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Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2 Objectifs :
Niveau a eca n
C10.a 1 Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée.
notation exponentielle.
C10.b 1 Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.
C10.c 1 Savoir interpréter Z = c – a b – a .
C10.d 1 Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.
Activité d'approche n°1
Sur la figure ci-contre, (O;I,J) est un repère orthonormé direct.
1. Donner ou calculer les affixes de tous les points de la figure :
I :...…
J :...…
H :...…
K :...…
C :...…
F :...…
Q :...…
B :...…
D :...…
G :...…
L :...…
N :...…
A :...…
E:...…
M :...…
P :...…
R :...…
2. Donner les modules des affixes de chacun des points :
…...
...
...…
3. Si X est un point d'affixe zX = a+ib, et la mesure principale de l'angle orienté que forme ⃗OX avec ⃗OI , calculer a et b en fonction du module |zX| de zX et de :
...
......
...
I J
O
A B
D C
E
G F
H K
L M
N P
Q R
2/21 -
...
Cours n°1
Chapitre n°10 : Nombres imaginaires Partie 2/2
I) Forme trigonométrique d'un nombre imaginaires Définition n°1
Soit zM = a + ib un nombre imaginaire non nul et M son image dans un repère (O ; ⃗u
, ⃗j ). On appelle argument de zM une m..………....…….
……….. (⃗u ;⃗OM )
On note : arg(zM) = (⃗u ;⃗OM ) à 2 près.
Propriété n°1
Soit z un nombre imaginaire non nul de la forme a+ib, de module |z| et d'argument
arg(z).
Alors, on a :
{a=...
b=... et {cos(arg(z))=...
sin(arg(z))=...
|z|=...
z = a+ib et z = |z| ×(…...)
Cette dernière expression est une forme trigonométrique de z.
Exemple n°1 :
arg(i) = …... et |i|=...
arg(5) = …... et |5|=...
arg(1+i) = …... et |1+i| =...
arg( √3
2 + 1
2 i) = …... et|√23+12i| =...
Exemple n°2 :
Écrire sous forme algébrique le nombre imaginaire z de module 4 et d'argument – π
. 6
...
...
...…
Écrire sous forme trigonométrique le nombre imaginaire : z = – √5 +i√5 .
...
...
...
...
2/21
3/21 -
Exemple n°3 :
Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre imaginaire (justifier) :
z = √3(cos(π3)+isin(−π3 )) : ...
…...
.
z = −√3(cos(π3)+isin(π3)) : ...
…...
.
z = √3(cosisin0) : ...
…...
.
Se Tester n°1 - C10_1 (/11)
Objectifs :
Niveau a eca n
C10.a 1 Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée.
notation exponentielle.
Exercice n°1 (/6) :
Compléter :
1.arg(3) = …... et |3|=...
2.arg(√22–√22i)= …... et |12+√23i|=...
3.arg(2i) = …... et |2i|=...
Exercice n°2 (/2) :
Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z de module 5 et d'argument
−π2
...
...
...Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe : z = √2
2 + √2
2 i .
...
...
...
...
Exercice n°3 (/3) :
3/21
Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre complexe (justifier) :
1. √2(cos(π7)+isin(π7))
2. √5(cos(π7)+isin(–7π))
3. –√8(cos(π4)+isin(π4))
…...
...
...
...
...
...
Interrogation n°1 Objectifs :
C10.a_Niv1 : Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée. notation exponentielle.
Exercice n°1 Ex.23 p.211 Exercice n°2
Ex.27 p.211 Exercice n°3*
Ex.28 p.211 Exercice n°4*
Ex.115 p.216
Cours n°2
II) Propriétés des arguments des nombres imaginaires Propriété n°2
z et z' sont des nombres imaginaires non nuls. Alors :
1. (produit) : arg( zz' ) = …... ... …... + 2k , k ∈Z. 2. (puissance) : arg( zn ) = …... + 2k , k ∈Z.
3. (quotient) : arg(z 'z ) = …... ... …... + 2k , k ∈Z. Démonstration :
Dans la suite, r = |z| , = argz , r' = |z '| , ' = argz '
1. z = r (cos()+isin()) et z' = r' (cos(')+isin('))
zz' = …...
…
zz' = rr'...
zz' = rr'...
zz' = rr' (cos(...+...)+isin(...+...))
2. Par récurrence :
...
...
...
...
...
...
...…
3. Soit z ' '=z '
z . Alors z'=... On applique ensuite 1.
Exemple n°4
On considère z= 1 2 +i√3
2 et z'=i. Déterminer les formes trigonométriques de z et z'.
Calculer Arg(zz') et |zz '| .Placer l'image de zz'.
...
...
...
Placer les images de z et z' sur le cercle ci-contre.
Exemple n°5
On considère z= 1 2 +i√3
2 . Déterminer la forme algébrique de z2015.
...
...
...
...
...
...
Se Tester n°2 - C10_2 (/5)
Objectifs :
Niveau a eca n
C10.b 1 Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.
Exercice n°1 (/3)
On considère z=√2
2 +√2
2 i et z'=i.
1. Déterminer les formes trigonométriques de z et z’,puis, sans calculer zz’ ,
6/21 -
calculer Arg(zz') et |zz '| .
...…
...…
...…...
…...
…...
…...….
...……..
…...
…...
…...
...…...……..
…...
...………..
…...
...…...……..
…...………..
2. En utilisant les informations précédentes, placer l'image de zz' sur le cercle ci- dessus.
3. En utilisant les informations sur z et z’ , placer les images de z et z' sur le cercle ci- dessus.
Exercice n°2 (/2)
On considère z = √3
2 +1
2i . Déterminer la forme algébrique de z2016.
...
...
...
...
...
...…
Interrogation n°2 Objectifs :
C10.b_Niv1 : Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.
Exercice n°5 6/21
Ex.123 p.216 Exercice n°6
Ex.126 p.216
Cours n°3
Propriété n°3
On se place dans un repère (O; ⃗u ; ⃗j ).Pour tout point A et B d'affixes respectives zA
et zB, (⃗u ; ⃗AB ) = arg(...) + 2k , k ∈Z.
Démonstration :
Géométriquement, en traçant un représentant de ⃗AB , d'origine O.
Propriété n°4
On se place dans un repère (O; ⃗u ; ⃗j ).
zA, zB, zC et zD sont quatre imaginaires distincts d'images respectives A, B, C et D. Alors :
1.arg(zzBA−−zzCC) = (⃗CA ;⃗CB) + 2k , k ∈Z.
2.arg(zzDB−−zzCA) = (⃗AB ;⃗CD) + 2k , k ∈Z.
Démonstration :
1.arg(zzBA−−zzCC)= …...– …... + 2k , k ∈Z.
arg(zzBA−−zzCC) = (⃗u ;...) … (⃗u ;...) + 2k , k ∈Z.
arg(zzBA−−zzCC) = (⃗u ;...) … (...;...) + 2k , k ∈Z.
arg(zzBA−−zzCC) = (...;...) + 2k , k ∈Z.
2. Même principe.
Exemple n°7
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
a = 3+6i, b = 4+7i et c = 4 + 5i .
1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument de Z = c – a b – a .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. En déduire la nature du triangle ABC.
...
...
...
Se Tester n°3 - C10_3 (/4)
Objectifs :
Niveau a eca n
C10.c 1 Savoir interpréter Z = c – a b – a . Exercice n°1
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
a = 6+2i, b = 6+6i et c = 1 2i
Calculer Z = c – a
b – a , |Z| et en déduire la nature du triangle ABC .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... ...
...
9/21 -
Interrogation n°3 Objectifs :
C10.c_Niv1 : Savoir interpréter Z = c – a b – a . Exercice n°7
Ex.149 p.217 Exercice n°8
Ex.150 p.217 Exercice n°9
Ex.151 p.217
Activité d'approche n°2
Posons f() = cos + isin.
1. Démontrer que f( + ' ) = f()×f(').
...
...
...
...
2. Démontrer que (f (θ))n=f (nθ)
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. Démontrer que f '()=if ()
...
...
...
...
...
...
4. Calculer 1
f (θ) en fonction de f(-)
...
...
...
...
9/21
...
5. Calculer f(0).
...
6. Démontrer que f (θ)
f (θ')=f (θ%−θ')
...
...
...
...
...
7. À quelle fonction fait penser f ?
...
Cours n°4
III) Notation exponentielle Définition n°2
On définit la notation suivante :
ei = cos + i sin qui désigne le nombre imaginaire de module 1 et d'argument . Propriété n°5
On a les propriétés suivantes : 1. ei(+')= ei ×ei'
2. (eiθ)n = ei nθ (formule de Moivre) 3. ei0=1
4. ei( – ')= eiθ eiθ'
Démonstration :
Cf activité d'approche précédente.
Exemple n°8
Calculer sous forme algébrique :
ei2π =...
eiπ2 =...
eiπ =...
e−iπ2 =...
eiπ3 =...
Propriété n°6
Tout nombre imaginaire non nul z s'écrit sous la forme
|z|eiθ où = arg(z)+ 2k , k ∈Z.
Exemple n°9
11/21 -
Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme algébrique : 1. z1 = 2e−iπ2 :
…...
...
...
...
2. z2 = √2 e3iπ4 :
…...
...
...
...
Exemple n°10
Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 2i :
…...
...
...
...
2. z4 = √3 - 1 :
…...
...
...
Exemple n°11 :
Soit z=3eiπ3 . Démontrer que z57 est un nombre réel et déterminer son signe.
…...
...
...
...
...
...
...
...
Exemple n°12 :
En utilisant (eiθ)3 = ei3θ , exprimer cos 3 en fonction de cos3 et de sin3.
…...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
11/21
...
...
...
...
...
...
Se Tester n°4 - C10_4 (/16)
Objectifs :
Niveau a eca n
C10.d 1 Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.
Exercice n°1 (/8)
Calculer sous forme algébrique : 1. ei
–π 3
:...
. 2. eiπ
:...
. 3. ei
5π 6
:...
. 4. ei
–3π 4
:...
. 5. ei
–5π 6
:...
. 6. ei
2π 3
:...
. 7. ei
π2
:...
. 8. ei
π 4
:...
.
13/21 -
9. ei
–π 4
:...
.
10. e−iπ
:...
. 11. eiπ6
:...
.
12.ei2π :...
...
13. ei
3π 4
:...
. 14. ei
π 3
:...
. 15. ei
–π 6
:...
. 16. ei
–2π 3
:...
. 17. ei
–π 2
:...
..
Exercice n°2 (/2)
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : 1. z1 = 2eiπ:
…...
...
...
...
2. z2 = √2ei2π3 :
…...
...
...
...
Exercice n°3 (/2)
Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 9i :
13/21
…...
...
...
...
2. z4 = √9 - 1 :
…...
...
...
Exercice n°4 (/2)
Soit z=3eiπ3 . Démontrer que z78 est un nombre réel et déterminer son signe.
…...
...
...
...
…...
...
...
...
Exercice n°5 (/2)
Exprimer sin(3) en fonction de cos3 et de sin3.
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
…...
...
...
...
Interrogation n°4 Objectifs :
C10.c_Niv1 : avoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.
Exercice n°10 Ex.34 p.211 Exercice n°11
Ex.35 p.211
Exercice n°12 Ex.49 p.212 Exercice n°13***
Sujet A p.225 Exercice n°14***
Sujet C p.225 Exercice n°15***
Ex.187 p.227 Exercice n°16***
Ex.196 p.229
16/21 -
16/21
Résultats ou indices
Ex.1 (23 p.211) :
Ex.2 (27 p.211) : 6(cos(−π3 )+isin(−π3 )) ) et 3 – 3|z1z2| i
Ex.3* (28 p.211) : 1. |z1|=1 ; |z2| = 2 ; |z3| = √2 2. arg(z1)=π2 ; arg(z2)= ; arg(z3)=π4 3.
z1=cos(π2)+isin(π2) ; z2=2(cos(π)+isin(π)) ; z3=√2(cos(π4)+isin(π4))
Ex.4* (115 p.216) : Dans le désordre : z= 2(cos(56π)+isin(56π)); z=
6(cos(−26π)+isin(−62π)) ; z= 6(cos(34π)+isin(34π)); z=4(cos(−π6 )+isin(−π6 )) ;
z=3√2(cos(34π)+isin(34π)) ; z=5√2(cos(π4)+isin(π4))
Ex.5 (123 p.216) : 1.|z1z2| =√2 et arg(z1z2)= 34π . 2. z1z2= –1 + i =
√2(cos(34π)+isin(34π))
Ex.6 (126 p.216) : 1. (1+i)5= –4 – 4i 2. (1+i√3 )7= 64 + i 64√3 . 3. (2 – 2i√3 )7 = 4096.
Ex.7 (149 p.217) : 1.a. –i = cos(−π2 )+isin(−π2 )2. ABC est un triangle rextangle isocèle en A.
Ex.8 (150 p.217) : 2. ABC est un triangle équilatéral.
Ex.9 (151 p.217) : 4. OAB est un triangle rectangle isocèle en O. Ex.10 (34 p.211) : Dans le désordre : e−iπ3 eiπ ei
2π 3
Ex.11 (35 p.211) : a. 1 et π
3 b. 1 et −2π 3 .
Ex.12 (49 p.212) : Z= 2x
x2+y2 –i 2y x2+y2
Ex.13*** (Sujet A p.225) : 1. z1=1+i ; z2=i ; z3= –1 2 +1
2 i ; z4= –1
2 .3.n9 (à prouver par le calcul).4. triangle rectangle isocèle en An+1.
Ex.14*** (Sujet C p.225) : 1.a. |z1|= √2 ; |z2| = √2 et arg(z1)= – π4 , arg(z2)= π4 1.b. 4
– 2i et 2 –2i. 2.a. zB=1 –i et zC=2 – 2i. 2.d. Le quotient vaut i . IAC est rectangle isocèle en I. 2.e. –2 – 4i. 2.f. 4 –2i
18/21 -
Ex.15*** (187 p.227) : 1. z1= –√2 +√2 i=2(cos(34π)+isin(34π)) et z2 = –√2 –√2 i=
2(cos(−34π)+isin(−34π))2.c.38π 2.d. zI = 1–√2 +√2 i et |z1|= √2–√2 . 3. cos 38π =
√2–√2
2 et sin 3π
8 = √2+√2
2
Ex.16*** (196 p.229) : 1.a. P(-1)=0 1.b. a = – 4 et b=7 1.c. S = { -1 ; 2 – i√3 ; 2 + i√3
} 2.b. AB=AC=BC=2√3 .2.c.π2 2.d. GAC est rectangle en C. 3.A(-1;0),C(2 ;–√3 ) et
G(–3;0) 4.c.(D) est la perpendiculaire à (GC) passant par A.
18/21
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20/21
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Exercices n° : … / … / … / … / … / … | Chap.n°__
Activ. n°__ : Quest.n° : … / … / … / … | Chap.n°__
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