Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2 Objectifs :

(1)

Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2 Objectifs :

Niveau a eca n

C10.a 1 Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée.

notation exponentielle.

C10.b 1 Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

C10.c 1 Savoir interpréter Z =

c – a b – a

^.

C10.d 1 Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Activité d'approche n°1

Sur la figure ci-contre,

(O;I,J)

est un repère orthonormé direct.

1. Donner ou calculer les affixes de tous les points de la figure :

I

:...…

J

:...…

H

:...…

K

:...…

C

:...…

F

:...…

Q

:...…

B

:...…

D

:...…

G

:...…

L

:...…

N

:...…

A

:...…

E:...…

M

:...…

P

:...…

R

:...…

2. Donner les modules des affixes de chacun des points :

…...

...

...…

3. Si

X

est un point d'affixe

z

X

= a+ib

, et  la mesure principale de l'angle orienté que forme

⃗ OX

avec

⃗ OI

, calculer

a

et

b

en fonction du module

| ^z

X

|

^de

^z

^X^{et de}^^:

...

I J

O

A B

D C

E

G F

H K

L M

N P

Q R

(2)

Cours n°1

Chapitre n°10 : Nombres imaginaires Partie 2/2

I) Forme trigonométrique d'un nombre imaginaires Définition n°1

Soit

z

M

= a + ib

un nombre imaginaire non nul et

M

son image dans un repère

(O ; ⃗ u

, ⃗ j ).

On appelle argument de

z

M une m..………....…….

………..

( ⃗ u ; ⃗ OM )

On note :

arg(z

M

) = ( ⃗ u ; ⃗ OM )

à

2

^près.

Propriété n°1

Soit

z

un nombre imaginaire non nul de la forme

a+ib,

de module

|z |

et d'argument

arg(z)

.

Alors, on a :

a=...

¿ ¿ b=...

{

¿

et

arg ( z )

¿ ... ¿

¿ arg ( ^z ) ¿

cos ¿ ¿

¿¿ ¿

z = a+ib

et

z = | z | × (…...)

Cette dernière expression est une forme trigonométrique de

z

.

Exemple n°1 :

arg(i) = …...

et

| i| =...

arg(5) = …...

et

| 5 | =...

arg(1+i) = …...

et

| 1+i| =...

arg( √ ³ ₂ ⁺ ¹ ₂ i) = …...

et

| ^√ ² ³ ⁺ ¹ ² ⁱ | =...

Exemple n°2 :

Écrire sous forme algébrique le nombre imaginaire

z

de module

4

et d'argument

– π 6

^.

...

...…

(3)

...

Exemple n°3 :

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre imaginaire (justifier) :

z = √ ³ ( ^cos ⁽ ^π ³ ⁾ ⁺ ⁱ ^sin ⁽ ^{− π} ³ ⁾ )

: ...

…...

.

z = − √ ³ ( ^cos ⁽ ^π ³ ⁾ ⁺ ⁱ ^sin ⁽ ^π ³ ⁾ )

: ...

…...

.

z = √ ³ ⁽ ^cos ⁱ ^sin ⁰ ⁾ : ...

…...

.

Se Tester n°1 - C10_1 (/11)

Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1 (/6) :

Compléter :

1.arg ( ^√ ² ² ^– ^√ ² ² ⁱ ) = …... et | ^√ ² ² ^– ^√ ² ² ⁱ | =...

2.arg ( 7 ) = …... et | 7 |=...

3.arg ( 7i ) = …... et | 7 i|=...

Exercice n°2 (/2) :

Écrire sous forme algébrique le nombre complexe

z

de module

9

et d'argument

−π 3

...

...Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe :

z = − √ ²

2 – √ ²

2 i .

(4)

...

Exercice n°3 (/3) :

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre complexe (justifier) :

1. √ ⁹ ( ^cos ⁽ ^π ² ⁾ ⁺ ^isin ⁽ ^– ² ^π ⁾ )

2. – √ ³ ( ^cos ⁽ ³ ^π ⁾ ^+isin ⁽ ^π ³ ⁾ )

3. √ ³ ( ^cos ⁽ ⁹ ^π ⁾ ^+isin ⁽ ⁹ ^π ⁾ )

…...

...

Interrogation n°1 Objectifs :

C10.a_Niv1 :

Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée. notation exponentielle.

Exercice n°1

Ex.23 p.211

Exercice n°2

Ex.27 p.211

Exercice n°3*

Ex.28 p.211

Exercice n°4*

Ex.115 p.216

Cours n°2

II) Propriétés des arguments des nombres imaginaires Propriété n°2

z

et

z'

sont des nombres imaginaires non nuls. Alors :

1. (produit) :

arg( zz' ) = …... ... …... + 2k 

^,

k ∈ Z

.

(5)

3. (quotient) :

arg ( ^{z '} ^z ) = …... ... …... + 2k

^,

k ∈ Z

. Démonstration :

Dans la suite,

r = |z |

^,

= ` arg z , r' = | z '| ,  ' = ` arg z '

1. z = r

( ^cos ⁽ ^ ⁾ ⁺ ⁱ ^sin ⁽ ^ ⁾ )

^et^{z' = r'}

( ^cos ⁽ ^ ^' ⁾ ⁺ ⁱ ^sin ⁽ ^ ^' ⁾ )

zz' = …...

…

zz' =

rr'

...

zz' =

rr'

...

zz' =

rr' ( ^cos ( ... + ... ) + i sin ( ... + ... ) )

2. Par récurrence :

...

...…

3. Soit

z ' ' = z '

z

^{. Alors}

z' =...

On applique ensuite 1.

Exemple n°4

On considère

z= 1

2 +i √ ³ ₂

^et

^z'=i

. Déterminer les formes trigonométriques de

z

et

z'.

Calculer

Arg(zz')

et

| zz ' |

.Placer l'image de

zz'

.

...

Placer les images de

z

et

z'

sur le cercle ci-contre.

Exemple n°5

On considère

z= 1

2 +i √ ³ ₂

. Déterminer la forme algébrique de

z

²⁰¹⁵.

...

Se Tester n°2 - C10_2 (/5)

Objectifs :

(6)

Niveau a eca n C10.b 1 Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module

d'un nombre imaginaire.

Exercice n°1 (/3)

On considère

z= √ ²

2 – √ ²

2 i

et

z'=i

.

1. Déterminer les formes trigonométriques de

z

et

z’

,puis, sans calculer

zz’

, calculer

Arg(zz')

et

| zz ' |

^.

...…

...…...

…...

…...….

...……..

…...

...…...……..

…...

...………..

…...

...…...……..

…...………..

2. En utilisant les informations précédentes, placer l'image de

zz'

sur le cercle ci- dessus.

3. En utilisant les informations sur

z

et

z’

, placer les images de

z

et

z'

Exercice n°2 (/2)

On considère

z = √ ³

2 – 1

2 i

z

²⁰¹⁸.

...

...…

(7)

C10.b_Niv1 :

Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

Exercice n°5

Ex.123 p.216

Exercice n°6

Ex.126 p.216

Cours n°3

Propriété n°3

On se place dans un repère

(O; ⃗ u ; ⃗ j ).

Pour tout point

A

et

B

d'affixes respectives

z

A

et

z

B,

( ⃗ u

;

⃗ AB ) = arg(

...

) + 2k , k ∈ Z.

Démonstration :

Géométriquement, en traçant un représentant de

⃗ AB

, d'origine

O

.

Propriété n°4

(O; ⃗ u ; ⃗ j ).

z

A,

z

B,

z

C et

z

D sont quatre imaginaires distincts d'images respectives

A

,

B

,

C

et

D

. Alors :

1.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) ⁼ ⁽ ^⃗ ^CA; ^⃗ ^CB ⁾ ^{+ 2k} ^ ^{, k} ^∈ ^Z.

2.

arg ( ^z ^z

^D^B

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^A

) ⁼ ⁽ ^⃗ ^{AB ;} ^⃗ ^CD ⁾ ^{+ 2k} ^ ^{, k} ^∈ ^Z.

1.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) = …...– …... + 2k  , k ∈ Z.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) ⁼ ⁽ ^⃗ ^{u ;} ^... ⁾ ^… ⁽ ^⃗ ^{u ;} ^... ⁾ ^{+ 2k} ^ ^, ^k ^∈ ^Z.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) ⁼ ⁽ ^⃗ ^{u ;} ^... ⁾ ^… ⁽ ^... ^; ^... ⁾ ^{+ 2k} ^ ^, ^k ^∈ ^Z.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) ⁼ ⁽ ^... ^; ^... ⁾ ^{+ 2k} ^ ^, ^k ^∈ ^Z.

2. Même principe.

(8)

Exemple n°7

On considère les points

A

,

B

et

C

a = 3+6i

,

b = 4+7i

et

c = 4 + 5i .

1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument de

Z = c – a b – a

^.

...

2. En déduire la nature du triangle

ABC

.

...

Se Tester n°3 - C10_3 (/4)

Objectifs :

Niveau a eca n

c – a b – a

^.

Exercice n°1

On considère les points

A

,

B

et

C

d'affixes respectives

a = 4+4i

,

b = 6+2i

et

c = 2 + 2i

Calculer

Z = c – a

b – a

^,

| Z|

et en déduire la nature du triangle

ABC

.

...

(9)

...

... ...

...

C10.c_Niv1 :

Savoir interpréter Z =

c – a b – a

^. Exercice n°7

Ex.149 p.217

Exercice n°8

Ex.150 p.217

Exercice n°9

Ex.151 p.217

Activité d'approche n°2

Posons f() = cos + isin.

1. Démontrer que

f( + ' ) = f()×f(')

.

...

2. Démontrer que

( f

⁽

θ

⁾

)

ⁿ

⁼ f ( n θ )

...

3. Démontrer que

f '(  )=if (  )

...

(10)

...

4. Calculer

1 f ( θ )

en fonction de

f(-)

...

5. Calculer

f(0).

...

f

⁽

θ

⁾

f ( θ ' ) ⁼ ^f ( θ %−θ ' )

...

7. À quelle fonction fait penser

f

?

...

Cours n°4

III) Notation exponentielle Définition n°2

On définit la notation suivante :

e

^i

= cos  + i sin 

qui désigne le nombre imaginaire de module

1

et d'argument

 . Propriété n°5

On a les propriétés suivantes : 1.

e

ⁱ⁽^+^')

= e

^i

×e

^i'

2.

( e

ⁱ^θ

)

ⁿ⁼

e

^{i n}^θ (formule de Moivre) 3.

e

ⁱ⁰

=1

4.

e

^{i( – ')}

= e

^iθ

e

ⁱ^θ^'

Démonstration :

Cf activité d'approche précédente.

Exemple n°8

Calculer sous forme algébrique :

e

ⁱ²^π =...

e

ⁱ

π2 =...

e

ⁱ^π =...

e

⁻ⁱ^π² =...

(11)

Propriété n°6

Tout nombre imaginaire non nul

z

s'écrit sous la forme

|z |e

ⁱ^θ où 

= arg(z)+ 2k  , k ∈ Z.

Exemple n°9

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme algébrique : 1.

z

1

= 2e

⁻ⁱ

π 2

:

…...

...

2.

z

2

= √ ^{2 e}

³ⁱ ^π⁴

^:

…...

...

Exemple n°10

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme exponentielle : 1.

z

3

= 2i :

…...

...

2.

z

4

= √ ^{3 - 1 :}

…...

...

Exemple n°11 :

Soit z=3

e

ⁱ

π

3 . Démontrer que

z

⁵⁷ est un nombre réel et déterminer son signe.

…...

...

Exemple n°12 :

En utilisant

( e

ⁱ^θ

)

³

= e

ⁱ³^θ , exprimer cos 3 en fonction de

cos

³



^{et de}

sin

³



^.

…...

...

(12)

...

Se Tester n°4 - C10_4 (/16)

Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1 (/8)

Calculer sous forme algébrique : 1.

e

ⁱ

–π 4

:...

.

2.

e

ⁱ

3π 4

:...

.

3.

e

ⁱ

–π 3

:...

.

4.

e

ⁱ

–5π 6

:...

.

5.

e

ⁱ

–3π 4

:...

.

6.

e

ⁱ

π4

:...

.

(13)

7.

e

ⁱ^π⁶

:...

.

8.

e

ⁱ

5π 6

:...

.

9.

e

ⁱ^π²

:...

.

10.

e

ⁱ

2π 3

:...

.

11.

e

ⁱ

–2π 3

:...

.

12.

e

ⁱ^2π

:...

...

13.

e

⁻ⁱ^π

:...

.

14.

e

ⁱ^π³

:...

.

15.

e

ⁱ^π

:...

.

16.

e

ⁱ

–π 2

:...

.

17.

e

ⁱ

–π 6

:...

..

Exercice n°2 (/2)

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : 1.

z

1

= 2e

ⁱ

–π 2

:

…...

...

2.

z

2

= √ ^2e

ⁱ^π³

^:

…...

(14)

...

Exercice n°3 (/2)

Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle : 1.

z

3

= 7i :

…...

...

2.

z

4

= √ ^{5 - 1 :}

…...

...

Exercice n°4 (/2)

Soit z=3

e

ⁱ ^π³ . Démontrer que

z

⁴⁸ est un nombre réel et déterminer son signe.

…...

...

…...

...

Exercice n°5 (/2)

Exprimer sin(3



)

en fonction de

cos

³



^{et de}

sin

³



^.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

Interrogation n°4

(15)

C10.c_Niv1 :

avoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Exercice n°10

Ex.34 p.211

Exercice n°11

Ex.35 p.211

Exercice n°12

Ex.49 p.212

Exercice n°13***

Sujet A p.225

Exercice n°14***

Sujet C p.225

Exercice n°15***

Ex.187 p.227

Exercice n°16***

Ex.196 p.229

(16)

(17)

Résultats ou indices

Ex.1 (

23 p.211) :

Ex.2 (27 p.211) :

cos ( ^−π ³ ) ⁺ⁱ ^sin ( ^−π ³ )

6 ¿

)

et

3 – 3| z

₁

z

₂

| i

Ex.3* (28 p.211) : 1.

| z

₁

| =1 ; | z

₂

| = 2 ; | z

₃

| = √ ²

^2.

^arg(z

¹

⁾⁼ ^π ₂

^;

^arg(z

²

^{)= }

^;

^arg(z

³

⁾⁼

π 4 ^{3. z}

¹

⁼ cos ( ^π ² ) ⁺ⁱ ^sin ( ^π ² )

^;

^z

²

^=cos

⁽

^π

⁾

2 ⁺ ¿ ⁱ ^sin

⁽

^π

⁾

; z

3

= cos ( ^π ⁴ ) ⁺ ⁱ ^sin ( ^π ⁴ )

√ ² ^¿

Ex.4* (

115 p.216) : Dans le désordre : z= cos ( ⁵ ⁶ ^π ) ⁺ ⁱ ^sin ( ⁵ ⁶ ^π )

2 ¿

;

z=

cos ( ⁻ ⁶ ² ^π ) ⁺ ⁱ ^sin ( ⁻² ⁶ ^π )

6 ¿

;

z= cos ( ³ ⁴ ^π ) ⁺ⁱ ^sin ( ³ ⁴ ^π )

6 ¿

;

z= cos ( ^−π ⁶ ) ⁺ⁱ ^sin ( ^−π ⁶ )

4 ¿

;

z=

cos ( ³ ⁴ ^π ) ⁺ ⁱ ^sin ( ³ ⁴ ^π )

3 √ ² ^¿

;

z= cos ( ^π ⁴ ) ⁺ ⁱ ^sin ( ^π ⁴ )

5 √ ² ^¿

Ex.5 (123 p.216) : 1.

| z

₁

z

₂

| = √ ²

^et

^arg(z

¹

^z

²

⁾⁼ ³ ₄ ^π

^{. 2.}

^z

¹

^z

²

^{= –1 + i =}

cos ( ³ ⁴ ^π ) ⁺ⁱ ^sin ( ³ ⁴ ^π )

√ ^2¿

Ex.6 (126 p.216) : 1.

(1+i)

⁵

= –4 – 4i

2.

(1+i √ ^{3 )}

⁷

= 64 + i 64 √ ³

^{. 3.}

^{(2 – 2i} √ ^{3 )}

⁷

⁼

4096

.

Ex.7 (149 p.217) : 1.a.

–i = cos ( ^−π ² ) ⁺ ⁱ ^sin ( ^−π ² )

^2.

^ABC

est un triangle rextangle isocèle en

A

.

Ex.8 (150 p.217) : 2.

ABC

est un triangle équilatéral.

Ex.9 (151 p.217) : 4.

OAB

est un triangle rectangle isocèle en

O

. Ex.10 (34 p.211) : Dans le désordre :

e

⁻ⁱ

π3

e

ⁱ^π

e

ⁱ

2π 3

Ex.11 (35 p.211) : a.

1

et

π

3

^b.

1

et

− 2 π 3

^.

Ex.12 (49 p.212) :

Z= 2 x

x

²

+ y

²

–i 2 y x

²

+ y

²

Ex.13*** (Sujet A p.225) : 1.

z

1

=1+i

;

z

2

=i

;

z

3

= – 1 2 + 1

2 i

;

z

4

= – 1

2

^.3.

n9

(à prouver par le calcul).4. triangle rectangle isocèle en

A

n+1.

(18)

Ex.14*** (Sujet C p.225) : 1.a.

| z

₁

| = √ ^{2 ; |} ^z

²

^{| =} √ ²

^et

^arg(z

¹

^{)= –} ^π ₄ ^{, arg(z}

²

⁾⁼ ^π ₄

1.b.

4 – 2i

et

2 – 2i

. 2.a.

z

B

=1 – i

et

z

C

=2 – 2i

. 2.d. Le quotient vaut

i

.

IAC

est rectangle isocèle en

I

. 2.e.

–2 – 4i

. 2.f.

4 – 2i

Ex.15*** (187 p.227) : 1.

z

1

= – √ ^{2 +} √ ^{2 i=} ^cos ( ³ ⁴ ^π ) ⁺ ⁱ ^sin ( ³ ⁴ ^π )

2 ¿

et

z

2

= – √ ^{2 –} √ ²

i= cos ( ⁻ ³ ⁴ ^π ) ⁺ ⁱ ^sin ( ⁻ ⁴ ³ ^π )

2 ¿

2.c.

3 π

8

^2.d.

z

I

= 1– √ ^{2 +} √ ^{2 i}

^et

^| ^z

¹

^| ⁼ √ ² ^– √ ²

^{. 3.}

^cos

3 π

8 = √ ² ^– √ ²

2

^et

sin 3 π

8 = √ ² ⁺ √ ²

2

Ex.16*** (196 p.229) : 1.a.

P(-1)=0

1.b.

a = – 4

et

b=7

1.c.

S = { -1 ; 2 – i √ ^{3 ; 2 + i}

√ ^{3 }}

^2.b.

AB=AC=BC=2 √ ^{3 .}

^2.c.

^π ₂

^2.d.

^GAC

est rectangle en

C

. 3.

A(-1;0)

,

C(2 ;– √ ³

)

et

G(–3;0)

4.c.

(D)

est la perpendiculaire à

(GC)

passant par

A

.

(19)

(20)

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations :

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois :

Se tester C__.__ : ex.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__

Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

Cours n°__ : Exempl.n° : … / … / … / … | Chap.n°__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

…...

C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

(21)

Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2 Objectifs :

Niveau a eca n

c – a b – a

^.

Activité d'approche n°1

Sur la figure ci-contre,

(O;I,J)

est un repère orthonormé direct.

1. Donner ou calculer les affixes de tous les points de la figure :

I

:...…

J

:...…

H

:...…

K

:...…

C

:...…

F

:...…

Q

:...…

B

:...…

D

:...…

G

:...…

L

:...…

N

:...…

A

:...…

E:...…

M

:...…

P

:...…

R

:...…

2. Donner les modules des affixes de chacun des points :

…...

...

...…

3. Si

X

est un point d'affixe

z

X

= a+ib

, et  la mesure principale de l'angle orienté que forme

⃗ OX

avec

⃗ OI

, calculer

a

et

b

en fonction du module

| ^z

X

|

^de

^z

^X^{et de}^^:

...

I J

O

A B

D C

E

G F

H K

L M

N P

Q R

(22)

Cours n°1

Chapitre n°10 : Nombres imaginaires Partie 2/2

I) Forme trigonométrique d'un nombre imaginaires Définition n°1

Soit

z

M

= a + ib

un nombre imaginaire non nul et

M

son image dans un repère

(O ; ⃗ u

, ⃗ j ).

On appelle argument de

z

M une m..………....…….

………..

( ⃗ u ; ⃗ OM )

On note :

arg(z

M

) = ( ⃗ u ; ⃗ OM )

à

2

^près.

Propriété n°1

Soit

z

un nombre imaginaire non nul de la forme

a+ib,

de module

|z |

et d'argument

arg(z)

.

Alors, on a :

a=...

¿ ¿ b=...

{

¿

et

arg ( z )

¿ ... ¿

¿ arg ( ^z ) ¿

cos ¿ ¿

¿¿ ¿

z = a+ib

et

z = | z | × (…...)

Cette dernière expression est une forme trigonométrique de

z

.

Exemple n°1 :

arg(i) = …...

et

| i| =...

arg(5) = …...

et

| 5 | =...

arg(1+i) = …...

et

| 1+i| =...

arg( √ ³ ₂ ⁺ ¹ ₂ i) = …...

et

| ^√ ² ³ ⁺ ¹ ² ⁱ | =...

Exemple n°2 :

Écrire sous forme algébrique le nombre imaginaire

z

de module

4

et d'argument

– π 6

^.

...

...…

(23)

...

Exemple n°3 :

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre imaginaire (justifier) :

z = √ ³ ( ^cos ⁽ ^π ³ ⁾ ⁺ ⁱ ^sin ⁽ ^{− π} ³ ⁾ )

: ...

…...

.

z = − √ ³ ( ^cos ⁽ ^π ³ ⁾ ⁺ ⁱ ^sin ⁽ ^π ³ ⁾ )

: ...

…...

.

z = √ ³ ⁽ ^cos ⁱ ^sin ⁰ ⁾ : ...

…...

.

Se Tester n°1 - C10_1 (/11)

Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1 (/6) :

Compléter :

1.arg ( ^√ ² ³ ^– ¹ ² ⁱ ) = …... et | ¹ ² ⁺ ^√ ² ³ ⁱ | =...

2.arg ( 9i ) = …... et | 9 i|=...

3.arg ( 6 ) = …... et | 6 |=...

Exercice n°2 (/2) :

Écrire sous forme algébrique le nombre complexe

z

de module

9

et d'argument

π 3

...

...Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe :

z = √ ³

2 + 1

2 i .

(24)

...

Exercice n°3 (/3) :

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre complexe (justifier) :

1. √ ⁸ ( ^cos ⁽ ⁹ ^π ⁾ ^+isin ⁽ ⁹ ^π ⁾ )

2. √ ⁴ ( ^cos ⁽ ^π ⁸ ⁾ ^+isin ⁽ ^– ⁸ ^π ⁾ )

3. – √ ⁶ ( ^cos ⁽ ² ^π ⁾ ^+isin ⁽ ^π ² ⁾ )

…...

...

C10.a_Niv1 :

Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée. notation exponentielle.

Exercice n°1

Ex.23 p.211

Exercice n°2

Ex.27 p.211

Exercice n°3*

Ex.28 p.211

Exercice n°4*

Ex.115 p.216

Cours n°2

II) Propriétés des arguments des nombres imaginaires Propriété n°2

z

et

z'

sont des nombres imaginaires non nuls. Alors :

1. (produit) :

arg( zz' ) = …... ... …... + 2k 

^,

k ∈ Z

.

(25)

3. (quotient) :

arg ( ^{z '} ^z ) = …... ... …... + 2k

^,

k ∈ Z

. Démonstration :

Dans la suite,

r = |z |

^,

= ` arg z , r' = | z '| ,  ' = ` arg z '

1. z = r

( ^cos ⁽ ^ ⁾ ⁺ ⁱ ^sin ⁽ ^ ⁾ )

^et^{z' = r'}

( ^cos ⁽ ^ ^' ⁾ ⁺ ⁱ ^sin ⁽ ^ ^' ⁾ )

zz' = …...

…

zz' =

rr'

...

zz' =

rr'

...

zz' =

rr' ( ^cos ( ... + ... ) + i sin ( ... + ... ) )

2. Par récurrence :

...

...…

3. Soit

z ' ' = z '

z

^{. Alors}

z' =...

On applique ensuite 1.

Exemple n°4

On considère

z= 1

2 +i √ ³ ₂

^et

^z'=i

. Déterminer les formes trigonométriques de

z

et

z'.

Calculer

Arg(zz')

et

| zz ' |

.Placer l'image de

zz'

.

...

Placer les images de

z

et

z'

sur le cercle ci-contre.

Exemple n°5

On considère

z= 1

2 +i √ ³ ₂

z

²⁰¹⁵.

...

Se Tester n°2 - C10_2 (/5)

(26)

Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1 (/3)

On considère

z= √ ³

2 + 1

2 i

et

z'=i

.

1. Déterminer les formes trigonométriques de

z

et

z’

,puis, sans calculer

zz’

, calculer

Arg(zz')

et

| zz ' |

^.

...…

...…...

…...

…...….

...……..

…...

...…...……..

…...

...………..

…...

...…...……..

…...………..

2. En utilisant les informations précédentes, placer l'image de

zz'

3. En utilisant les informations sur

z

et

z’

, placer les images de

z

et

z'

Exercice n°2 (/2)

On considère

z = √ ²

2 – √ ²

2 i

z

²⁰¹².

...

...…

(27)

C10.b_Niv1 :

Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

Exercice n°5

Ex.123 p.216

Exercice n°6

Ex.126 p.216

Cours n°3

Propriété n°3

(O; ⃗ u ; ⃗ j ).

Pour tout point

A

et

B

z

A

et

z

B,

( ⃗ u

;

⃗ AB ) = arg(

...

) + 2k , k ∈ Z.

Géométriquement, en traçant un représentant de

⃗ AB

, d'origine

O

.

Propriété n°4

(O; ⃗ u ; ⃗ j ).

z

A,

z

B,

z

C et

z

D sont quatre imaginaires distincts d'images respectives

A

,

B

,

C

et

D

. Alors :

1.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) ⁼ ⁽ ^⃗ ^CA; ^⃗ ^CB ⁾ + 2k , k ∈ Z.

2.

arg ( ^z ^z

^D^B

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^A

) ⁼ ⁽ ^⃗ ^{AB ;} ^⃗ ^CD ⁾ + 2k , k ∈ Z.

1.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) = …...– …... + 2k  , k ∈ Z.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) ⁼ ⁽ ^⃗ ^{u ;} ^... ⁾ ^… ⁽ ^⃗ ^{u ;} ^... ⁾ ^{+ 2k} ^ ^, ^k ^∈ ^Z.

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) ⁼ ⁽ ^⃗ ^{u ;} ^... ⁾ ^… ⁽ ^... ^; ^... ⁾ ^{+ 2k} ^ ^, ^k ^∈ ^Z.

(28)

arg ( ^z ^z

^B^A

⁻ ⁻ ^z ^z

^C^C

) ⁼ ⁽ ^... ^; ^... ⁾ ^{+ 2k} ^ ^, ^k ^∈ ^Z.

2. Même principe.

Exemple n°7

On considère les points

A

,

B

et

C

a = 3+6i

,

b = 4+7i

et

c = 4 + 5i .

1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument de

Z = c – a b – a

^.

...

2. En déduire la nature du triangle

ABC

.

...

Se Tester n°3 - C10_3 (/4)

Objectifs :

Niveau a eca n

c – a b – a

^.

Exercice n°1

On considère les points

A

,

B

et

C

d'affixes respectives

a = 9+2i

,

b = 9+7i

et

c = 4 + 2i

Calculer

Z = c – a

b – a

^,

| Z|

et en déduire la nature du triangle

ABC

.

...

(29)

...

... ...

...

C10.c_Niv1 :

Savoir interpréter Z =

c – a b – a

^. Exercice n°7

Ex.149 p.217

Exercice n°8

Ex.150 p.217

Exercice n°9

Ex.151 p.217

Activité d'approche n°2

Posons f() = cos + isin.

1. Démontrer que

f( + ' ) = f()×f(')

.

...

( f

⁽

θ

⁾

)

ⁿ

⁼ f ( n θ )

...

3. Démontrer que

f '(  )=if (  )

(30)

...

4. Calculer

1 f ( θ )

en fonction de

f(-  )

...

5. Calculer

f(0).

...

f

⁽

θ

⁾

f ( θ ' ) ⁼ ^f ( θ %−θ ' )

...

7. À quelle fonction fait penser

f

?

...

Cours n°4

III) Notation exponentielle Définition n°2

On définit la notation suivante :

e

ⁱ^

= cos  + i sin 

qui désigne le nombre imaginaire de module

1

et d'argument

 . Propriété n°5

On a les propriétés suivantes : 1.

e

ⁱ⁽^+^')

= e

ⁱ^

×e

ⁱ^^'

2.

( ^e

ⁱ^θ

)

ⁿ⁼

e

^{i n}^θ (formule de Moivre) 3.

e

ⁱ⁰

= 1

4.

e

^{i( – ')}

= e

^iθ

e

ⁱ^θ^'

Démonstration :

Cf activité d'approche précédente.

Exemple n°8

(31)

e

ⁱ ^π² =...

e

ⁱ^π =...

e

⁻ⁱ

π

2 =...

e

ⁱ ^π³ =...

Propriété n°6

Tout nombre imaginaire non nul

z

s'écrit sous la forme

|z |e

ⁱ^θ où 

= arg(z)+ 2k , k ∈ Z.

Exemple n°9

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme algébrique : 1.

z

1

= 2e

⁻ⁱ

π2

:

…...

...

2.

z

2

= √ ^{2 e}

³ⁱ ^π⁴

^:

…...

...

Exemple n°10

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme exponentielle : 1.

z

3

= 2i :

…...

...

2.

z

4

= √ ^{3 - 1 :}

…...

...

Exemple n°11 :

Soit z=3

e

ⁱ

π3 . Démontrer que

z

⁵⁷ est un nombre réel et déterminer son signe.

…...

...

(32)

Exemple n°12 :

En utilisant

( ^e

ⁱ^θ

)

³

⁼ ^e

ⁱ³^θ , exprimer cos 3 en fonction de

cos

³



^{et de}

sin

³



^.

…...

...

Se Tester n°4 - C10_4 (/16)

Objectifs :

Niveau a eca n

Exercice n°1 (/8)

1.

e

ⁱ^π⁴

:...

.

2.

e

ⁱ

–2π 3

:...

.

3.

e

ⁱ

–π 2

:...

.

4.

e

ⁱ

π2

:...

.

5.

e

ⁱ

–3π 4

(33)

6.

e

ⁱ^2π

:...

...

7.

e

⁻ⁱ^π

:...

.

8.

e

ⁱ^π³

:...

.

9.

e

ⁱ

–5π 6

:...

.

10.

e

ⁱ

3π 4

:...

.

11.

e

ⁱ^π

:...

.

12.

e

ⁱ

2π 3

:...

.

13.

e

ⁱ

5π 6

:...

.

14.

e

ⁱ^π⁶

:...

.

15.

e

ⁱ

–π 3

:...

.

16.

e

ⁱ

–π 4

:...

.

17.

e

ⁱ

–π 6

:...

..

Exercice n°2 (/2)

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : 1.

z

1

= 2e

ⁱ

3π 4

:

…...

...

(34)

...

2.

z

2

= √ ^2e

ⁱ^5π⁶

^:

…...

...

Exercice n°3 (/2)

Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle : 1.

z

3

= 7i :

…...

...

2.

z

4

= √ ^{8 - 1 :}

…...

...

Exercice n°4 (/2)

Soit z=3

e

ⁱ ^π³ . Démontrer que

z

³⁶ est un nombre réel et déterminer son signe.

…...

...

…...

...

Exercice n°5 (/2)

Exprimer sin(3)

en fonction de

cos

³



^{et de}

sin

³



^.

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

(35)

C10.c_Niv1 :

avoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Exercice n°10

Ex.34 p.211

Exercice n°11

Ex.35 p.211

Exercice n°12

Ex.49 p.212

Exercice n°13***

Sujet A p.225

Exercice n°14***

Sujet C p.225

Exercice n°15***

Ex.187 p.227

Exercice n°16***

Ex.196 p.229

(36)

Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2 Objectifs :