Chapitre n°6: Nombres imaginaires, partie 1/2
Objectifs :
Niveau a eca n
C6.a 1
Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre imaginaire, calculer avec des nombres imaginaires, savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.
C6.b 1 Savoir calculer avec des nombres imaginaires.
C6.c 1 Savoir résoudre des équations du premier degré
comportant des nombres imaginaires.
C6.d 2 Savoir résoudre des équations du premier degré
comportant des nombres imaginaires.
C6.e 1 Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire
C6.f 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire
d'un quotient de nombres imaginaires.
C6.g 1 Savoir résoudre une équation du second degré dans C
C6.h 1 Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un
vecteur et son affixe.
C6.i 1 Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire.
C6.j 2 Savoir utiliser le module dans des situations
géométriques.
Activité d'approche n°1 : Pourquoi de nouveaux nombres
Au XVIème siècle, les mathématiciens italiens, dont Cardan, mettent au point des règles, plus ou moins connues partiellement auparavant, pour trouver des solutions d’équations de degré 3 ou 4. On donne ci-dessous la règle de Cardan pour trouver une solution de l’équation .
Vocabulaire : Dans l'équation x3 +px = q, l’inconnue x est nommée « la chose », p est nommé le « nombre de la chose », et q est nommé le « nombre de l’équation » 1. Compléter :
Règle de Cardan Exemple : x3 + 24x = 56 Le tiers du nombre de la chose, élevé au
cube, étant obtenu, on y ajoute le carré de la moitié du nombre de l’équation et, du tout, on extrait la racine carrée que l’on met de côté.
...
...
...
...
...
...
...
Le demi-nombre que l’on a élevé au carré, tu ajoutes ou tu enlèves l’autre : tu as le binôme avec son apotome.
...
(binôme)
...
(apotome)
En extrayant la racine cubique du binôme et celle de son apotome, le résidu de leur différence est la valeur de la racine.
... = ... et ... = ...
... – ... = ...
2 est la valeur d’une racine de l’équatio
2. Vérifier que
2
est bien solution de l’équationx
3+ 24x = 56
....
3.Appliquer la règle de Cardan à l’équation
x
3– 36x = 91
, en vous aidant de l’exemple donné. Obtient-on bien une solution de cette équation ?...
...
...
...
...
...
...
...…
4. Appliquer la règle de Cardan à
x
3– 6x = 6
. Donner une valeur approchée de la solution obtenue et contrôler ce résultat graphiquement....
...
...
...
...
...
...
...
5.
L’équation cruciale Soit
(E)
:x
3– 15x = 4
.b. Commencer à appliquer la règle de cardan. Que se passe-t-il ?
...
... ...
... ...
... ...
L’audace de Bombelli
Ce mathématicien décide de poursuivre les calculs malgré tout…
√
121=11donc «√
−121»serait égal à «
11 √
−1 » même si ceci n’existe pas ! Grâce à cette audace, Bombelli réussit à prouver que 4 est bien solution de (E) (la démonstration sera effectuée plus loin).√
−1 n’ayant pas de sens, on utilisera à la place le symbole i, inventé par Euler au XVIIIème siècle.Ces nouveaux nombres sont appelés nombres imaginaires.
6.
Calculer avec des nombres imaginaires
On calcule comme avec les réels en remplaçant
i
2 par-1
dès qu’il se présente : Exemple n°1 :2 + 3i + 4 + i = 6 +4i
.Exemple n°2 :
i(2 + 3i) = 2i – 3
a. Calculer :
4 + i – 5 + 3i =
…...
b. Calculer :
2 + 4i – (1 + 3i) =
…...
. c. Calculer :(2 + i)(3 – i) =
…...
…...
...
.d. Calculer :
(–2 – 2i)(3 + 4i) =
…...
…...
...
.e. Calculer :
(i + 2)
2.=
…...
…...
...
.f. Calculer :
(i + 2)
3=
…...
…...
...
.e. Calculer :
(i – 2)
2.=
…...
…...
...
.f. Calculer :
(i – 2)
3=
…...
…...
...
.g. Déduire des résultats précédents
√
311i+2 et√
311i−2.…...
…...
…...
...
.h. Résoudre l'équation
x
2= –1
…...
…...
…...
…...
…...
…...
...
.7. En utilisant
i
, poursuivre la résolution dex
3– 15x = 4
initiée à la question 5b....
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1 : Nombres imaginaires,forme algébrique.
I) Nombres imaginaires: forme algébrique.
Propriété n°1 (admise)
Il existe un ensemble, noté … , appelé ensemble des nombres imaginaires, et qui possède les propriétés suivantes :
a. Cet ensemble contient
…...
b. L'addition et la multiplication dans
IR
se prolongent dans …. et les règles de calculs restent les mêmes.c. ….. contient un nombre imaginaire, noté …, et tel que ….....
=
…...d. Tout nombre imaginaire
z
s'écrit de manière unique sous la forme…...,
a
etb
étant des nombres réels.Démonstration du a:
Les nombres de la forme
a+0i
sont réels.Vocabulaire
Si un nombre imaginaire s'écrit …..., alors : a. …... s'appelle la forme algébrique de
z.
Exemple n°1
Si
z = 1 – 2i
, re(z)=...
etim(z)=...
Si
z = √
– 2, re(z)=...
etim(z)=...
Si
z = – 2i
, re(z)=...
etim(z)=...
re(4i – 2) = …...
etim(4i – 2) = …...
Exemple n°2
On sait que
z
1= 3 – 4i
et quez
2= 2 + 3i
Calculer :
z
1+ z
2 :…...
...
z
1– z
2 :…...
...
z
1× z
2 :…...
...
...
z1 z2 :
…...
...
...
...
...
Propriété n°2
1.
0
est le nombre imaginaire ………....
2. Deux nombres imaginaires sont égaux si et seulement si leur parties réelles et leurs parties imaginaires………...
Démonstration :
1. Les nombres de la forme
a+0i
sont réels.Donc 0 est de la forme ………..
2.
z
1= z
2 est équivalent àz
1– z
2= …..
D'après 1.,
………
………..
Exemple n°3
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
5z + 1 = 4i – 2.
...
...
...
...
...…
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
5z + 1 = 4z – 2i
...
...
...
...
...…
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
(7i – 5)z – 2i – 2 = (6i – 8)z + 4i – 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C6_1 (/9) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.a 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire
d'un nombre imaginaire.
C6.b 1 Savoir calculer avec des nombres imaginaires.
C6.c 1 savoir résoudre des équations du premier degré
comportant des nombres imaginaires.
C6.d 2 savoir résoudre des équations du premier degré
comportant des nombres imaginaires.
Ex.1 [/2]
Si
z = 6 – 2i
, re(z)=...
etim(z)=...
Si
z = √
6, re(z)=...
etim(z)=...
Si
z = – 6i
, re(z)=...
etim(z)=...
re(8i + 8) = …...
etim(8i + 8) = …...
Ex.2 [/3]
On sait que
z
1= 1 – 7i
et quez
2= 1 + 6i
Calculer :
z
1+ z
2 :…...
...
...
z
1– z
2 :…...
...
...
z
1× z
2 :…...
...
...
...
z1 z2 :
…...
...
...
...
...
...
Ex.3 [/2]
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
6z + 8 = 5i – 2.
...
...
...
...
...
...
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
4z + 2 = 2z – 8i
...
...
...
...
...
...
Ex.4 [/2]
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique):
(6i – 4)z –7i +9 = (8i – 7)z +4i +2 .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ....
...
...
Resultats
Ex.1 : r
e(z)=6
;im(z)=2
. re(z)= √
6 ;im(z)=0
. re(z)=0
;im(z)=6
. re(z)=+ 8
;im(z)=
8 Ex.2 :z
1+ z
2= 2+ 13i ; z
1– z
2= 0+ 1i ; z
1× z
2= -41+ 13i
; z1z2
=
4337
+
137
i
Ex.3 : -5 3
+
56
i
;−1-
4i
. Ex.4 :− 11130
-
3130
i
.Interrogation n°1 Objectifs :
C6.a_Niv1 :Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre imaginaire.
C6.b_Niv1 : Savoir calculer avec des nombres imaginaires.
C6.c_Niv1 : Savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.
C6.d_Niv2 : Savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.
Exercice n°1
Ex.54 p.212Exercice n°2
Ex.79 p.214
Cours n°2 : Conjugué d'un nombre imaginaire II) Conjugué d'un nombre imaginaire
Définition n°2
Soit
z = a + ib
un nombre imaginaire. On appelle …... du nombre imaginairez
le nombre imaginaire notéz
telle quez = …...
Exemple n°4 :
Si z = 4 –
5i
, alorsz = …...
Propriété n°3
Soient
z
etz'
deux nombres imaginaires. Alors : 1.z+z'=z+z'
2.
z
×z'=z×z'
3. zn
= z
n4.
zz = a
2+ b
25. z
= z
6. Si
z' ≠ 0
, alors(
z 'z) =
z '¯¯z Démonstration :1.
z+z' = a + ib + a' + ib' =... = …...
z+z' =...
2.
z
×z' = (a + ib)
×(a' + ib') =...
z
×z' =...
z
×z' = (a + ib)
×(a' + ib') =...
z
×z' = …...
Donc : …...
3. Par r... :
…...
...
...
...
...
...
...
...
4.
zz = (a + ib)
×(a + ib) =
…...
5. z
=
a+ib=...
6.
(
z 'z) =
z '1 ×z= (
z '1)
×z.
Or
(
z '1) =
z '1 × z 'z '
=
z 'a '2+b '2
=
z 'a '2+b'2et 1 z '
=
1z ' × z ' z '
=
z 'a '2+b'2 Donc
(
z '1) =
z '1 et(
z 'z) = (
z '1)
×z=
z '1×z=
zz '
Exemple n°5
Donner la partie réelle et la partie imaginaire de 4+6i
−3−4i : 4+6i
−3−4i= 4+6i
−3−4i×−3−4i
−3−4i
=...
(on multiplie le dénominateur et le numérateur par le conjugué du dénominateur) Donc r
e (
−3−44+6ii) =...
etim (
−3−44+6ii) =...
Se tester C6_2 (/4) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.e 1 Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire
C6.f 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire
d'un quotient de nombres imaginaires.
Ex.1 (/1)
Si z = 3 +4
i
, alorsz = …...
Ex.2 (/3)
On sait que
z
1= 4 – 7i
et quez
2= 7 + 6i .
Donner la partie réelle et la partie imaginaire de z1 z2 :
…...
...
...
...…………..……….
…...
...
...
...
...………..
…...
...
...
...
...
...
...……….
Résultats
Ex.1 : 3-4i
.Ex.2 :−14 85
-
7385
i
.Interrogation n°2 Objectifs :
C6.e_Niv1 :Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire
C6.f_Niv1 :Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un quotient de nombres imaginaires.
Exercice n°3
Ex.8 p.210Exercice n°4
Ex.66 p.213
Cours n°3 : Équation du second degré à coefficients réels.
III) Équation du second degré à coefficients réels.
Propriété n°4
Soit az²+bz+c=0une équation du second degré dans C avec
a
,b
, etc
trois nombres réels.On note
=b² – 4ac
.a. Si
>0
l'équation admet deux solutions réelles distinctes :z
1=
−b−√
Δ2a et
z
2=
−b+√
Δ 2ab. Si
=0
l'équation admet une unique solutionz
0=
−b2a
c. Si
<0
, l'équation admet deux solutions imaginaires distinctes :z
1=
−b−i√
−Δ2a et
z
2=
...... (conjugué de
z
1) Démonstration :Pour les cas a et b : voir la démonstration de première.
Pour le cas c : la mise sous forme canonique va donner :
az²+bz+c=a (
z2+......z+...…
)
¿
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°6
Résoudrez²+2z+5=0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C6_3 (/4) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.g 1 Savoir résoudre une équation du second degré dans C.
Ex.1
Résoudre dans C :
4 z
²+4z+ 10=0....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats
Ex.1 :−12
- √
92
i
et −1 2+ √
92
i
.Interrogation n°3 Objectifs :
C6.g_Niv1:Savoir résoudre une équation du second degré dans C.
Exercice n°5
Ex.81 p.214Exercice n°6 (algorithme)
Ex.82 p.214Cours n°4 : Représentation géométrique des nombres imaginaires.
IV) Représentation géométrique des nombres imaginaires . Définition n°3
Soit (O; ⃗u ; ⃗v)un repère orthonormé (orienté dans le sens trigonométrique).
Soit
z = a+ib
un nombre imaginaire.Alors le point
M (a;b)
est l'image du nombre imaginairez
, etz
est l'affixe du pointM.
Soit ⃗w un vecteur de coordonnées
(a;b)
.z = a+ib
est l'affixe de ⃗w.Exemple n°7
Soit
z
1= -3 -4i
. PlacerA ,
image dez
1. Quelle est l'affixe deB ?
…...
Quelle est l'affixe de ⃗AB ?
…...
…...
Propriété n°5
1. Deux vecteurs sont égaux, si, et seulement si, ils ont même affixe.
2. Le milieu
I
de[AB]
a pour affixe zI= zA+zB 2-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
-1 -2 -3 -4 -5
y
x B
Exemple n°8
On considère les points
A
,B
etC
d'affixes respectives :z
A= 1
,z
B= 3+2i
etz
C =3 – 2i
. Sont-ils alignés ?…...
...
...
...….……..…….…….………..……..………….….
Se tester C6_4 (/6) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.h 1 Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un
vecteur et son affixe.
Ex.1 (/3)
Soit
z
1= -4-5i
. PlacerB ,
image dez
1.Quelle est l'affixe de
A
? …...Quelle est l'affixe de ⃗AB ?…...
Ex.2 (/3)
On considère les points
A
,B
etC
d'affixes respectives :z
A= -2 – 2i
,z
B= -4 + 4 i
etz
C= 8 + 8 i
. Sont-ils alignés ?…...
...
...
...
O I
J A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
Résultats
Ex.1 :z
A= -7 +3i
.z
AB= 3-8i
.Ex.2 : Non
Interrogation n°4 Objectifs :
C6.h_Niv1:Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un vecteur et son affixe.
Exercice n°7
Ex.12 p.210Exercice n°8
Ex.13 p.210
O I
J A
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
Propriété n°6
Soit
A
un point du plan muni d'un repère(O;
⃗u;
⃗v)
etz
A son affixe. Alors|
zA|
est………..
Démonstration :
…...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°7
1.zz = …....
2. |zz '|
= …...
3. |¯z|
=…....
4. |−z|
=…....
5. |zn|
=…....
6.
|
z 'z| =…....
Démonstration :
…...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°9
On considère les points
A
,B
etC
d'affixes respectives :z
A= 1
,z
B= 3+2i
etz
C =3 – 2i
.Calculer
|
z⃗AB|
,|
z⃗BC|
et|
z⃗AC|
. En déduire la nature deABC
.…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
...
Remarque :
Attention : |z+z '|...|z|+|z '|
Propriété n°8 (rappel)
1. L'ensemble des points du plan situés à une distance
R
d'un pointA
forme……….
2. L'ensemble des points du plan situés à égale distance de deux points
A
etB
est………
Exemple n°10
1. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation :
|z−i+2|=|z +3i−4|
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...…
2. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation |z−i+2|=4
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
Interrogation C6_5 (/6) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.i 1 Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire
C6.j 2 Savoir utiliser le calcul du module dans des situations
géométriques.
Ex.1
Dans un repère orthonormé
(O;
⃗i;
⃗j) ,
on considère les pointsA
,B
etC
d'affixes respectives :z
A= 4+9i
;z
B= 11+ 17i
;z
C= -4+ 16i
.[/6] Calculer
|
z⃗AB|
,|
z⃗BC|
et|
z⃗AC|
. En déduire la nature deABC
.…...
...
...
...
...
...
...………...
…...
...
...………..…………...
…...
...
...………..
…...
...
...
...
...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
...…
Résultats
Ex.1 : Triangle rectangle isocèle en AInterrogation n°5 Objectifs :
C6.i_Niv1:Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire
C6.j_Niv2 : Savoir utiliser le calcul du module dans des situations géométriques.
Exercice n°9
Ex.16 p.210Exercice n°10*
Ex.19 p.211
Exercice n°11*
Ex.102 p.215
Exercice n°12**
Ex.184 p.227
Résultats ou indices
Ex.1 (54 p.212) :x = 1
ety = –
32 Ex.2 (79 p.214) : 1. 1
2
–
32
i
et 1 2+
32
i
2.1 + 2i
et1 – 2i
3. −1−√
52 et −1+
√
5 2 4. 56
–
√
116
i
et 56
+ √
116
i
Ex.3 (8 p.210) : dans le désordre : 1+i
3–2i ;
(1+i)(-3–11i) ;
−5i4+i
;
−2–3i5+i
; 1–3i(1+i) ; -i(9 –2i)
Ex.4 (66 p.213) : a.
(1 – i z )(1 + 2 z ).
b.z
3– 2i z
2+ 1 + 3i
. Ex.5 (81 p.214) : 1.√
5,– √
5,1
et-1
2.2i
,-2i
,-i
eti
3.-2
,2
,-i
eti.
Ex.6 (82 p.214) : Un test à faire sur le signe de delta...
Ex.7 (12 p.210) : dans le désordre :
1-i ;-1+2i ;2+i ;1+3i ;3+2i ;3 ;-2+2i ;-2i
Ex.8 (13 p.210) :
Ex.9 (16 p.210) :
|z
A|=|z
E|=2
;|z
B|=2,5
;|z
C|=|z
F|=3
;|z
D|=|z
G|=1
Ex.10 (19 p.211) :
25.
Ex.11 (102 p.215) : Dans le désordre :
Médiatrice de [AB] avec A(2i) et B(-2+3i).
Cercle de centre O et de rayon 3. Cercle de centre (i) et de rayon 5.
Ex.12 (184 p.227) : 3.
1
et4
4. 12
+ √
32i
,– √
32i
,2 – √
3et2 + √
3.Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … / …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
Date d’aujourd’hui : ...
Nom, prénom et classe :
…...
* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__
* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…
Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...
Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … / …
Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)
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…...
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Chapitre n°6: Nombres imaginaires, partie 1/2
Objectifs :
Niveau a eca n
C6.a 1
Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre imaginaire, calculer avec des nombres imaginaires, savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.
C6.b 1 Savoir calculer avec des nombres imaginaires.
C6.c 1 Savoir résoudre des équations du premier degré
comportant des nombres imaginaires.
C6.d 2 Savoir résoudre des équations du premier degré
comportant des nombres imaginaires.
C6.e 1 Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire
C6.f 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire
d'un quotient de nombres imaginaires.
C6.g 1 Savoir résoudre une équation du second degré dans C
C6.h 1 Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un
vecteur et son affixe.
C6.i 1 Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire.
C6.j 2 Savoir utiliser le module dans des situations
géométriques.
Activité d'approche n°1 : Pourquoi de nouveaux nombres
Au XVIème siècle, les mathématiciens italiens, dont Cardan, mettent au point des règles, plus ou moins connues partiellement auparavant, pour trouver des solutions d’équations de degré 3 ou 4. On donne ci-dessous la règle de Cardan pour trouver une solution de l’équation .
Vocabulaire : Dans l'équation x3 +px = q, l’inconnue x est nommée « la chose », p est nommé le « nombre de la chose », et q est nommé le « nombre de l’équation » 1. Compléter :
Règle de Cardan Exemple : x3 + 24x = 56 Le tiers du nombre de la chose, élevé au
cube, étant obtenu, on y ajoute le carré de la moitié du nombre de l’équation et, du tout, on extrait la racine carrée que l’on met de côté.
...
...
...
...
...
...
...
Le demi-nombre que l’on a élevé au carré, tu ajoutes ou tu enlèves l’autre : tu as le binôme avec son apotome.
...
(binôme)
...
(apotome)
En extrayant la racine cubique du binôme et celle de son apotome, le résidu de leur différence est la valeur de la racine.
... = ... et ... = ...
... – ... = ...
2 est la valeur d’une racine de l’équatio
2. Vérifier que
2
est bien solution de l’équationx
3+ 24x = 56
....
3.Appliquer la règle de Cardan à l’équation
x
3– 36x = 91
, en vous aidant de l’exemple donné. Obtient-on bien une solution de cette équation ?...
...
...
...
...
...
...
...…
4. Appliquer la règle de Cardan à
x
3– 6x = 6
. Donner une valeur approchée de la solution obtenue et contrôler ce résultat graphiquement....
...
...
...
...
...
...
...
5.
L’équation cruciale Soit
(E)
:x
3– 15x = 4
.b. Commencer à appliquer la règle de cardan. Que se passe-t-il ?
...
... ...
... ...
... ...
L’audace de Bombelli
Ce mathématicien décide de poursuivre les calculs malgré tout…
√
121=11donc «√
−121»serait égal à «
11 √
−1 » même si ceci n’existe pas ! Grâce à cette audace, Bombelli réussit à prouver que 4 est bien solution de (E) (la démonstration sera effectuée plus loin).√
−1 n’ayant pas de sens, on utilisera à la place le symbole i, inventé par Euler au XVIIIème siècle.Ces nouveaux nombres sont appelés nombres imaginaires.
6.
Calculer avec des nombres imaginaires
On calcule comme avec les réels en remplaçant
i
2 par-1
dès qu’il se présente : Exemple n°1 :2 + 3i + 4 + i = 6 +4i
.Exemple n°2 :
i(2 + 3i) = 2i – 3
a. Calculer :
4 + i – 5 + 3i =
…...
b. Calculer :
2 + 4i – (1 + 3i) =
…...
. c. Calculer :(2 + i)(3 – i) =
…...
…...
...
.d. Calculer :
(–2 – 2i)(3 + 4i) =
…...
…...
...
.e. Calculer :
(i + 2)
2.=
…...
…...
...
.f. Calculer :
(i + 2)
3=
…...
…...
...
.e. Calculer :
(i – 2)
2.=
…...
…...
...
.f. Calculer :
(i – 2)
3=
…...
…...
...
.g. Déduire des résultats précédents
√
311i+2 et√
311i−2.…...
…...
…...
...
.h. Résoudre l'équation
x
2= –1
…...
…...
…...
…...
…...
…...
...
.7. En utilisant
i
, poursuivre la résolution dex
3– 15x = 4
initiée à la question 5b....
...
...
...
...
...
...
...
Cours n°1 : Nombres imaginaires,forme algébrique.
I) Nombres imaginaires: forme algébrique.
Propriété n°1 (admise)
Il existe un ensemble, noté … , appelé ensemble des nombres imaginaires, et qui possède les propriétés suivantes :
a. Cet ensemble contient
…...
b. L'addition et la multiplication dans
IR
se prolongent dans …. et les règles de calculs restent les mêmes.c. ….. contient un nombre imaginaire, noté …, et tel que ….....
=
…...d. Tout nombre imaginaire
z
s'écrit de manière unique sous la forme…...,
a
etb
étant des nombres réels.Démonstration du a:
Les nombres de la forme
a+0i
sont réels.Vocabulaire
Si un nombre imaginaire s'écrit …..., alors : a. …... s'appelle la forme algébrique de
z.
Exemple n°1
Si
z = 1 – 2i
, re(z)=...
etim(z)=...
Si
z = √
– 2, re(z)=...
etim(z)=...
Si
z = – 2i
, re(z)=...
etim(z)=...
re(4i – 2) = …...
etim(4i – 2) = …...
Exemple n°2
On sait que
z
1= 3 – 4i
et quez
2= 2 + 3i
Calculer :
z
1+ z
2 :…...
...
z
1– z
2 :…...
...
z
1× z
2 :…...
...
...
z1 z2 :
…...
...
...
...
...
Propriété n°2
1.
0
est le nombre imaginaire ………....
2. Deux nombres imaginaires sont égaux si et seulement si leur parties réelles et leurs parties imaginaires………...
Démonstration :
1. Les nombres de la forme
a+0i
sont réels.Donc 0 est de la forme ………..
2.
z
1= z
2 est équivalent àz
1– z
2= …..
D'après 1.,
………
………..
Exemple n°3
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
5z + 1 = 4i – 2.
...
...
...
...
...…
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
5z + 1 = 4z – 2i
...
...
...
...
...…
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
(7i – 5)z – 2i – 2 = (6i – 8)z + 4i – 1.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C6_1 (/9) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.a 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire
d'un nombre imaginaire.
C6.b 1 Savoir calculer avec des nombres imaginaires.
C6.c 1 savoir résoudre des équations du premier degré
comportant des nombres imaginaires.
C6.d 2 savoir résoudre des équations du premier degré
comportant des nombres imaginaires.
Ex.1 [/2]
Si
z = 1 – 5i
, re(z)=...
etim(z)=...
Si
z = √
9, re(z)=...
etim(z)=...
Si
z = – 6i
, re(z)=...
etim(z)=...
re(8i – 5) = …...
etim(8i – 5) = …...
Ex.2 [/3]
On sait que
z
1= 9 – 8i
et quez
2= 6 + 7i
Calculer :
z
1+ z
2 :…...
...
...
z
1– z
2 :…...
...
...
z
1× z
2 :…...
...
...
...
z1 z2 :
…...
...
...
...
...
...
Ex.3 [/2]
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
2z + 7 = 3i – 1.
...
...
...
...
...
...
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique) :
3z + 4 = 5z – 1i
...
...
...
...
...
...
Ex.4 [/2]
Résoudre dans C (on donnera l'éventuelle solution sous forme algébrique):
(6i – 6)z +3i +3 = (4i – 5)z –7i –5.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ....
...
...
Resultats
Ex.1 : r
e(z)=1
;im(z)=5
. re(z)= √
9 ;im(z)=0
. re(z)=0
;im(z)=6
. re(z)=– 5
;im(z)=
8 Ex.2 :z
1+ z
2= 15+ 15i ; z
1– z
2= 3+ 1i ; z
1× z
2= -2+ 111i
; z1z2
=
2217
-
317
i
Ex.3 : -4
+
32
i
;2+
12
i
. Ex.4 :−1725
+
425
i
.Interrogation n°1 Objectifs :
C6.a_Niv1 :Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre imaginaire.
C6.b_Niv1 : Savoir calculer avec des nombres imaginaires.
C6.c_Niv1 : Savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.
C6.d_Niv2 : Savoir résoudre des équations du premier degré comportant des nombres imaginaires.
Exercice n°1
Ex.54 p.212Exercice n°2
Ex.79 p.214
Cours n°2 : Conjugué d'un nombre imaginaire II) Conjugué d'un nombre imaginaire
Définition n°2
Soit
z = a + ib
un nombre imaginaire. On appelle …... du nombre imaginairez
le nombre imaginaire notéz
telle quez = …...
Exemple n°4 :
Si z = 4 –
5i
, alorsz = …...
Propriété n°3
Soient
z
etz'
deux nombres imaginaires. Alors : 1.z+z'=z+z'
2.
z
×z'=z×z'
3. zn
= z
n4.
zz = a
2+ b
25. z
= z
6. Si
z' ≠ 0
, alors(
z 'z) =
z '¯¯z Démonstration :1.
z+z' = a + ib + a' + ib' =... = …...
z+z' =...
2.
z
×z' = (a + ib)
×(a' + ib') =...
z
×z' =...
z
×z' = (a + ib)
×(a' + ib') =...
z
×z' = …...
Donc : …...
3. Par r... :
…...
...
...
...
...
...
...
...
4.
zz = (a + ib)
×(a + ib) =
…...
5. z
=
a+ib=...
6.
(
z 'z) =
z '1 ×z= (
z '1)
×z.
Or
(
z '1) =
z '1 × z 'z '
=
z 'a '2+b '2
=
z 'a '2+b'2et 1 z '
=
1z ' × z ' z '
=
z 'a '2+b'2 Donc
(
z '1) =
z '1 et(
z 'z) = (
z '1)
×z=
z '1×z=
zz '
Exemple n°5
Donner la partie réelle et la partie imaginaire de 4+6i
−3−4i : 4+6i
−3−4i= 4+6i
−3−4i×−3−4i
−3−4i
=...
(on multiplie le dénominateur et le numérateur par le conjugué du dénominateur) Donc r
e (
−3−44+6ii) =...
etim (
−3−44+6ii) =...
Se tester C6_2 (/4) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.e 1 Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire
C6.f 1 Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire
d'un quotient de nombres imaginaires.
Ex.1 (/1)
Si z = 5 –3
i
, alorsz = …...
Ex.2 (/3)
On sait que
z
1= 4 – 7i
et quez
2= 1 + 3i .
Donner la partie réelle et la partie imaginaire de z1 z2 :
…...
...
...
...…………..……….
…...
...
...
...
...………..
…...
...
...
...
...
...
...……….
Résultats
Ex.1 : 5+3i
.Ex.2 :−17 10
-
1910
i
.Interrogation n°2 Objectifs :
C6.e_Niv1 :Savoir calculer le conjugué d'un nombre imaginaire
C6.f_Niv1 :Savoir déterminer la partie réelle et la partie imaginaire d'un quotient de nombres imaginaires.
Exercice n°3
Ex.8 p.210Exercice n°4
Ex.66 p.213
Cours n°3 : Équation du second degré à coefficients réels.
III) Équation du second degré à coefficients réels.
Propriété n°4
Soit az²+bz+c=0une équation du second degré dans C avec
a
,b
, etc
trois nombres réels.On note
=b² – 4ac
.a. Si
>0
l'équation admet deux solutions réelles distinctes :z
1=
−b−√
Δ2a et
z
2=
−b+√
Δ 2ab. Si
=0
l'équation admet une unique solutionz
0=
−b2a
c. Si
<0
, l'équation admet deux solutions imaginaires distinctes :z
1=
−b−i√
−Δ2a et
z
2=
...... (conjugué de
z
1) Démonstration :Pour les cas a et b : voir la démonstration de première.
Pour le cas c : la mise sous forme canonique va donner :
az²+bz+c=a (
z2+......z+...…
)
¿
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°6
Résoudrez²+2z+5=0.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Se tester C6_3 (/4) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.g 1 Savoir résoudre une équation du second degré dans C.
Ex.1
Résoudre dans C :
5 z
²+5z+ 6,25=0....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Résultats
Ex.1 :−12
- √
42
i
et − 1 2+ √
42
i
.Interrogation n°3 Objectifs :
C6.g_Niv1:Savoir résoudre une équation du second degré dans C.
Exercice n°5
Ex.81 p.214Exercice n°6 (algorithme)
Ex.82 p.214Cours n°4 : Représentation géométrique des nombres imaginaires.
IV) Représentation géométrique des nombres imaginaires . Définition n°3
Soit (O; ⃗u ; ⃗v)un repère orthonormé (orienté dans le sens trigonométrique).
Soit
z = a+ib
un nombre imaginaire.Alors le point
M (a;b)
est l'image du nombre imaginairez
, etz
est l'affixe du pointM.
Soit ⃗w un vecteur de coordonnées
(a;b)
.z = a+ib
est l'affixe de ⃗w.Exemple n°7
Soit
z
1= -3 -4i
. PlacerA ,
image dez
1. Quelle est l'affixe deB ?
…...
Quelle est l'affixe de ⃗AB ?
…...
…...
Propriété n°5
1. Deux vecteurs sont égaux, si, et seulement si, ils ont même affixe.
2. Le milieu
I
de[AB]
a pour affixe zI= zA+zB 2-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
-1 -2 -3 -4 -5
y
x B
Exemple n°8
On considère les points
A
,B
etC
d'affixes respectives :z
A= 1
,z
B= 3+2i
etz
C =3 – 2i
. Sont-ils alignés ?…...
...
...
...….……..…….…….………..……..………….….
Se tester C6_4 (/6) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.h 1 Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un
vecteur et son affixe.
Ex.1 (/3)
Soit
z
1= -3-5i
. PlacerB ,
image dez
1.Quelle est l'affixe de
A
? …...Quelle est l'affixe de ⃗AB ?…...
Ex.2 (/3)
On considère les points
A
,B
etC
d'affixes respectives :z
A= 2 + 2 i
,z
B= -4 + 4 i
etz
C= -8 – 8i
. Sont-ils alignés ?…...
...
...
...
O I
J
A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
Résultats
Ex.1 :z
A= +8 -2i
.z
AB= -11-3i
.Ex.2 : Non
Interrogation n°4 Objectifs :
C6.h_Niv1:Savoir associer un point et son affixe, savoir associer un vecteur et son affixe.
Exercice n°7
Ex.12 p.210Exercice n°8
Ex.13 p.210
O I
J
A
B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
Propriété n°6
Soit
A
un point du plan muni d'un repère(O;
⃗u;
⃗v)
etz
A son affixe. Alors|
zA|
est………..
Démonstration :
…...
...
...
...
...
...
...
...
Propriété n°7
1.zz = …....
2. |zz '|
= …...
3. |¯z|
=…....
4. |−z|
=…....
5. |zn|
=…....
6.
|
z 'z| =…....
Démonstration :
…...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°9
On considère les points
A
,B
etC
d'affixes respectives :z
A= 1
,z
B= 3+2i
etz
C =3 – 2i
.Calculer
|
z⃗AB|
,|
z⃗BC|
et|
z⃗AC|
. En déduire la nature deABC
.…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
...
Remarque :
Attention : |z+z '|...|z|+|z '|
Propriété n°8 (rappel)
1. L'ensemble des points du plan situés à une distance
R
d'un pointA
forme……….
2. L'ensemble des points du plan situés à égale distance de deux points
A
etB
est………
Exemple n°10
1. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation :
|z−i+2|=|z +3i−4|
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
…...…
2. Déterminer l'ensemble des points dont les affixes vérifient la relation |z−i+2|=4
…...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
Interrogation C6_5 (/6) Objectifs :
Niveau a eca n
C6.i 1 Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire
C6.j 2 Savoir utiliser le calcul du module dans des situations
géométriques.
Ex.1
Dans un repère orthonormé
(O;
⃗i;
⃗j) ,
on considère les pointsA
,B
etC
d'affixes respectives :z
A= 5+7i
;z
B= 12+ 11i
;z
C= 1+ 14i
.[/6] Calculer
|
z⃗AB|
,|
z⃗BC|
et|
z⃗AC|
. En déduire la nature deABC
.…...
...
...
...
...
...
...………...
…...
...
...………..…………...
…...
...
...………..
…...
...
...
...
...
...
...
…...
...
...
…...
...
...
...…
Résultats
Ex.1 : Triangle rectangle isocèle en AInterrogation n°5 Objectifs :
C6.i_Niv1:Savoir calculer le module d'un nombre imaginaire
C6.j_Niv2 : Savoir utiliser le calcul du module dans des situations géométriques.
Exercice n°9
Ex.16 p.210Exercice n°10*
Ex.19 p.211
Exercice n°11*
Ex.102 p.215
Exercice n°12**
Ex.184 p.227
