°10**

Ex.55 p.25

Activité d'approche n°4 : opérations sur les suites

1. De façon intuitive, compléter les tableaux suivants : Somme de deux suites

u

_n

v

_n _lim

n→+∞u_n lim

n→+∞v_n

u

_n

+ v

_n _lim

n→+∞u_n+v_n

2n² –n²

… … … …

n² –n²

… … … …

n +

¹

n

–n

… … … …

n² – 1 –2n²

… … … …

Produit de deux suites

u

_n

v

_n

lim

n→+∞u_n lim

n→+∞v_n

u

_n

v

_n

lim

n→+∞u_nv_n

2n²

¹_n ^… ^… ^… ^…

n²

²

n² ^… ^… ^… ^…

3n

_n¹2 … … … …

Quotient de deux suites

u

_n

v

_n ^lim

n→+∞u_n lim

n→+∞v_n u_n

v_n lim

n→+∞

u_n v_n

2n² n

^… ^… ^… ^…

n² -n²

^… ^… ^… ^…

n -n²

^… ^… ^… ^…

1 n

1

n² ^… ^… ^… ^…

(15)

1 n²

1

n² ^… ^… ^… ^…

1 n²

1

n ^… ^… ^… ^…

2. Généralisation

On considère deux suites

(u

_n

)

et

(v

_n

)

. On connaît les limites de ces deux suites.

L

et

L’

sont des nombres réels.

1. Addition : étude de lim

n→∞(u_n+v_n) lim

n→∞u_n→ lim

n→∞v_n ¯

L + ∞ – ∞

L'

^... ^... ^...

+ ∞

^... ^... ^...

– ∞

^... ^... ^...

2. Produit : étude de lim

n→∞(u_n×v_n) lim

n→∞u_n→ lim

n→∞v_n ¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0

^... ^... ^... ^... ^...

L'>0

^... ^... ^... ^... ^...

L'=0

^... ^... ^... ^... ^...

+ ∞

^... ^... ^... ^... ^...

– ∞

^... ^... ^... ^... ^...

3. Quotient

On suppose que pour tout entier naturel

n

,

v

n est différent de zéro. On étudie limn→∞

u_n v_n lim

n→∞u_n→ lim

n→∞v_n ¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0

^... ^... ^... ^... ^...

L'>0

^... ^... ^... ^... ^...

L'=0

^... ^... ^... ^... ^...

(16)

– ∞

^... ^... ^... ^... ^...

(17)

Cours n°3

IV) Opérations sur les limites Propriété n°1

Si lim

n→+∞u_n= +∞ et u_n≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n→+∞

1 u_n=....

Si lim

n→+∞u_n= −∞ et u_n≠0 à partir d'un certain rang, alors lim

n→+∞

1 u_n=....

Démonstration : Si lim

n→+∞u_n= +∞, quelque soit le nombre

A

positif choisi, il existe

n

0 tel que, quelque soit

n>n

0, u_n>A.

Donc, il existe

n

0 tel que, quelque soit

n>n

0, 1 u_n< 1

A ^.

Donc, si l'on choisit un nombre quelconque

a

, il suffit de prendre

A=

¹

a : il y aura un rang à partir duquel u_n>A, et donc à partir duquel 1

u_n<1 A ^soit

1 u_n<a.

Donc lim

n→+∞

1 u_n=0.

Propriété n°2 : somme de limites

lim

n→ ∞u_n → lim

n→ ∞v_n ¯

L + ∞ – ∞

L'

^... ^... ^...

+ ∞

^... ^... ^...

– ∞

^... ^... ^...

(18)

n→ ∞

lim

n→ ∞v_n ¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0

^... ^... ^... ^... ^...

L'>0

^... ^... ^... ^... ^...

L'=0

^... ^... ^... ^... ^...

+ ∞

^... ^... ^... ^... ^...

– ∞

^... ^... ^... ^... ^...

Propriété n°4 : quotient de limites

On suppose que pour tout entier naturel n, vn est différent de zéro. On

é

tudie lim

n→ ∞

u_n v_n lim

n→ ∞v_n ¯

L<0 L>0 L=0 + ∞ – ∞

L'<0

^... ^... ^... ^... ^...

L'>0

^... ^... ^... ^... ^...

L'=0

^... ^... ^... ^... ^...

+ ∞

^... ^... ^... ^... ^...

– ∞

^... ^... ^... ^... ^...

Exemple n°5 :

Soit

u

n

= –2n

²

– 5n

. Déterminer lim

n→+∞u_n

…...

…... ...

...

Exemple n°6 :

Soit

v

n

= –2n

²

+ 5n

. Déterminer lim

n→+∞v_n

...

(19)

…...

…...…

Exemple n°7 :

Soit

w

n

=

ⁿ²^–¹

n . Déterminer lim

n→+∞w_n

…...

…...…

…...

C1.c_Niv1 :Savoir calculer des limites en utilisant les opérations

(20)

(21)

Exercice n°11*

Ex.13 p.22

Exercice n°12*

Ex.14 p.22

Exercice n°13*

Ex.15 p.22

Exercice n°14**

Ex.67 p.26

Exercice n°15*

Ex.68 p.26

Exercice n°16**

Ex.69 p.26

(22)

V) Limites et comparaison de suites

Propriété n°5 :

1. Si (un) et

(v

n

)

sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang

n

1, vnun, et

lim

n→+∞u_n=+∞, alors …...

2.

Si (u

n) et

(v

n

)

sont deux suites telles que, à partir d'un certain rang

n

1, vnun, et

lim

n→+∞u_n=−∞, alors …...

Démonstration (exigible) :

Démontrons le 1 : choisissons un nombre réel

A,

on a lim

n→+∞u_n=+∞

.

Donc il existe un rang

n

0à partir duquel

u

n est dans l'intervalle

]A;+∞[.

De plus, à partir d'un certain rang

n

1,

...

...Donc, choisissons un rang

n

2 tel que

...Alors

…...Donc : …...Le 2 se démontre de façon équivalente.

Exemple n°8 :

Soit la suite

(v

n

)

définie par

v

n

=2n + 1 + sinn

. Déterminer lim

n→+∞v_n.

...

...…

Propriété n°6 : le théorème des « gendarmes »

(23)

Si (u

n),

(v

n

)

et

(w

n

)

sont trois suites telles que, à partir d'un certain rang

n

1,

unvnwn , et lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞w_n=L, alors

…...

Exemple n°9 :

Soit la suite

(v

n

)

définie par v_n=sinn

n . Déterminer lim

n→+∞v_n.

...

...…

...

...…

Propriété n°7 (admise)

Une suite croissante et majorée …...

(24)

Exemple n°10

Soit la suite

(S

n

)

définie par :

S

n

= ∑

k=1 k=n 1

k².

1. Démontrer que

(S

n

)

est croissante.

...

...…

...

...…

2. Démontrer que, pour tout

n

entier naturel,

S

n

< 2 –

¹

n .

...

...…

...

3. En déduire que

(S

n

)

est convergente.

...

(25)

C1.d_Niv1 :Savoir utiliser les théorèmes de comparaison sur les suites Exercice n°17

Ex.18 p.22

Exercice n°18

Ex.20 p.22

Exercice n°19

Ex.71 p.26

Exercice n°20*

Ex.23 p.22

Cours n°5

VI) Limite des suites géométriques Propriété n°8

Soit q

la raison d'une suite géométrique : a. Si

q-1

alors lim

n→+∞qⁿ.... b. Si

-1<q<1

alors lim

n→+∞qⁿ...

c. Si

q=1

alors lim

n→+∞qⁿ.... d. Si

q>1

alors lim

n→+∞qⁿ....

Démonstration (exigible) : On ne démontre que le d.

...

...…

...

...…

...

Exemple n°11 :

Soit la suite

(w

n

)

définie par w_n= 2

3ⁿ . Étudier la convergence de

(w

n

)

.

...

(26)

...

Exemple n°12 :

Soit la suite

(u

n

)

définie par u_n= −3(

√

²⁾ⁿ . Étudier la convergence de

(u

n

)

.

...

...…

...

Exemple n°13 :

Soit la suite

(v

n

)

définie par v_n=(−3)ⁿ

5 . Étudier la convergence de

(v

n

)

.

...

...…

...

Exemple n°14 :

Soit la suite

(z

n

)

définie par z_n=

∑

p=0 n−1

q^p . Étudier la convergence de

(z

n

)

en fonction de

q

.

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

(27)

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

...…

...

C1.e_Niv1 :Savoir déterminer la limite d'une suite géométrique

C1.f_Niv2 :Savoir déterminer la limite éventuelle d'une somme de termes d'une suite géométrique.

Exercice n°21

Ex.25 p.23

(28)

Ex.29 p.23

Exercice n°23**

Ex.73 p.26

Exercice n°24**

Ex.74 p.26

C1.g_Niv1 :Savoir étudier les variations d'une fonction.

Exercice n°25**

Ex.77 p.26

Exercice n°26***

Sujet B p.35

Exercice n°27***

Sujet E p.36

Exercice n°28***

Ex.135 p.37

(29)

Résultats ou indices

Remarque :

Ces résultats permettent de savoir si l'on a faux ou juste, sans avoir besoin du professeur. On peut les consulter sans vergogne. En revanche, en cas d'erreur, il est extrêmement formateur, si on a le temps, de refaire une deuxième tentative de résolution.

Ex.1 (1 p.22) : p(n):il existe p tel que (xy)ⁿ=…

Ex.2 (4 p.22) : initialisation : u0=.…

Ex.3 (42 p.24) : récurrence.

Ex.4 (44 p.24) : un=2.

Ex.5 (8 p.22) : rang 20.

Ex.6 (9 p.22) : 1. rang 6. 2. rang 71.

Ex.7 (11 p.22) : 1. rang 10 001 2. rang 100 001.

Ex.8 (12 p.22) : 1. rang 202. 2. rang 2 002.

Ex.9 (54 p.25) : 1. lim

n→+∞v_n=2. 2. n> 1 a².

Ex.10 (55 p.25) : 1. À partir du rang 10. 2. n> 1

√^a

Ex.11 (13 p.22) : 1. +∞ 2. +∞ 3. +∞ 4. -30 5. -∞ 6. +∞.

Ex.12 (14 p.22) : 1. 4 2. 0 3. 0 4. - lim

n→ +∞S_n=+∞ . Ex.13 (15 p.22) : 1. +∞ 2. -∞ 3. +∞ 4. -∞ . Ex.14 (67 p.26) : 1. -∞ 2. 0 3. +∞ 4. 4 Ex.16 (69 p.26) : 1. -∞ 2. -∞ 3. 0 4. - 2

3 5. +∞ 6. -∞

Ex.17 (18 p.22) : lim

n→+∞u_n=+∞

Ex.18 (20 p.22) : lim

n→+∞u_n=−∞

Ex.19 (71 p.26) : 1. lim

n→+∞

u_n=+∞2. lim

n→+∞

u_n=03. lim

n→+∞u_n=+∞ 4. lim

n→+∞u_n=−∞

Ex.20 (23 p.22) : a. lim

n→+∞

u_n=0b. lim

n→+∞u_n=0

Ex.21 (25 p.23) : 1. 0 2. +∞ 3. Diverge sans limite.

Ex.22 (29 p.23) : 1. lim

n→+∞

u_n=02. lim

n→+∞u_n=−∞

Ex.23 (73 p.26) : 1. +∞ 2. +∞ 3.+∞ 4. Diverge sans limite.

Ex.24 (74 p.26) : 1. -∞ 2. 0 3.+∞ 4. 2 5. +∞ 6.+∞

Ex.25 (77 p.26) : 1.a. Le nombre de personnes touchées par la rumeur dans l’intervalle [n;n + 1] est proportionnel à un... 1.b. géométrique, raison 1+a. 1.c. a=2,5. 1.d. un=100×3,5ⁿ. 2.a.

lim

n→+∞u_n=+∞2.b. 4h;5h;5h.

Ex.26 (Sujet B p.35) : P.A. cf cours, exemple 1 P.B.1. lim

n→+∞u_n=1P.B.2.a. (Sn) est croissante.

P.B.2.b. Sn=n+1+15

(

¹⁻

⁽

¹⁵

⁾

ⁿ⁺¹

)

P.B.2.c. lim

n→+∞Sn=+∞P.C.1. F P.C.2.F.

Ex.27 (Sujet E p.36) : 1. u1= - 5

3 ; u2= - 14

9 ; u3 = - 14

27 2. pour n 71. 3. par récurrence. 4.a.

raison : 1

3 , premier terme : v0 = - 25

2 . 4.b. vn= - 25

2 ×

(

¹3

)

ⁿ^{5.a. S}ⁿ^{= -} ⁷⁵8

(

¹⁻

⁽

¹³

⁾

ⁿ⁺¹

)

^5.b.Tⁿ⁼ ⁷⁵⁸

(

¹⁻

⁽

¹³

⁾

ⁿ⁺¹

)

⁺ ³⁴ (n+1)(n – 7).

Ex.28 (Ex.135 p.37) : 1. (an) semble croissante, (bn) semble décroissante, et il semble que

n→+∞lim an=lim

n→+∞bn=4. 2. 3.a. raison 1

3 , premier terme 6 3.b. un= - 6×

(30)

(

³

)

croissante et majorée... 6.c. lim

n→+∞an=lim

n→+∞bn=4.

(31)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

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…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :