1/19 - Chapitre n°9 : Suites, partie 2
Chapitre n°9: Suites, partie 2
Objectifs.
O9_1. Suites arithmétiques et suites géométriques
[Démonstration : établir et connaître les formules donnant 1+2+...+n et 1+q+...+qn.]
Durée approximative : 11 cours.
Activités d'approche n°1
Au mois de novembre 2011, l’imprimerie Farfarelli imprime 2100 livres par mois. Le directeur décide d’augmenter les cadences de 250 livres par mois. On note u0 le nombre de milliers de livres imprimés au mois de novembre 2011 et un le nombre de milliers de livres imprimés n mois plus tard.
1) Donner la valeur de u0 et u1 . Exprimer un+1 en fonction de un .
2) En utilisant un tableur, déterminer le nombre de livres imprimés en mai 2012 , en juin 2013.
3) Exprimer un en fonction de n.
Activité d'approche n°2
En 2000, le taux annuel de croissance de la population mondiale était de 1,6 %.
On suppose que ce taux est resté constant après 2000.
1) Par quel nombre est multipliée chaque année la population mondiale ? 2) On note u0 la population mondiale en 2000, u1 en 2001, u2 en 2002, etc…
Sachant que u0 = 6×109 calculer u1, u2 et u3. Exprimer un+1 en fonction de un. 3) En utilisant un tableur, déterminer au bout de combien d’années la
population mondiale aura doublé si l’accroissement se poursuit à ce rythme ?
4) Exprimer un en fonction de n.
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Cours n°1
Chapitre n°9: Suites, partie 2
I) Suites arithmétiques et suites géométriques.
1) Suites arithmétiques
Définition n°1 : suite arithmétique
Une suite u est dite arithmétique lorsqu'il existe un nombre réel r tel que, pour tout entier n , un+1 = un + r : un terme s'obtient à partir du précédent en ajoutant toujours le même nombre.
Le nombre réel r s'appelle la raison de la suite u.
Exemple n°1
La suite des nombres entiers : premier terme : ... raison : ...
La suite des nombres entiers pairs : premier terme : ... raison : ...
La suite des nombres entiers impairs : premier terme : ... raison : ...
Exemple n°2
Démontrez que la suite v définie par vn = 3n – 5 est une suite arithmétique.
...
...
...
...
Propriété n°1 : expression explicite du terme général d'une suite arithmétique
Si la suite u est arithmétique de raison r , alors, pour tout entier n, un = …...
De plus, pour tout entier n et k, un = uk +...
Démonstration :
...
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...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°3
Soit u la suite arithmétique de premier terme –5 et de raison 3. Déterminez u20, puis un en fonction de n.
...
...
...
Soit v la suite arithmétique de premier terme –3 telle que v3 = –7. Déterminez v100.
...
...
...
2) Suites géométriques
Définition n°1 : suite géométrique
Une suite u est dite géométrique lorsqu'il existe un nombre réel q différent de 0 tel que, pour tout entier n , un+1 = qun : un terme s'obtient à partir du précédent en multipliant toujours par le même nombre.
Le nombre réel q s'appelle la raison de la suite u.
Exemple n°4
Soit v la suite définie par : pour tout entier n, vn = 2
5n . La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?
...
...
...
...
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...
...
Propriété n°2 : expression explicite du terme général d'une suite géométriques
Si la suite v est géométrique de premier terme v et de raison q, alors, pour tout entier n, vn = v0×...
De plus, pour tout entier n et k, vn = vk × ...
Démonstration :
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°5
Soit u la suite géométrique de premier terme –5 et de raison 3. Déterminez u20, puis un en fonction de n.
...
...
...
Soit v la suite géométrique de premier terme –3 telle que v3 = –7. Déterminez v12.
...
...
...
Exercice n°1
Ex.17 et 19 p.120 Exercice n°2
Ex.22 et 23 p.120
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Exercice n°3 Ex.75 p.124 Exercice n°4
Ex.101 p.126 Exercice n°5
Voici des suites. Dans chaque cas, déterminez s'il s'agit de suites arithmétiques, géométriques, ou nin l'un ni l'autre.
a. un = –2n + 3 b. vn = 4
3n
c.
{
wnw+10=−4+=−2 wnd.
{
tn+1=tt0=−3n−1003 tne. zn= 3n+4 5
f.
{
pn+1=0,5p0=4pn+3g.
{
yn+1y0=2−=3 ynCours n°2 II) Sommes de termes d'une suite
a) Somme des termes d'une suite arithmétique Propriété n°3 : Somme des entiers de 1 à n
Pour tout nombre entier non nul, 1 + 2 + 3 + … … + n = …...
Démonstration :
...
...
...
...
...
...
...
...
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Propriété n°4 : Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique
Si la suite u est arithmétique de raison r, la somme des n premiers termes de cette suite est égale à :
Démonstration :
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°6
u est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u0 = 3. Calculez la somme des 30 premiers termes de cette suite :
...
...
...
...
...
Exercice n°6 Ex.88 p.125 Exercice n°7
Ex.89 p.125
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Cours n°3
b) Somme des termes d'une suite géométrique
Propriété n°3 : Somme des puissances successives d'un nombre réel
Pour tout nombre entier non nul, et nombre réel q différent de 1, on a : 1 + q + q2 + … … + qn = …...
Démonstration :
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°7 :
Calculez la somme suivante : S = 1 + 2 + 22 + … … + 229 (n=29 et on a 30 termes) ...
...
...
...
Calculez la somme des 30 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2.
...
...
...
...
Exercice n°8 Ex.102 p.126
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Exercice n°9 Ex.105 p.126 Exercice n°10*
Ex.109 p.126 Exercice n°11*
Ex.118 p.130 Exercice n°12*
Ex.120 p.130 Exercice n°13***
Quel est le plus grand empilement de ce type que l'on peut réaliser si on dispose de 12420 cubes ?
Exercice n°14**
Ex.121 p.130 Exercice n°15**
Pour fabriquer une décoration de Noël, une ville décide d'enfiler des boules sur un fil vertical de 8 mètres de longueur.
La première boule a un rayon de 1 mètre.
À partir de la seconde boule, le rayon de chaque boule est égal aux deux tiers du rayon de la boule précédente. Combien peut-on enfiler de boules sur ce fil ?
Exercice n°16**
On considère la suite définie par u0= 1, u1=1 et la relation : un+2 = un+1 + un
1. Calculez u2, u3, u4 et u5.
2. Complétez l'algorithme suivant, qui permet de calculer les termes de la suite à un rang n donné :
1 VARIABLES
2 u EST_DU_TYPE NOMBRE 3 v EST_DU_TYPE NOMBRE 4 r EST_DU_TYPE NOMBRE 5 n EST_DU_TYPE NOMBRE 6 i EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME
8 AFFICHER "Quel rang voulez-vous ?"
9 LIRE n
10 TANT_QUE (n<2) FAIRE 11 DEBUT_TANT_QUE
12 AFFICHER "Quel rang voulez-vous?"
13 LIRE n
15/19 - Chapitre n°9 : Suites, partie 2 14 FIN_TANT_QUE
15 u PREND_LA_VALEUR 1 16 v PREND_LA_VALEUR 1 17 POUR i ALLANT_DE 2 A n 18 DEBUT_POUR
19 ...
20 ...
21 ...
22 FIN_POUR 23 AFFICHER r 24 FIN_ALGORITHME 3. Testez cet algorithme.
Exercice n°17**
Ex.126 p.132 Exercice n°18***
On considère les suites a et b définies par :
{
ab00==6020 et, pour tout entier n,{
abn+1n+1==2ana+n44+b2bnn1. À l'aide d'un outils numérique (tableur, calculatrice, algorithme, calcul formel...), calculez les 5 premiers termes des suites a et b.
2. On définit les suites u et v suivantes : pour tout entier n, un = an + bn et vn = bn – an.
À l'aide d'un outils numérique (tableur, calculatrice, algorithme, calcul formel...), calculez les 5 premiers termes des suites u et v.
3. Conjecturez la nature des suites u et v. 4. Démontrez cette conjecture.
5. Déterminez les expressions explicites de u et v en fonction n. 6. En déduire les expressions explicites de a et b en fonction de n.
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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.
Act.1 : 1.2100 et 2350 2. mai 2012 : 3600 – juin 2013 : 6850 3. Indice : un=2100+n×...
Act.2 : 1. Indice : 1,0... 2.u1 = 6 096 000 000 ; u2 = 6 193 536 000 ; u3 = 6 292 632 576 ; un+1= un×...
4.Indice : un = 6 000 000 000 ×1,016....
Ex.1 : Ex17 : vn=vn−1+.... Ex19 : 126 ; 18n Ex.2 : Ex22: 3
2 Ex23 : raison 5
Ex.3 : 1. Non 2. Non 3. Oui, r=-5 4.Non Ex.4 : 1. Oui, r=5. 2. Oui, r= 1
5 3. Oui, r=0 4. Non Ex.5 : a. arithmétique, r=-2 b. géométrique, r= 1
3 c. arithmétique, r=-4 d. géométrique, r=0,97 e.
arithmétique,r= 3
5 f. ni l'un ni l'autre g. ni l'un ni l'autre.
Ex.6 : 9,11,...,25 Ex.7 : 45 045 Ex.8 : 87 380
Ex.9 : 1. 49 205 2. 107 567 595
Ex.10 : 1. b1=32 100, c1=28 800, b2=34 347,c2=27 648 2. bn+1=1,07bn et cn+1=0,96cn 3.bn=30 000×1,07n, cn=30 000×0,96n.
Ex.11 : 1.a.l0=50, l1=25, l2=12,5 b. ln=50π
2n 2. a. 6375π
64
≈
312,9 m b. 626Ex.12 : 1. u1=408, u2=624,32, u3≈849,29 2. un+1=1,04un+200 3.a. v0=5 200, v1=5 408, v2=5624,32 b.
vn+1=1,04vn(géométrique de raison 1,04) 3.c.vn=5 200×1,04n et un=5200×1,04n-5000 4. 11 années.
Ex.1 3 : un empilement de 78 cubes de hauteur (Attention : de nombreux calculs sont nécessaires...) Ex.14 : 1.d1 = 2, d2 = 1. 2.dn+1= 1
2 dn. (dn) est géométrique de premier terme d0 = 4 et de raison 1 2 .3.
dn= 1
2n−2 4. Sn=8×(1- 1
2n+1 ) 5. 8 6. Non 7.n = 12.
Ex.15 : une infinité.
Ex.16 : 1. u2=3, u3=5,u4=8,u5=13 2. v=u+v, et u=v Ex.17 : 1. u2 = 7
2 et u3 = 23
4 . 2. a. vn+1 = 3
2 un+1 – 3
2 un 2.b.vn+1=3
2 vn : géométrique, 1er terme : 1, raison : 3
2 3. Somme des n premiers termes vn : un – u0. un=2×{3 2}
n
-1.
Ex.18 : 1. 2.
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3. u et v sont géométriques. 5. un=80×0,75n , vn=40×0,25n 6. an=80×0,75n– 40×0,25n 2
bn=80×0,75n+40×0,25n 2
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