Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2

(1)

Chapitre n°10: Nombres imaginaires Partie 2/2

Objectifs :

Niveau a eca n

C10.a ¹ Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée.

notation exponentielle.

C10.b ¹ Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

C10.c ¹

Savoir interpréter Z = c – a b – a ^.

C10.d ¹ Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Activité d'approche n°1

Sur la figure ci-contre, (O;I,J) est un repère orthonormé direct.

1. Donner ou calculer les affixes de tous les points de la figure :

I :...

J :...

H :...

K :...

C :...

F :...

Q :...

B :...

D :...

G :...

L :...

N :...

A :...

E:...

M :...

P :...

R :...

2. Donner les modules des affixes de chacun des points :

…...

...

3. Si X est un point d'affixe zX = a+ib, et  la mesure principale de l'angle orienté que forme ⃗OX avec ⃗OI , calculer a et b en fonction du module |^zX| ^{de z}^X^{et de}

 :

...

I J

O

A B

D C

E

G F

H K

L M

N P

Q R

(2)

2/11 -

...

Cours n°1

Chapitre n°10 : Nombres imaginaires Partie 2/2

I) Forme trigonométrique d'un nombre imaginaires

Définition n°1

Soit zM = a + ib un nombre imaginaire non nul et M son image dans un repère

(O ; ⃗u, ⃗j). On appelle argument de zM une m..………....

…….……….. (⃗u;⃗OM ) On note : arg(zM) = (⃗u;⃗OM ) à 2 près.

Propriété n°1

Soit z un nombre imaginaire non nul de la forme a+ib, de module |z| et d'argument arg(z).

Alors, on a :

{

a=...

b=...^et

{

^cos^(arg(^z))=...

sin(arg(z))=...

|z|=...

z = a+ib et z = |z| ×(…...)

Cette dernière expression est une forme trigonométrique de z.

Exemple n°1 :

arg(i) = …... et |i| =...

arg(5) = …... et |5| =...

arg(1+i) = …... et |1+i| =...

arg( √³

2 ⁺ 1

2 i) = …... et

|

^√2³+1

2i

|

=...

Exemple n°2 :

Écrire sous forme algébrique le nombre imaginaire z de module 4 et d'argument – π

6 ^.

...

Écrire sous forme trigonométrique le nombre imaginaire : z = – √⁵⁺ⁱ√⁵^.

...

2/11

(3)

Exemple n°3 :

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre imaginaire (justifier) :

z = √³

(

^cos

⁽

^π³

⁾

⁺ⁱ^sin

⁽

^−π³

⁾ )

: ...

…...

z = −√³

(

^cos

⁽

^π³

⁾

⁺ⁱ^sin

⁽

^π³

⁾ )

: ...

…...

z = √³⁽^{cos 0}⁺ⁱ^{sin 0}⁾ : ...

…...

Interrogation n°1 Objectifs :

C10.a_Niv1 : Savoir donner la forme trigonométrique (module et argument) et l'interprétation géométrique associée. notation exponentielle.

Exercice n°1 Ex.23 p.211 Exercice n°2

Ex.27 p.211 Exercice n°3*

Ex.28 p.211 Exercice n°4*

Ex.115 p.216

Cours n°2

II) Propriétés des arguments des nombres imaginaires Propriété n°2

z et z' sont des nombres imaginaires non nuls. Alors : 1. (produit) : arg( zz' ) = …... ... …... + 2k , k Z.

2. (puissance) : arg( zⁿ) = …... + 2k , k Z.

3. (quotient) : arg

(

z '^z

)

= …... ... …... + 2k , k Z.

Démonstration :

Dans la suite, r = |z| ,  = argz , r' = |z '| ,  ' = argz ' 1. z = r (cos( )+isin( )) et z' = r' (cos( ')+isin(')) zz' =

…...

zz' = rr'...

zz' = rr' (cos(...+...)+isin(...+...))

2. Par récurrence :

...

(4)

(5)

...

3. Soit z ' '=z '

z . Alors z' =... On applique ensuite 1.

Exemple n°4

On considère z= 1 2 ⁺ⁱ√³

2 et z'=i. Déterminer les formes trigonométriques de z et z'.

Calculer Arg(zz') et |zz '| .Placer l'image de zz'.

...

Placer les images de z et z' sur le cercle ci-contre.

Exemple n°5

On considère z= 1 2 ⁺ⁱ√³

2 . Déterminer la forme algébrique de z²⁰¹⁵.

...

C10.b_Niv1 : Savoir utiliser les propriétés de l'argument et du module d'un nombre imaginaire.

Ex.126 p.216

Cours n°3

On se place dans un repère (O; ⃗u; ^⃗j).Pour tout point A et B d'affixes respectives zA et zB, (⃗u ; ⃗AB) = arg(...) + 2k , k Z.

(6)

(7)

Géométriquement, en traçant un représentant de ⃗AB, d'origine O.

On se place dans un repère (O; ⃗u ; ^⃗j).

zA, zB, zC et zD sont quatre imaginaires distincts d'images respectives A, B, C et D. Alors :

1. arg

(

^z^z^B^A⁻⁻^z^z^C^C

)

⁼ ⁽^⃗^{CA ;}^⃗^CB⁾ + 2k , k Z.

2. arg

(

^z^z^D^B⁻⁻^z^z^C^A

)

⁼ ⁽^⃗^{AB ;}^⃗^CD⁾ + 2k , k Z.

1. arg

(

)

= …...– …... + 2k , k Z.

arg

(

^z^z^BA⁻−^zz^C_C

)

⁼ ⁽^⃗^{u ;}^...⁾ ^… ⁽^⃗^{u ;...}⁾ ^{+ 2k}^^,^{k Z.}

arg

(

)

⁼ ⁽^⃗^{u ;}^...⁾ ^… ⁽^...^;^...⁾ ^{+ 2k}^^,^{k Z.}

arg

(

)

⁼ ⁽^...^;...⁾ ^{+ 2k}^^,^{k Z.}

2. Même principe.

Exemple n°7

On considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 3+6i, b = 4+7i et c = 4 + 5i .

1. Calculer et interpréter géométriquement le module et l'argument de Z = c – a

b – a ^.

...

(8)

6/11 -

2. En déduire que le triangle ABC est rectangle en A.

...

C10.c_Niv1 : Savoir interpréter Z = c – a b – a ^. Exercice n°7

Ex.149 p.217 Exercice n°8

Ex.151 p.217

Activité d'approche n°2

Posons f() = cos + isin.

1. Démontrer que f( + ' ) = f()×f(').

...

2. Démontrer que (f (θ))ⁿ = f (nθ)

...

3. Démontrer que f '()=if ()

...

4. Calculer 1

f (θ) en fonction de f(-)

...

6/11

(9)

...

5. Calculer f(0).

...

6. Démontrer que f(θ)

f (θ')=f(θ−θ')

...

7. À quelle fonction fait penser f ?

...

Cours n°4

III) Notation exponentielle

Définition n°2

On définit la notation suivante :

e^i = cos  + i sin  qui désigne le nombre imaginaire de module 1 et d'argument .

On a les propriétés suivantes : 1. eî(+')= eî ×eî'

2. (e^iθ)ⁿ = e^{i n}^θ (formule de Moivre) 3. eⁱ⁰=1

4. e^{i( }^– ^')= eⁱ^θ eⁱ^θ'

Cf activité d'approche précédente.

Exemple n°8

Calculer sous forme algébrique :

eⁱ^2π=...

eⁱ

π

2 =...

eⁱ^π=...

e⁻ⁱ^π² =...

eⁱ

π

3 =...

Tout nombre imaginaire non nul z s'écrit sous la forme

|z|eⁱ^θ où  = arg(z)+ 2k , k Z.

Exemple n°9

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme algébrique :

(10)

8/11 -

1. z1 = 2e⁻ⁱ^π² :

…...

...

2. z2 = √² ^e³ⁱ^π⁴ ^:

…...

...

Exemple n°10

Écrire les nombres imaginaires suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 2i :

…...

...

2. z4 = √^{3 - 1 :}

…...

...

Exemple n°11 :

Soit z=3eⁱ

π

3 . Démontrer que z⁵⁷ est un nombre réel et déterminer son signe.

…...

...

Exemple n°12 :

En utilisant (eⁱ^θ)³ = e^i3θ, exprimer cos 3 en fonction de cos³  et de sin³ .

…...

...

8/11

(11)

(12)

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...

C10.c_Niv1 : avoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre imaginaire.

Ex.49 p.212 Exercice n°13***

Sujet A p.225 Exercice n°14***

Sujet C p.225 Exercice n°15***

Ex.187 p.227 Exercice n°16***

Ex.196 p.229

Résultats ou indices

Ex.1 (23 p.211) :

Ex.2 (27 p.211) : 6(cos(−π

3 )+isin(−π

3 ))) et 3 – 3|z₁z₂|i

Ex.3* (28 p.211) : 1. |z₁|=1 ; |z₂|= 2 ; |z₃|= √²^{2. arg(z}¹⁾⁼ ^π₂ ^{; arg(z}²^{)= }^{; arg(z}³⁾⁼ ^π₄ ^{3. z}¹⁼

cos( π

2)+isin( π

2) ; z2=2(cos(π)+isin(π)) ; z3=√²^{(cos( π}₄⁾⁺ⁱ^sin^{( π}₄⁾⁾

Ex.4* (115 p.216) : Dans le désordre : z= 2(cos(5π

6 )+isin(5π 6 )); z=

6(cos(−2π

6 )+isin(−2π

6 )) ; z= 6(cos(3π

4 )+isin(3π

4 )); z=4(cos(−π

6 )+isin(−π 6 )) ; z=

3√²⁽^cos(³₄^π⁾⁺ⁱ^sin⁽³₄^π⁾⁾^{; z=}⁵√^2(cos^{( π}₄⁾⁺ⁱ^sin^{( π}₄⁾⁾

Ex.5 (123 p.216) : 1.|z₁z₂|=

√

²^{et arg(z}¹^z²⁾⁼ ³₄^π ^{. 2. z}¹^z²= –1 + i = √²^(cos(³₄^π⁾⁺ⁱ^sin⁽³₄^π⁾⁾

Ex.6 (126 p.216) : 1. (1+i)⁵= –4 – 4i 2. (1+i√³⁾⁷= 64 + i 64√³. 3. (2 – 2i√³⁾⁷^{= 4096.}

9/11

(13)

(14)

(15)

Ex.7 (149 p.217) : 1.a. –i = cos(−π

2 )+isin(−π

2 )2. ABC est un triangle rextangle isocèle en A.

Ex.8 (150 p.217) : 2. ABC est un triangle équilatéral.

Ex.9 (151 p.217) : 4. OAB est un triangle rectangle isocèle en O.

Ex.10 (34 p.211) : Dans le désordre : e⁻ⁱ

π

3 e^iπ eⁱ

2π 3

Ex.11 (35 p.211) : a. 1 et π

3 ^{b. 1 et}

−2π 3 ^. Ex.12 (49 p.212) : Z= 2x

x²+y² ^–i 2y x²+y²

Ex.13*** (Sujet A p.225) : 1. z1=1+i ; z2=i ; z3= –1 2 ⁺

1

2 ^{i ; z}⁴^{= –} 1

2 .3.n9 (à prouver par le calcul).4. triangle rectangle isocèle en An+1.

Ex.14*** (Sujet C p.225) : 1.a. |z₁|= √²^;^|z2|= √²^{et arg(z}¹⁾⁼^– ^π₄ ^{, arg(z}²⁾⁼ ^π₄ ^{1.b. 4 –}

2i et 2 – 2i. 2.a. zB=1 – i et zC=2 – 2i. 2.d. Le quotient vaut i . IAC est rectangle isocèle en I. 2.e. –2 – 4i. 2.f. 4 – 2i

Ex.15*** (187 p.227) : 1. z1= –√²⁺√²ⁱ⁼²^(cos(³₄^π⁾⁺ⁱ^sin(³₄^π⁾⁾^{et z}²^{= –}√²^–√²ⁱ⁼

2(cos(−3π

4 )+isin(−3π

4 ))2.c. 3π

8 ^{2.d. z}^I^{= 1–}√²⁺√²^{i et}^|^z1|=

√

²^–^√²^{. 3. cos} ³₈^π ⁼

√

²^–^√²

2 ^{et sin} 3π

8 ⁼

√

²⁺^√²

2

Ex.16*** (196 p.229) : 1.a. P(-1)=0 1.b. a = – 4 et b=7 1.c. S = { -1 ; 2 – i√³^{; 2 + i}√³^}

2.b. AB=AC=BC=2√³^.2.c. ^π₂ 2.d. GAC est rectangle en C. 3.A(-1;0),C(2 ;–√³) et G(–3;0) 4.c.(D) est la perpendiculaire à (GC) passant par A.

(16)

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11/11

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser le(s) interrogation(s) : C... ; C... ; C... ; C...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail à faire pour la prochaine fois :