Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2 Objectifs :
Niveau a eca n
C10.a 1 Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée.
notation exponentielle.
C10.b 1 Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.
C10.c 1
Savoir interpréter Z = c – a b – a .
C10.d 1 Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.
Activité d'approche n°1
Sur la figure ci-contre, (O;I,J) est un repère orthonormé direct.
1. Donner ou calculer les affixes de tous les points de la figure :
I :...…
J :...…
H :...…
K :...…
C :...…
F :...…
Q :...…
B :...…
D :...…
G :...…
L :...…
N :...…
A :...…
E:...…
M :...…
P :...…
R :...…
2. Donner les modules des affixes de chacun des points :
…...
...
...…
3. Si X est un point d'affixe zX = a+ib, et la mesure principale de l'angle orienté que forme ⃗OX avec ⃗OI , calculer a et b en fonction du module |zX| de zX et de :
...
... ...
...
...
I J
O
A B
D C
E
G F
H K
L M
N P
Q R
Cours n°1
Chapitre n°10 : Nombres imaginaires Partie 2/2
I) Forme trigonométrique d'un nombre imaginaires Définition n°1
Soit zM = a + ib un nombre imaginaire non nul et M son image dans un repère (O ;
⃗u, ⃗j). On appelle argument de zM une m..………....…….
……….. (⃗u;⃗OM )
On note : arg(zM) = (⃗u;⃗OM ) à 2 près.
Propriété n°1
Soit z un nombre imaginaire non nul de la forme a+ib, de module |z| et d'argument
arg(z).
Alors, on a :
{a=...
b=... et {cos(arg(z))=...
sin(arg(z))=...
|z|=...
z = a+ib et z = |z|×(…...)
Cette dernière expression est une forme trigonométrique de z.
Exemple n°1 :
arg(i) = …... et |i|=...
arg(5) = …... et |5|=...
arg(1+i) = …... et |1+i|=...
arg( √ 3
2 + 1
2 i) = …... et |√23+12i|=...
Exemple n°2 :
Écrire sous forme algébrique le nombre imaginaire z de module 4 et d'argument –π 6 . ...
...
...…
Écrire sous forme trigonométrique le nombre imaginaire : z = – √ 5+i√ 5.
...
...
...
...
Exemple n°3 :
Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre imaginaire (justifier) :
z = √ 3(cos(π3)+isin(−π3 )) : ...
…...
.
z = −√ 3(cos( π3)+isin(π3)) : ...
…...
.
z = √ 3(cos 0+isin 0) : ...
…...
.
Interrogation n°1 Objectifs :
C10.a_Niv1 : Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée. notation exponentielle.
Exercice n°1 Ex.23 p.211 Exercice n°2
Ex.27 p.211 Exercice n°3*
Ex.28 p.211 Exercice n°4*
Ex.115 p.216
Cours n°2
II) Propriétés des arguments des nombres imaginaires Propriété n°2
z et z' sont des nombres imaginaires non nuls. Alors :
1. (produit) : arg( zz' ) = …... ... …... + 2k , k ∈Z. 2. (puissance) : arg( zn ) = …... + 2k , k ∈Z.
3. (quotient) : arg( z 'z ) = …... ... …... + 2k , k ∈Z. Démonstration :
Dans la suite, r = |z| , = argz , r' = |z '| , ' = argz ' 1. z = r (cos()+isin()) et z' = r' (cos(')+isin('))
zz' = …...…
zz' = rr'...
zz' = rr'...
zz' = rr' (cos(...+...)+isin(...+...))
2. Par récurrence :
...
...
...
...
...
...
...…
3. Soit z ' '=z '
z . Alors z'=... On applique ensuite 1.
Exemple n°4
On considère z= 1 2 +i√ 3
2 et z'=i. Déterminer les formes trigonométriques de z et z'.
Calculer Arg(zz') et |zz '| .Placer l'image de zz'.
...
...
...
Placer les images de z et z' sur le cercle ci-contre.
Exemple n°5
On considère z= 1 2 +i√ 3
2 . Déterminer la forme algébrique de z2015.
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°2 Objectifs :
C10.b_Niv1 : Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.
Exercice n°5 Ex.123 p.216 Exercice n°6
Ex.126 p.216
Cours n°3
Propriété n°3
On se place dans un repère (O; ⃗u; ⃗j).Pour tout point A et B d'affixes respectives zA
et zB, (⃗u ; ⃗AB) = arg(...) + 2k , k ∈Z.
Démonstration :
Géométriquement, en traçant un représentant de ⃗AB, d'origine O.
Propriété n°4
On se place dans un repère (O; ⃗u ; ⃗j).
zA, zB, zC et zD sont quatre imaginaires distincts d'images respectives A, B, C et D. Alors :
1.arg( zzBA−−zzCC) = (⃗CA ;⃗CB) + 2k , k ∈Z.
2.arg( zzDB−−zzCA) = (⃗AB ;⃗CD) + 2k , k ∈Z.
Démonstration :
1.arg( zzBA−−zzCC) = …...– …... + 2k , k ∈Z.
arg( zzBA−z−zCC) = (⃗u ;...) … (⃗u ;...) + 2k , k ∈Z.
arg( zzBA−z−zCC) = (⃗u ;...) … (...;...) + 2k , k ∈Z.
arg( zzBA−z−zCC) = (...;...) + 2k , k ∈Z.
2. Même principe.
Exemple n°7
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
a = 3+6i, b = 4+7i et c = 4 + 5i .
1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument de Z = c – a b – a . ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. En déduire la nature du triangle ABC.
...
...
...
Interrogation n°3 Objectifs :
C10.c_Niv1 : Savoir interpréter Z = c – a b – a . Exercice n°7
Ex.149 p.217 Exercice n°8
Ex.150 p.217 Exercice n°9
Ex.151 p.217
Activité d'approche n°2
Posons f() = cos + isin.
1. Démontrer que f( + ' ) = f()×f(').
...
...
...
...
2. Démontrer que ( f(θ))n= f (nθ)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Démontrer que f '()=if ()
...
...
...
...
...
...
4. Calculer 1
f (θ) en fonction de f(-)
...
...
...
...
...
5. Calculer f(0).
...
6. Démontrer que f(θ)
f (θ')=f (θ −θ')
...
...
...
...
...
7. À quelle fonction fait penser f ?
...
Cours n°4
III) Notation exponentielle Définition n°2
On définit la notation suivante :
ei = cos + i sin qui désigne le nombre imaginaire de module 1 et d'argument . Propriété n°5
On a les propriétés suivantes : 1. ei(+')= ei ×ei'
2. (eiθ)n = ei nθ (formule de Moivre) 3. ei0=1
4. ei( – ')= eiθ eiθ'
Démonstration :
Cf activité d'approche précédente.
Exemple n°8
Calculer sous forme algébrique :
ei2π=...
eiπ2 =...
eiπ=...
e−i
π
2 =...
ei
π
3 =...
Propriété n°6
Tout nombre imaginaire non nul z s'écrit sous la forme
|z|eiθ où = arg(z)+ 2k , k ∈Z.
Exemple n°9
Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme algébrique :
1. z1 = 2e−iπ2 :
…...
...
...
...
2. z2 = √2 e3iπ4 :
…...
...
...
...
Exemple n°10
Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 2i :
…...
...
...
...
2. z4 = √3 - 1 :
…...
...
...
Exemple n°11 :
Soit z=3eiπ3 . Démontrer que z57 est un nombre réel et déterminer son signe.
…...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°12 :
En utilisant (eiθ)3 = ei3θ, exprimer cos 3 en fonction de cos3 et de sin3 .
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
Interrogation n°4 Objectifs :
C10.c_Niv1 : avoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.
Exercice n°10 Ex.34 p.211 Exercice n°11
Ex.35 p.211 Exercice n°12
Ex.49 p.212 Exercice n°13***
Sujet A p.225 Exercice n°14***
Sujet C p.225 Exercice n°15***
Ex.187 p.227 Exercice n°16***
Ex.196 p.229
Résultats ou indices
Ex.1 (23 p.211) :
Ex.2 (27 p.211) : 6(cos(−π
3 )+isin(−π
3 ))) et 3 – 3|z1z2|i
Ex.3* (28 p.211) : 1. |z1|=1 ; |z2|= 2 ; |z3|= √ 2 2. arg(z1)= π2 ; arg(z2)= ; arg(z3)= π4
3. z1= cos( π
2)+isin( π
2) ; z2=2(cos(π)+isin(π)) ; z3=√ 2(cos( π4)+isin( π4))
Ex.4* (115 p.216) : Dans le désordre : z= 2(cos(5π
6 )+isin(5π 6 )); z=
6(cos(−2π
6 )+isin(−2π
6 )) ; z= 6(cos(3π
4 )+isin(3π
4 )); z=4(cos(−π
6 )+isin(−π
6 )) ; z=
3√ 2(cos(34π)+isin(34π)) ; z=5√ 2(cos( π4)+isin( π4))
Ex.5 (123 p.216) : 1.|z1z2|=√ 2 et arg(z1z2)= 34π . 2. z1z2= –1 + i =
√ 2(cos(34π)+isin(34π))
Ex.6 (126 p.216) : 1. (1+i)5= –4 – 4i 2. (1+i√ 3)7= 64 + i 64√ 3. 3. (2 – 2i√ 3)7 = 4096.
Ex.7 (149 p.217) : 1.a. –i = cos(−π
2 )+isin(−π
2 )2. ABC est un triangle rextangle isocèle en A.
Ex.8 (150 p.217) : 2. ABC est un triangle équilatéral.
Ex.9 (151 p.217) : 4. OAB est un triangle rectangle isocèle en O. Ex.10 (34 p.211) : Dans le désordre : e−i
π 3 eiπ ei
2π 3
Ex.11 (35 p.211) : a. 1 et π
3 b. 1 et −2π 3 . Ex.12 (49 p.212) : Z= 2x
x2+y2 –i 2y x2+y2
Ex.13*** (Sujet A p.225) : 1. z1=1+i ; z2=i ; z3= – 1 2 + 1
2 i ; z4= – 1
2 .3.n9 (à prouver par le calcul).4. triangle rectangle isocèle en An+1.
Ex.14*** (Sujet C p.225) : 1.a. |z1|= √ 2 ; |z2|= √ 2 et arg(z1)= – π4 , arg(z2)= π4 1.b.
4 – 2i et 2 –2i. 2.a. zB=1 – i et zC=2 – 2i. 2.d. Le quotient vaut i . IAC est rectangle isocèle en I. 2.e. –2 – 4i. 2.f. 4 –2i
Ex.15*** (187 p.227) : 1. z1= –√ 2 +√ 2i=2(cos(34π)+isin(34π)) et z2 = –√ 2 –√ 2i=
2(cos(−3π
4 )+isin(−3π
4 ))2.c. 3π
8 2.d. zI = 1–√ 2 +√ 2i et |z1|= √ 2–√ 2. 3. cos 38π =
√ 2–√ 2
2 et sin 3π
8 = √ 2+√ 2
2
Ex.16*** (196 p.229) : 1.a. P(-1)=0 1.b. a = – 4 et b=7 1.c. S = { -1 ; 2 – i√ 3 ; 2 + i
√ 3 } 2.b. AB=AC=BC=2√ 3.2.c. π2 2.d. GAC est rectangle en C. 3.A(-1;0),C(2 ;–√ 3)
et G(–3;0) 4.c.(D) est la perpendiculaire à (GC) passant par A.
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
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