C9.d - Niv1 - Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire

(1)

Chap. n°9 : Nombres imaginaires Partie 2 Objectifs du chapitre :

C9.a - Niv1 - Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) d’un nombre complexe et l'interprétation géométrique associée.

C9.b - Niv1 - Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

C9.c - Niv1 - Savoir interpréter géométriquement Z = c – a b – a ^.

C9.d - Niv1 - Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Activité d’approche n°1 Sur la figure ci-contre, (O;I,J) est un repère

orthonormé direct.

1. Donner ou calculer les affixes de tous les points de la figure :

I :...…

J :...…

H :...…

K :...…

C :...…

F :...…

Q :...…

B :...…

D :...…

G :...…

L :...…

N :...…

A :...…

E:...…

M :...…

P :...…

R :...…

2. Donner les modules des affixes de chacun des points :

…...

...

...…

3. Si X est un point d'affixe zX = a+ib, et  la mesure principale de l'angle orienté que forme ⃗OX avec ⃗OI , calculer a et b en fonction du module |^z^X|^de^z^X^{et de  :}

...

......

...

Fin de l’activité d’approche n°1

Cours n°1 : Forme trigonométrique d’un nombre imaginaire

I J

O

A B

D C

E

G F

H K

L M

N P

Q R

(2)

C9.a - Niv1 - Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) d’un nombre complexe et l'interprétation géométrique associée.

Définition n°1 : Argument

Soit zM = a + ib un nombre imaginaire non nul et M son image dans un repère (O ; ⃗u ,

⃗v ). On appelle argument de zM une m..………....…….

……….. (⃗u ;⃗OM )

On note : …… (zM) = (⃗u ;⃗OM ) à 2^près.

Propriété n°1 : Forme trigonométrique

Soit z un nombre imaginaire non nul de la forme a+ib, de module |z| et d'argument

arg(z).

Alors, on a :

{a=...

b=... et {^cos⁽^arg⁽^z⁾⁾=...

sin(^arg(^z))=...

|z|=...

z = a+ib et z = |z| ×(…...)

Cette dernière expression est la forme trigonométrique de z. Exemple n°1 :

arg(i) = …... et |i|=...

arg(5) = …... et |5| =...

arg(1+i) = …... et |1+i| =...

arg( √³

2 + 1

2 i) = …... et |^√²³⁺¹²ⁱ| =...

Exemple n°2 :

Écrire sous forme algébrique le nombre imaginaire z de module 4 et d'argument –π 6

.

...

Écrire sous forme trigonométrique le nombre imaginaire : z = – √^{5 +i}√^5 .

...

Exemple n°3 :

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre imaginaire (justifier) :

z = √³(^cos⁽^π³⁾⁺ⁱ^sin⁽⁻³^π⁾) : ...

car : ...

z = −√³(^cos(^π³)⁺ⁱ^sin(^π³))^{: ...}

car : ...

(3)

z = √³(^cos⁽^π³⁾⁺ⁱ^sin⁽^π³⁾)^{: …….}

car : ...…………...

FIN du cours n°1

Premier ‘Se tester’ du cours n°1 : C9.a - Niv1 - Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) d’un nombre complexe et l'interprétation

géométrique associée.

Savoir au hasard (bonus malus -1 à +1) : Savoir n°3

Donner le résultat de (il peut y avoir des formes indéterminées) : 1. +∞

+∞ = ………...

2. a ∈ ℝ_*⁺ , ^{' '} a 0^-

' ' = ………

3. a ∈ ℝ_*^- , ^{' '} a 0⁺

' ' = ………

Fin du savoir n°3

(Se tester du cours n°1 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°1 Compléter :

1. arg(^√²³^–¹²ⁱ)^{= ….}... et |^√²³^–¹²ⁱ|=...

2. arg(⁵) = …... et |5|=...

3. arg(⁸ⁱ) = …...... et |8i|^=.....

(Se tester du cours n°1 Ex.2 (1,5 pts)) - Exercice n°2

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z de module 4 et d'argument

π6

2. Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe : z = √²

2 – √²

2 i .

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre complexe (justifier) :

1. √⁵(^cos(^π⁵)^+isin(^π⁵))^{: ………….}

2. √²(^cos⁽^π⁹⁾⁺^isin⁽^–⁹^π⁾)^{: ………….}

3. –√⁶(^cos(^π⁴)⁺^isin(^π⁴))^:^{………….}

(4)

(5)

Indices et résultats

1^er ex : Arg(8i)=π^{, |}8i|=8, arg(5)=0, |^√²³^–¹²ⁱ|⁼^5,

.

2^ème ex : 4√³

2 +4 2

3^ème ex : Une seule écriture est correcte.

Fin Premier ‘Se tester’ du cours n°1

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1 : C9.a - Niv1 - Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) d’un nombre complexe et l'interprétation

géométrique associée.

Compléter avec « croissant », « décroissant », « positif », négatif » :

ln est ………...………..………. sur …………

ln est ……….……… sur ……… et ………. sur …………...

(Se tester du cours n°1 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°4 Compléter :

1. arg(2) = …....... et |2|=...^...

2. arg(7i)^= …........ et |7i|=...

3. arg(^√²²⁺^√²²ⁱ)= …... et |^√²²⁺^√²²ⁱ|^=.....

1. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z de module 2 et d'argument

−π 2

2. Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe : z = √³

2 +1 2i .

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre complexe (justifier) :

1. –√⁵(^cos⁽^π⁹⁾^+isin⁽^π⁹⁾)^{: ………….}

2. √⁵(^cos⁽^π⁹⁾⁺^isin⁽^–⁹^π⁾)^{: ………….}

(6)

3. √⁴(^cos⁽^π⁶⁾^+isin⁽^π⁶⁾)^:^{………….}

(7)

1_π^er ex : Arg(7i)=π^{, |}⁷ⁱ|=7, arg(2)=0, |^√²²⁺^√²²ⁱ|⁼^2,

4;.

2^ème ex : 0-2.1.3.|1. arg(2) = …... et |2|=...

2. arg(7i) = …... et |7i|=...

3. arg(^√²²⁺^√²²ⁱ)= …... et |^√²²⁺^√²²ⁱ|=...

3^ème ex : Une seule écriture est correcte.

Fin Deuxième ‘Se tester’ du cours n°1

Interrogation n°1

Objectif : C9.a - Niv1 - Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) d’un nombre complexe et l'interprétation géométrique associée.

Exercices du cours n°1 (Cours n°1) - Exercice n°7

Ex.23 p.211 Résultats :

(Cours n°1) - Exercice n°8

6(^cos(⁻³^π)⁺ⁱ^sin(⁻³^π)) ⁾^et^{3 – 3}^√³ⁱ

1. |z₁| =1 ; |z₂| = 2 ; |z₃| = √²^2.ârg(z¹⁾⁼^π₂^;ârg(z²⁾⁼^^;ârg(z³⁾⁼^π₄^{3. z}¹⁼

cos(^π²)⁺ⁱ^sin(^π²)^;^z²⁼²⁽^cos⁽^π⁾⁺ⁱ^sin⁽^π⁾⁾^; z³⁼^√²(^cos⁽^π⁴⁾⁺ⁱ^sin⁽^π⁴⁾)

Ex.115 p.216

Résultats ( dans le désordre ) !

z= 2(^cos⁽⁵⁶^π⁾⁺ⁱ^sin⁽⁵⁶^π⁾)^;^z=6(^cos⁽⁻²⁶^π⁾⁺ⁱ^sin⁽⁻⁶²^π⁾)^;

z= 6(^cos⁽³⁴^π⁾⁺ⁱ^sin⁽³⁴^π⁾)^;^z=4⁽^cos⁽⁻⁶^π⁾⁺ⁱ^sin⁽⁻⁶^π⁾⁾^;^z=

3√²(^cos⁽³⁴^π⁾⁺ⁱ^sin⁽³⁴^π⁾)^;^z=5^√²⁽^cos⁽^π⁴⁾⁺ⁱ^sin⁽^π⁴⁾⁾

FIN des exercices du cours n°1

(8)

Cours n°2 :

C9.b - Niv1 - Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

Propriété n°1 : Argument et opérations

z et z' sont des nombres imaginaires non nuls. Alors :

1. (produit) : Arg ( zz' ) = …... ... …... + 2k π, k ∈Z. 2. (puissance) : Arg ( zⁿ) = …... + 2k π, k ∈Z.

3. (quotient) : Arg(^{z '}^z ) = …... ... …... + 2k π, k ∈Z. Démonstration :

Dans la suite, r = |z|^, = argz , r' = |z '| ,  ' = argz ' 1. z = r (^cos⁽θ¿)+isin⁽θ⁾)^et^{z' = r'}(^cos⁽θ^'¿)+isin(θ^'))

zz' = …...…

zz' = rr'...

zz' = rr' (^cos⁽^...⁺^...^¿)+ⁱ^sin⁽^...⁺^...⁾)

2. Par récurrence :

...

...…

3. Soit z ' '=z '

z ^{. Alors}z'=... On applique ensuite 1.

Exemple n°1 : On considère z = 1

2 + i√³

2 ^etz' = i. Déterminer les formes trigonométriques de z et z'.

1. Déterminer les formes trigonométriques de z et z’,puis, sans calculer zz’ , calculer Arg(zz') et |zz '|^.

...…

...…...

…...

…...….

...……..

…...

…...…

...

(9)

...

2. En utilisant les informations précédentes, placer l'image de zz' sur le cercle ci- dessus.

3. En utilisant les informations sur z et z’ , placer les images de z et z' sur le cercle ci-dessus.

Exemple n°2 : On considère z = 1

2 + i√³

2 . Déterminer la forme algébrique de z²⁰¹⁵.

...

Premier ‘Se tester’ du cours n°2 : C9.b - Niv1 - Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

Compléter :

lim

x→0⁺

ln(x)

x =… ……..

x→+∞lim ln(x)

x =…… .

(

Se tester du cours n°2 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°11 On considère z=1

4+√³

4 i et z'=i.

1. Déterminer les formes trigonométriques de z et z’,puis, sans calculer

zz’, calculer Arg(zz') et |zz '|^.

(10)

...

...

...

2. En utilisant les informations précédentes, placer l'image de zz' sur le cercle ci- dessus.

3. En utilisant les informations sur z et z’ , placer les images de z et z' sur le cercle ci-dessus.

(

Se tester du cours n°2 Ex.2 (1,5 pts)) - Exercice n°12 On considère z = √³

2 +1

2i . Déterminer la forme algébrique de z²⁰¹⁰.

(11)

1^er ex : Arg(zz') = π

6^et|zz '|^=1.

2^ème ex : Passer par la forme exponentielle, élever à la puissance demandée, et repasser en forme algébrique.

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°2 : C9.b - Niv1 - Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

f est une fonction. Donner la dérivée de √ ^f ⁽^x⁾^:

………..

(

Se tester du cours n°2 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°13 On considère z=1

4+√³

4 i et z'=i.

1. Déterminer les formes trigonométriques de z et z’,puis, sans calculer zz’ , calculer Arg(zz') et |zz '|^.

...

(12)

...

...

...

2. En utilisant les informations précédentes, placer l'image de zz' sur le cercle ci- dessus.

3. En utilisant les informations sur z et z’ , placer les images de z et z' sur le cercle ci-dessus.

(

Se tester du cours n°2 Ex.2 (1,5 pts)) - Exercice n°14 On considère z = 1

2+√³

2 i . Déterminer la forme algébrique de z²⁰¹⁵.

(13)

1^er ex : Arg(zz') = π

6^et|zz '|^=1.

2^ème ex : Passer par la forme exponentielle, élever à la puissance demandée, et repasser en forme algébrique.

Objectif : C9.b - Niv1 - Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

Exercices du cours n°2 (Cours n°2) - Exercice n°15

1.|z₁z₂|=√²^et^arg(z¹^z²⁾⁼³₄^π ^{. 2.}^z¹^z²= –1 + i = √²(^cos⁽³⁴^π⁾⁺ⁱ^sin⁽³⁴^π⁾)

1. (1+i)⁵= –4 – 4i 2. (1+i√³⁾⁷= 64 + i 64√³ . 3. (2 – 2i√³⁾⁷^{= 4096.}

FIN des exercices du cours n°2 Cours n°3

C9.c - Niv1 - Savoir interpréter géométriquement Z = c – a b – a ^.

Propriété n°1 : Argument et géométrie 1/2

On se place dans un repère (O; ⃗u ; ⃗v ). Pour tout point A et B d'affixes respectives zA et zB, (⃗u ; ⃗AB ) = Arg (...) + 2k π , k ∈ Z.

Démonstration :

Géométriquement, en traçant un représentant de ⃗AB , d'origine O. Propriété n°2 : Argument et géométrie 2/2

On se place dans un repère (O; ⃗u ; ⃗v ).

zA, zB, zC et zD sont quatre imaginaires distincts d'images respectives A, B, C et D. Alors :

1.arg( ^z^z^B^A⁻⁻^z^z^C^C)^¿ = ……….. + 2k π , k ∈Z.

2.arg( ^z^z^D^B⁻⁻^z^z^C^A)^¿ = ……….. + 2k π , k ∈ Z.

(14)

1.arg( ^z^z^B^A⁻⁻^z^z^C^C)^¿ = …...– …... + 2k , k ∈ Z.

arg(^z^z^B^A⁻⁻^z^z^C^C)⁼⁽^{u ;}^⃗ ^...⁾^…⁽^{u ;...}^⃗ ⁾^{+ 2k}^^,^k^∈^Z.

arg(^z^z^B^A⁻⁻^z^z^C^C)⁼⁽^{u ;}^⃗ ^...⁾^…⁽^...^;^...⁾^{+ 2k}^^,^k^∈^Z.

arg(^z^z^B^A⁻⁻^z^z^C^C)⁼⁽^...^;^...⁾^{+ 2k}^^,^k^∈^Z.

2. Même principe.

Exemple n°1

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

a = 3+6i, b = 4+7i et c = 4 + 5i .

1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument de Z = c – a b – a ^.

...

2. En déduire la nature du triangle ABC.

...

Premier ‘Se tester’ du cours n°3 : C9.c - Niv1 - Savoir interpréter géométriquement Z = c – a

b – a ^.

Compléter :

Si A et B sont indépendants, P(A∩B)=……… …… ……..

(15)

(

Se tester du cours n°3 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°17

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

a = √³

2 +1 2i b = √³⁻²

2 +5

2i c = √³⁺⁴

2 +3 2i

Calculer le quotient adéquat et son module, pour en déduire la nature du triangle

ABC .

(16)

1^er ex : Un triangle isocèle rectangle

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°3 : C9.c - Niv1 - Savoir interpréter géométriquement Z = c – a

b – a ^.

Compléter :

lim

x→+∞e^x = ………… ; lim

x→−∞e^x = ………...

(

On considère les points A, B et C d'affixes respectives

a = 1 2+√³

2 i b =−3

2+√³⁺⁸

2 i

c = 5

2+√³⁺²

2 i

Calculer le quotient adéquat et son module, pour en déduire la nature du triangle

ABC .

(17)

1^er ex : Un triangle rectangle

Objectif : C9.c - Niv1 - Savoir interpréter géométriquement Z = c – a b – a ^. Exercices du cours n°3

1.a. –i = cos(⁻²^π)⁺ⁱ^sin(⁻²^π)^2.^ABC est un triangle rectangle isocèle en A.

2. ABC est un triangle équilatéral.

4. OAB est un triangle rectangle isocèle en O.

FIN des exercices du cours n°3 Activité d’approche n°2 Posons f() = cos + isin.

1. Démontrer que f( + ' ) = f()×f(').

...

...…

2. Démontrer que ( ^f (θ¿))ⁿ⁼^f (nθ)

...

3. Démontrer que f '()=if ()

...

(18)

...

...…

4. Calculer 1

f ⁽θ⁾ en fonction de f(-)

...

...…

5. Calculer f(0).

...…

6. Démontrer que f ⁽θ⁾

f (θ^')⁼ ^f (θ%−θ^')

...

7. À quelle fonction fait penser f ?

...

Fin de l’activité d’approche n°2

Cours n°4 : Notation exponentielle

C9.d - Niv1 - Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Définition n°1 : Notation exponentielle On définit la notation suivante :

e^i = ……. + i ……. qui désigne le nombre imaginaire de module …. et d'argument θ.

Propriété n°1 : notation exponentielle et opérations On a les propriétés suivantes :

1. eî(+')= eî×eî'

2. (^eⁱ^θ)ⁿ⁼^e^{i n}^θ (formule de Moivre) 3. eⁱ⁰=1

4. e^{i( – ')}= eⁱ^θ eⁱ^θ^'

Cf activité d'approche précédente.

Propriété n°2 : Argument et géométrie 2/2

Tout nombre imaginaire non nul z s'écrit sous la forme :

…………... où  = Arg(z)+ 2k π , k ∈Z.

Exemple n°1

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme algébrique : 1. z1 = 2e⁻ⁱ

π2 :

...

(19)

2. z2 = √^2 e³ⁱ^π⁴^:

...

Exemple n°2

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 2i :

...

2. z4 = √^{3 – 1 :}

...

Exemple n°3

Soit z = 3eⁱ^π³ . Démontrer que z⁵⁷ est un nombre réel et déterminer son signe.

...

Exemple n°4

En utilisant (eⁱ^θ)³⁼^eⁱ³^θ , exprimer cos 3 en fonction de cos ^{et de}sin ^.

...

(20)

Premier ‘Se tester’ du cours n°4 : C9.d - Niv1 - Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Compléter :

1. e^a× e^b = ………..

2. e^a

e^b = ……….

(

Se tester du cours n°4 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°22 Calculer sous forme algébrique :

1. eⁱ

5π 6

2. eⁱ^π

3. eⁱ^π³

4. eⁱ

π6

5. eⁱ

–π 2 6. eⁱ

π2

7. eⁱ^π⁴

8. eⁱ

–3π 4 .

(

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : 1. z1 = 2eⁱ

–2π 3 . 2. z2 = √^2eⁱ^π⁶^.

(

Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 4i :

2. z4 = √⁴−1 :

(

Se tester du cours n°4 Ex.4 (3 pts)) - Exercice n°25 Exprimer cos(3) en fonction de cos³^{et de}sin³ ^.

(21)

1^er ex (dans le désordre) : -1 ; √³

2 +1 2i ; √²

2 +√²

2 i ; √³

2 +1

2i ; i ; −i ; −√³

2 +1 2i ;

−√²

2 −√²

2 i

2^ème ex : -1 2−√³

2 i}

3^ème ex : 1. 4eⁱ^π² 2. (√⁴⁻¹⁾^e⁰^.

4^ème ex : (^cosθ)³−3 cosθ(^sinθ)²

Deuxième ‘Se tester’ du cours n°4 : C9.d - Niv1 - Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Compléter :

lim

x→0⁺

ln(x)

x =… …….. lim

x→+∞

ln(x)

x =…… .

(

Se tester du cours n°4 Ex.1 (3 pts)) - Exercice n°26 Calculer sous forme algébrique :

1. eⁱ

–π 2

2. eⁱ^π³

3. eⁱ

–π 6

4. e⁻ⁱ^π

5. eⁱ^π

6. eⁱ

–2π 3

7. eⁱ

–π 3

8. eⁱ

–3π 4 .

(

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : 1. z1 = 2eⁱ²^π.

2. z2 = √^2eⁱ^π²^.

(22)

(

Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 6i :

2. z4 = √^{6−1 :}

(

Se tester du cours n°4 Ex.4 (3 pts)) - Exercice n°29 Exprimer cos(3) en fonction de cos³ ^{et de}sin³ ^.