Chapitre n°7: Suites, partie 2/2 Objectifs :

(1)

Chapitre n°7: Suites, partie 2/2 Objectifs :

Niveau a eca n

C7.a ¹ Savoir utiliser le théorème de convergence des suites

croissantes majorées/décroissantes minorées.

Cours n°1

Chapitre n°7: Suites, partie 2/2

I) Convergences des suites monotones

Définition n°1

Une suite (

u

_n) est dite majorée (respectivement minorée) s'il existe un réel M , tel que, pour tout n,...(respectivement …...)

Propriété n°1

Si une suite (

u

_n) est croissante (respectivement décroissante) et converge vers un nombre réel l, alors la suite (

u

_n) est …...

(…...) Autrement dit :

Une suite croissante et convergente est …...

Une suite décroissante et convergente est …...

Démonstration (R.O.C.) : (par l'absurde)

Choisissons une suite (

u

_n) croissante et convergente vers un nombre l Supposons que (

u

_n) ne soit pas majorée.

(

u

_n) converge vers l :

Il existe n1 tel que,

quelque soit ………., un appartient à l'intervalle ] l – 1; l + 1[ . (1)

(

u

_n) est non majorée, donc, quelque soit le nombre réel A choisi, il existe au

moins un

n

0 tel que,

u

n₀ est ...…

Choisissons A = l+2:

u

n₀… ……….(2) Deux cas :

Si le rang n0 > n1 :

D'après (1):

u

n₀appartient aussi à ……….., donc un₀<……

D'après (2) :

u

n₀> ……….

C'est contradictoire

! Donc notre supposition est ………...

Donc (

u

_n) est ………

Si le rang n0 < n1, (2) donne

u

n₀… ………. et (1) implique que

u

n₁… ………..

Donc un₀… un₁(3)

Mais (

u

_n) est ……….

C'est contradictoire

! Donc notre supposition

est ……… Donc (

u

_n) est ………

(2)

Exemple n°1

On donne la suite (

u

_n ) définie par

u

_n

= 1

n ²

. Est-elle majorée? Minorée ?

...

Propriété n°2 (admise)

Une suite croissante et majorée …...

Une suite …... et minorée …...

Propriété n°3

Une suite convergente est …...

(Donc une suite non bornée est …...)

Démonstration :

lim

n→+∞u_n=l Donc, il existe un rang n0 à partir duquel

…...

...

Exemple n°2

On donne la suite (

u

_n ) définie par

u

₀ = 75 et

u

_n₊₁

=0,6 u

_n

+50

. 1. Démontrer que, pour tout entier n,

u

_n

< u

_n+1

⩽125

.

...

(3)

...

2. En déduire que (

u

_n ) que est convergente.

...

Interrogation n°1 Objectifs :

C7.a_Niv1 :

Savoir utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées/décroissantes minorées.

Exercice n°1 Ex.32 p.23 Exercice n°2

Ex.34 p.23 Exercice n°3*

Ex.41 p.23 Exercice n°4**

Ex.91 p.27 Exercice n°5***

Sujet D p.36 Exercice n°6**

Ex.125 p.37 Exercice n°7**

Ex.127 p.37

Exercice n°8***

Ex.133 p.38 Exercice n°9**

Ex.131 p.38

(4)

Résultats ou indices

Ex.1 (32 p.23) : 2. Non

Ex.2 (34 p.23) : 1b. Oui 1c. Oui 2. positif 3. Hypothèse confirmée.

Ex.3 (41 p.23) : 1b. Minorée par -4. 3. décroissante.

Ex.4 (91 p.27) : /

Ex.5 (D p.36) : 1.a. 1.b. décroissante et → 1.

3.b.

u

_n

= 4 n+ 15 4 n+ 3

3.c. 1.

Ex.6 (125 p.37) : 1.

3. décroissante 4. 3.

Ex.7 (127 p.37) : 1.b. 0.3. (un) est croissante et (vn) est décroissante.

Ex.8 (133 p.38) : 1.c. 5

Ex.9 (131 p.38) : 1.a.u2=125. 2.a.v1=500. 2.b. 1,05 2.d. 10000(1,05ⁿ–1) 3. Au bout de 22 jours, Marc aura gagné 10000€.

(5)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :