I- Forme trigonométrique

Les complexes Le retour

I- Forme trigonométrique

Géométriquement, que représente 1) Le module d’un nombre complexe ? 2) Un argument d’un nombre complexe ? 1) Module d’un nombre complexe

On se place dans un repère orthonormé (O ;#»u , #»v).

Soit M un point d’affixez=x+iy.

Lemoduledu complexez, noté|z|, est la distance OM.

|z|= OM = q

x²+y².

Définition Module d’un complexe

Remarque

• Sizest un réel,|z|=

√

x²=|x|.

La notion de module dansCgénéralise donc celle de valeur absolue dansR.

• |z|= 0⇔z= 0.

• |z|²=x²+y²=zzdonc|z|²=z×z Exemple

Calcul du module de nombres complexes : Ô |3 + 4i|=

√

3²+ 4²=

√

9 + 16 =

√ 25 = 5.

√ √

2) Argument d’un complexe non nul

Soit M un point d’affixez.

Unargumentdu complexez, noté arg(z), est une mesure de l’angle orienté#»u ,# » OM

en radian.

Définition Argument d’un complexe

Remarque

• Le nombre 0 n’a pas d’argument.

• Un nombre complexeznon nul a une infinité d’argument, siθest un argument dez alorsθ+ 2kπ , k∈Z en est un autre, l’argument dezest défini à 2kπprès.

On note arg(z) =θ[2π] ou z=θ (mod 2π).

Exemple Soitz= 1 + i

alors arg(z) =#»u ,# » OM

(mod 2π) où M(1 ; 1) d’où arg(z) =^π₄ (mod 2π).

Exemple

Calcul d’un argument de nombres complexes :

Ô z₁= 2 + 2i :



















cosθ = 2

√

2²+ 2² = 2 2

√

2 =

√ 2 2

sinθ = 2

√

2²+ 2² = 2 2

√

2 =

√ 2 2

⇒θ=π

4 ⇒arg(2 + 2i) = π 4.

Ô z₂= 1 +i

√ 3 :























cosθ = 1

q 1²+

√ 3²

=√1 4 =1

2 sinθ =

√ 3 q

1²+

√ 3²

= 2

√

4 =

√ 3 2

⇒θ=π

3 ⇒arg(1 +

√ 3i) =π

3.

3) Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

En notantrle module etθun argument d’un complexeznon nul, on dit que l’écriturez=r(cosθ+ i sinθ) est l’écrituretrigonométriquedez

Définition

0 #»u

#»v

r=√ a²+b²

M(z)

θ

a=rcosθ b=rsinθ

Soitz=x+iyun nombre complexe non nul et|z|=r,θ= arg(z), :

• r=p x²+y²

• θvérifie :

( cosθ = ^x_r, sinθ = ^y_r Propriété

Pour trouver la forme trigonométrique d’un nombrez, il faut donc calculer successivement le module et l’argument dez.

Exemple

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique :

Ô z1= 1−i :















|1 +i| =

√ 2 cosθ =

√ 2 2

sinθ = −

√ 2 2

⇒r=

√

2 etθ=−π

4 ⇒1−i=

√ 2

cos

−π 4

+isin

−π 4

.

Ô z2=

√ 3 +i :















√ 3 +i

= 2 cosθ =

√ 3 2

sinθ = ¹₂

⇒r= 2 etθ=π

6 ⇒

√

3 +i= 2

cos π

6

+isin π

6

.

RemarqueDans certains cas, il est inutile de faire tous les calculs : la forme trigonométrique se "voit" :

• 1 = cos 0 +isin 0 donc|1|= 1 et arg(1) = 0.

• i= cos π

2

+isin π

2

donc|i|= 1 et arg(i) =π 2. Exemple

Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique : Déterminer la forme algébrique des complexes suivants : 1) z=

√

8(cos(^3π₄ ) +isin(^3π₄ ).

2) z=

√

4(cos(⁻₃^π) +isin(⁻₃^π).

II- Propriétés des modules et des arguments

1) Conjugué et opposé

0 u#»

#»v

M₁(z)

M₂(z) M₃(−z)

bb

b

x y

− x

− y

• |−z|=|z|.

• |z|=|z|.

• arg(−z) = arg(z) +π[2π]

• arg(z) =−arg(z) [2π].

Propriété

2) Argument d’un réel, d’un imaginaire pur

Soitz un réel non nul :

• zest un réel non nul ⇐⇒ arg(z) = 0 [2π] ou arg(z) =π[2π].

• zest un imaginaire pur ⇐⇒ arg(z) =^π₂[2π] ou arg(z) = ⁻₂^π[2π].

Propriété

3) Opérations

a) Inégalité triangulaire

Pour tout nombres complexeszetz⁰, on a : z+z⁰

6|z|+ z⁰

. Propriété

b) Produit

Le module d’un produit est le produit des modules.

z·z⁰

=

z ·

z⁰ Propriété

RemarqueLe module « transforme un produit en un produit ».

L’argument d’un produit est la somme des arguments (à 2πprès).

arg (z·z⁰) = arg (z) + arg (z⁰) (mod 2π) Propriété

RemarqueL’argument « transforme un produit en une somme » à 2πprès.

∀n∈N^∗,|zⁿ|=|z|ⁿ et arg(zⁿ) =narg(z) (mod 2π) Propriété

Exemple

Déterminer la forme trigonométrique dez= (1−i

√ 3)²⁰¹³.

c) Quotient

Pour tout nombres complexes non nulz etz⁰, on a :

• 1 z

= 1

|z|.

• arg(¹_z) =−arg(z) [2π]

• z z⁰ = |z|

|z⁰|.

• arg(_z^z0) = arg(z)−arg(z⁰) [2π].

Propriété

Exemple Calculer (1 +i)⁴

(

√

3 +i)⁵ sous forme algébrique.

III- Lien avec le plan complexe

1) Utilisation des modules et des arguments

Soit A, B, C et D 4 points distincts du plan complexe rapporté à un repère (O ;#»u , #»v) d’affixes respectivesz_A, z_B,z_Cetz_D, on a :

• AB =|z_B−z_A|etu#»; # » AB

[2π].

• _CD^AB =

z_D−z_C z_B−z_A

et# »

AB ; # » CD

= arg_z

D−z_C z_B−z_A

[2π]

Propriété

Exemple

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (O, ~u, ~v) d’unité graphique 1 cm.

Soient A, B et C les points du plan d’affixes respectivesz_A,z_Betz_Ctelles que : zA=−2 + 2i; zB= 3 + i et zC=−1 + 7i.

1) Placer les points A, B et C dans le plan P.

2) Soit A = ^z_z^C−zA

B−z_A.

Écrire A sous forme algébrique.

3) Calculer le module et l’argument de A

4) En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle.

5) Calculer l’affixe du point D de sorte que le quadrilatère ABCD soit un carré.

2) Caractérisation géométrique par les nombres complexes a) Point sur un axe du repère

Point sur l’axe des abscisses

Soit M un point d’affixez.

M est sur l’axe des abscisses

⇐⇒ zest un réel

⇐⇒ Im(z) = 0

⇐⇒ arg(z) = 0 (modπ) ou M = O.

Théorème

♥

Exemple

Pourz,i, on pose

Z =z−(1 + i) z−i .

1) Soitz=x+ iy. Exprimer l’écriture algébrique de Z en fonction dexet dey.

2) Quel est l’ensemble des points M d’affixezpour lequel Z est réel ?

Point sur l’axe des ordonnées

M(z)

Point sur l’axe des ordonnées

Soit M un point d’affixez.

M est sur l’axe des ordonnées

⇐⇒ zest un imaginaire pur

⇐⇒ Re(z) = 0

⇐⇒ arg(z) =π

2 (modπ) ou M = O. Théorème

♥

Exemple

On reprend l’exercice précédent.

3) Quel est l’ensemble des points M d’affixezpour lequel Z est imaginaire pur ?

b) Point sur un cercle

Soit M un point d’affixez.

M est sur le cercle de centreΩet de rayon R

⇐⇒ ΩM = R

⇐⇒ |z−z_Ω|= R

⇐⇒ (x−x_Ω)²+ (y−y_Ω)²= R²avecz=x+ iy Propriété

Exemple

Déterminer le lieuLdes points M d’affixezvérifiant 1) |z−a|=r, avecr∈[0; +∞[ eta∈C.

2) |z−a|=|z−b|avecaetbcomplexes distincts.

3) |z−3 + 5i|= 3.

4) |z−2−4i|=|z+ 1−i| Exemple

Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que : 1) arg(z−2−i) =−^π

3[2π].

2) arg(3z−7 + 6i) =^π₆[2π].

Exemple

Déterminer le lieuLdes points M d’affixezvérifiant arg

z−a z−b

=π

2 (mod 2π).

IV- Forme exponentielle

1) La fonctionθ7→cos(θ) +isin(θ).

Soitf la fonction définie surRà valeurs dansCpar

f(θ) = cos(θ) + i sin(θ). Pour toutθréel, on a|f(θ)|= 1 et arg (f(θ)) =θ.

De plus, pour toutθetθ⁰ réels, on a :

f (θ+θ⁰) =f(θ)×f (θ⁰). Lemme

Démonstration

On utilise le fait que deux nombres complexes non nuls sont égaux s’ils ont le même module et même argument (modulo 2π).

Supposons que les règles de dérivations des fonctions dansRs’appliquent aussi aux fonctions à valeurs dansC.

On a alors :

f⁰(θ) =−sin(θ) + i cos(θ) = if(θ). Eulera alors proposé pour ces nombres, l’écriture exponentielle :

f(θ) = e^iθ= cos(θ) + i sin(θ).

Pour toutθetθ⁰ réels et pour tout entier naturelnnon nul, on a :

• e^iθ

= 1

• e^i(θ+θ0)= e^iθ×e^iθ0

• _e^e_iθ^iθ0 = e^i(θ−θ0)

• (e^iθ)ⁿ= e^inθ

• e^iθ= e^−iθ=_e¹iθ. Propriété

2) Forme exponentielle d’un nombre complexe

Tout complexeznon nul, de moduleret d’argumentθadmet une écriture de la former·e^iθ. Cette écriture est laforme exponentielledez.

Définition Notation exponentielle d’un nombre complexe

Exemple

Le nombre complexe de module 2 et d’argument^π₃ est noté 2e^iπ3. Sa forme algébrique estz= 2(cos^π₃+ i^π₃) = 1 + i

√ 3.

Soitz un nombre complexe non nul.

Sizs’écritz=re^iθ avecr >0 etθun réel alorsr=|z|etθ= arg(z) [2π].

Théorème

Exemple

Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle.

1) z₁= 5i.

2) z2= 4 + 4i.

3) z₃=−e^−iπ3. 4) z4=−ie^−i3π4. Exemple

Ecrire les nombres suivants sous forme algébrique : 1) z1= 3e^−iπ2. 2) z2=

√

2e^3iπ4. 3) z3= 6e^i2π3 .

Les propriétés sur les modules et les arguments des nombres complexes se traduisent par : re^iθ×r⁰e^iθ0=r×r⁰e^i(θ+θ0) re^iθ

r⁰e^iθ0 = r

r⁰e^i(θ−θ0) (re^iθ)ⁿ=rⁿe^inθ Théorème

3) Efficacités de la notation

La notation exponentielle permet de calculer plus facilement des produits ou des quotients de nombres complexes.

Exemple

Soitz= 3e^i3π4 etz⁰= 7e^i−2π3 . Calculerzz⁰et _z^z0. zz⁰= 3×7e^{i(3π4+−2π3 )}= 21e^i12π.

z

z⁰ =³₇e^{i(3π4−−2π3 )}=³₇e^i17π12.

La notation exponentielle permet de calculer plus facilement des puissances de nombres complexes.

Exemple Calculer (1 + i)⁸ (1 + i)⁸= (

√

2e^iπ4)⁸=

√

2⁸e^i8π4 = 16e^i2π= 16

La notation exponentielle permet d’obtenir (entre autre) les formules d’addition de trigonométrie :

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb sin(a+b) = cosasinb+ cosbsina

Théorème Formules trigonométriques

Démonstration

D’une part,e^i(a+b)= cos(a+b) + i sin(a+b).

D’autre part ,

e^i(a+b) = e^ia×e^ib

= (cosa+ i sina)(cosb+ i sinb)

= cosacosb−sinasinb+ i(cosasinb+ cosbsina) Par identification des parties réelles et imaginaires, on retrouve les formules d’addition : cos(a+b) = cosacosb−sinasinbet sin(a+b) = cosasinb+ cosbsina

Exemple

En remarquant que ₁₂^π =^π₃ +⁻₄^π, donner les valeurs exactes de cos(₁₂^π) et sin(₁₂^π) cos(₁₂^π) = cos(^π₃ +⁻₄^π) = cos(^π₃) cos(⁻₄^π)− sin(^π₃) sin(⁻₄^π) =¹₂×

√ 2 2 −

√ 3 2 ×⁻

√ 2

2 =

√ 2 4 ×

√ 6 4 =

√ 6+

√ 2 4 . On montre de la même manière que sin(₁₂^π) =

√ 6−

√ 2 4 .

4) Applications

(cosθ+ i sinθ)ⁿ= cosnθ+ i sinnθ.

Théorème Formule de Moivre

cette formule est à la base de la méthode permettant d’exprimer cosnθet sinnθen fonction de cosθet sinθ.

Exemple

Exprimer cos 3θet sin 3θen fonction de cosθet sinθ.

D’une part , d’après la formule de Moivre, (cosθ+ i sinθ)³= cos(3θ) + i sin(3θ).

D’autre part, la formule (a+b)³=a³+ 3ab²+ 3a²b+b³donne :

(cosθ+ i sinθ)³= cos³θ+ 3 cos²i sinθ+ 3cosθ(i sinθ)²+ 3(i sinθ)³= cos³θ−3 cosθsin²θ+ i(3 cos²θsinθ−sin³θ) Par identification des parties réelles et imaginaires, on déduit :

cos 3θ= cos³θ−3 cosθsin²θ= 4 cos⁴θ−3 cosθet sin 3θ= 3 cos²θsinθ−sin³θ.