Chapitre n°7: Suites, partie 2/2 Objectifs :

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Chapitre n°7: Suites, partie 2/2 Objectifs :

Niveau a eca n

C7.a ¹ Savoir utiliser le théorème de convergence des suites

croissantes majorées/décroissantes minorées.

Cours n°1

Chapitre n°7: Suites, partie 2/2

I) Convergences des suites monotones

Définition n°1

Une suite (

u

_n) est dite majorée (respectivement minorée) s'il existe un réel M , tel que, pour tout n,...(respectivement …...)

Propriété n°1

Si une suite (

u

_n) est croissante (respectivement décroissante) et converge vers un nombre réel l, alors la suite (

u

_n) est …...

(…...) Autrement dit :

Une suite croissante et convergente est …...

Une suite décroissante et convergente est …...

Démonstration (R.O.C.) : (par l'absurde)

Supposons que (

u

_n) soit croissante, converge vers un nombre l et ne soit pas majorée.

Alors, quelque soit le nombre réel A choisi,...

…...

Choisissons A = l.

En ce cas,

u

_n₀>...., donc l'intervalle ] l – 1 ;

u

_n₀ [ …... …..

lim

n→+∞u_n=l , donc, ... …... …... …... …... …... , I

…... …... les termes de la suite.

Choisissons le rang n2 le plus grand entre n0 et n1 : à partir de ce rang n2 , tous les termes de la suite sont …... ...

Donc n2 ... n0 et

u

_n₂ …

u

_n₀ (puisque

u

_n₂ …... ).

Mais la suite (

u

_n) est …..., ce qui est contradictoire.

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Donc (

u

_n) est …...

Exemple n°1

On donne la suite (

u

_n ) définie par

u

_n

= 1

n ²

. Est-elle majorée? Minorée ?

...

Propriété n°2 (admise)

Une suite croissante et majorée …...

Une suite …... et minorée …...

Propriété n°3

Une suite convergente est …...

(Donc une suite non bornée est …...)

Démonstration :

lim

n→+∞u_n=l Donc, il existe un rang n0 à partir duquel

…...

...

Exemple n°2

On donne la suite (

u

_n ) définie par

u

₀ = 75 et

u

_n+1

=0,6 u

_n

+50

. 1. Démontrer que, pour tout entier n,

u

_n

<u

_n+1

⩽125

.

...

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...

2. En déduire que (

u

_n ) que est convergente.

...

Interrogation n°1 Objectifs :

C7.a_Niv1 :

Savoir utiliser le théorème de convergence des suites croissantes majorées/décroissantes minorées.

Exercice n°1 Ex.32 p.23 Exercice n°2

Ex.34 p.23 Exercice n°3*

Ex.41 p.23 Exercice n°4**

Ex.91 p.27 Exercice n°5***

Sujet D p.36 Exercice n°6**

Ex.125 p.37 Exercice n°7**

Ex.127 p.37

Exercice n°8***

Ex.133 p.38 Exercice n°9**

Ex.131 p.38

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Résultats ou indices

Ex.1 (32 p.23) : 2. Non

Ex.2 (34 p.23) : 1b. Oui 1c. Oui 2. positif 3. Hypothèse confirmée.

Ex.3 (41 p.23) : 1b. Minorée par -4. 3. décroissante.

Ex.4 (91 p.27) : /

Ex.5 (D p.36) : 1.a. 1.b. décroissante et 1.→ 3.b.

u

_n

= 4 n+ 15

4 n+ 3

3.c. 1.

Ex.6 (125 p.37) : 1.

3. décroissante 4. 3.

Ex.7 (127 p.37) : 1.b. 0.3. (un) est croissante et (vn) est décroissante.

Ex.8 (133 p.38) : 1.c. 5

Ex.9 (131 p.38) : 1.a.u2=125. 2.a.v1=500. 2.b. 1,05 2.d. 10000(1,05ⁿ–1) 3. Au bout de 22 jours, Marc aura gagné 10000€.

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :