Chapitre X: Nombres complexes Partie 2/2

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Chapitre X: Nombres complexes Partie 2/2

Objectifs :

1. Forme trigonométrique - module et argument avec l'interprétation géométrique associée, notation exponentielle :

2. Savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement.

[Introduction de la notationexponentielle : remarquer que f(x)=cosx + i sinx vérifie aussi f ' = f ]

3. Savoir effectuer des opérations sur les nombres complexes écrits sous différentes formes

Activité d'approche n°1

Sur la figure ci-contre, (O;I,J) est un repère orthonormé direct.

1. Donner ou calculer les affixes de tous les points de la figure :

I :...

J :...

H :...

K :...

C :...

F :...

Q :...

B :...

D :...

G :...

L :... N :...

A :... E:...

M :... P :...

R :...

2. Donner les modules des affixes de chacun des points :

…...

...

3. Si X est un point d'affixe zX = a+ib, et  la mesure principale de l'angle

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I J

O

A B

D C

E

G F

H K

L M

N P

Q R

(3)

orienté que forme ^⃗OX avec ^⃗OI , calculer a et b en fonction du module |^zX| de zX et de  :

...

Cours n°1

Chapitre X : Nombres complexes Partie 2/2

I) Forme trigonométrique d'un nombre complexes Définition n°1

Soit zM = a + ib un nombre complexe non nul et M son image dans un repère (O ;

⃗u, ⃗j ). On appelle argument de zM une mesure de l'angle orienté (⃗u;^⃗OM ) On note : arg(zM) = (⃗u;^⃗OM ) à 2 près.

Propriété n°1

Soit z un nombre complexe non nul de la forme a+ib, de module |z| et

d'argument arg(z).

Alors, on a :

{

a=...

b=... et

{

^cos(arg⁽^z))=...

sin(arg(z))=...

|z|=...

z = a+ib et z = |z| ×(…...)

Cette dernière expression est une forme trigonométrique de z.

Exemple n°1 :

arg(i) = …... et |i| =...

arg(5) = …... et |5| =...

arg(1+i) = …... et |1+i| =...

arg( √³

2 + 1

2 i) = …... et

|

^√2³+1

2i

|

=...

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(4)

(5)

Exemple n°2 :

Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z de module 4 et d'argument –π

6 .

...

Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe : z = – √⁵⁺ⁱ√⁵^.

...

Exemple n°3 :

Les écritures suivantes sont-elle la forme trigonométrique d'un nombre complexe (justifier) :

z = √³

(

^cos

⁽

^π³

⁾

⁺ⁱ^sin

⁽

^−π³

⁾ )

: ...

…...

z = −√³

(

^cos

⁽

^π³

⁾

⁺ⁱ^sin

⁽

^π³

⁾ )

: ...

…...

z = √³⁽^{cos 0}⁺ⁱ^{sin 0}⁾ : ...

…...

Exercice n°1 Ex.23 p.211 Exercice n°2

Ex.27 p.211 Exercice n°3*

Ex.28 p.211 Exercice n°4*

Ex.115 p.216

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Cours n°2

II) Propriétés des arguments des nombres complexes Propriété n°2

z et z' sont des nombres complexes non nuls.

Alors :

1. (produit) : arg( zz' ) = …... ... …... + 2k , k Z.

2. (puissance) : arg( zⁿ) = …... + 2k , k Z.

3. (quotient) : arg

(

z '^z

)

= …... ... …... + 2k , k Z.

Démonstration :

Dans la suite, r = |z| ,  = argz , r' = |z '| ,  ' = argz ' 1. z = r (cos( )+isin( )) et z' = r' (cos(')+isin('))

zz' = …...

zz' = rr'...

zz' = rr' (cos(...+...)+isin(...+...)) 2. Par récurrence :

...

3. Soit z ' '=z '

z . Alors z' =... On applique ensuite 1.

Exemple n°4

On considère z= 1 2 +i √³

2 et z'=i. Calculer zz' sous forme trigonométrique et placer zz'.

...

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(8)

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5/12 T.S. 2015 – Chap.10 : Nombres complexes Partie 2/2 ...

Placer les images de z et z' sur le cercle ci-contre.

Exemple n°5

On considère z= 1 2 +i √³

2 . Déterminer la forme algébrique de z²⁰¹⁵.

...

Ex.126 p.216

Cours n°3

On se place dans un repère (O; ⃗u ; ^⃗j).Pour tout point A et B d'affixes respectives zA et zB, (⃗u ; ^⃗AB) = arg(...) + 2k , k Z.

Géométriquement, en traçant un représentant de ^⃗AB, d'origine O.

On se place dans un repère (O; ⃗u ; ^⃗j).

zA, zB, zC et zD sont quatre complexes distincts d'images respectives A, B, C et D. Alors :

1. arg

(

^z^z^B^A⁻⁻^z^z^C^C

)

⁼ ⁽^⃗^{CA ;}^⃗^CB⁾ + 2k , k Z.

2. arg

(

^z^z^DB⁻−^zz^C_A

)

⁼ ⁽^⃗^{AB ;}^⃗^CD⁾ + 2k , k Z.

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(10)

1. arg

(

)

= …...– …... + 2k , k Z.

arg

(

)

⁼ ⁽^⃗^{u ;}^...⁾ ^… ⁽^⃗^{u ;...}⁾ ^{+ 2k}^^,^{k Z.}

arg

(

)

⁼ ⁽^⃗^{u ;}^...⁾ ^… ⁽^...^;^...⁾ ^{+ 2k}^^,^{k Z.}

arg

(

^z^z^BA⁻−^zz^C_C

)

⁼ ⁽^...^;^...⁾ ^{+ 2k}^^,^{k Z.}

2. Même principe.

Exemple n°7

On considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 1 – i, b = 2 + i et c = 3 – 2i.

1. Interpréter géométriquement le module et l'argument de Z = c – a b – a .

...

2. Calculer Z et en déduire que le triangle ABC est rectangle en A.

...

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Ex.150 p.217 Exercice n°9

Ex.151 p.217

Activité d'approche n°2

Posons f() = cos + isin.

1. Démontrer que f( + ' ) = f()×f(').

...

2. Démontrer que (f (θ))ⁿ = f(nθ)

...

3. Démontrer que f '()=if ()

...

4. Calculer ¹

f(θ) en fonction de f(-)

...

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(13)

(14)

(15)

...

5. Calculer f(0).

...

6. Démontrer que f(θ)

f (θ')=f(θ−θ')

...

7. À quelle fonction fait penser f ?

...

Cours n°4

III) Notation exponentielle Définition n°2

On définit la notation suivante :

e^i = cos  + i sin  qui désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument .

On a les propriétés suivantes : 1. eî(+')= eî ×eî'

2. (e^iθ)ⁿ = e^{i nθ} (formule de Moivre) 3. eⁱ⁰=1

4. eⁱ⁽^{ }^– ^')= eⁱ^θ eⁱ^θ'

Cf activité d'approche précédente.

Exemple n°8

Calculer sous forme algébrique :

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9/12 T.S. 2015 – Chap.10 : Nombres complexes Partie 2/2 eⁱ^2π=...

eⁱ^π² =...

eⁱ^π=...

e⁻ⁱ

π

2 =...

eⁱ

π

3 =...

Tout nombre complexe non nul z s'écrit sous la forme

|z|eⁱ^θ où  = arg(z)+ 2k , k Z.

Exemple n°9

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique : 1. z1 = 2 e⁻ⁱ

π 2 :

…...

...

2. z2 = √² ^e³ⁱ^π⁴ ^:

…...

...

Exemple n°10

Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle : 1. z3 = 2i :

…...

...

2. z4 = √^{3 - 1 :}

…...

...

Exemple n°11 :

Soit z=3eⁱ

π

3 . Démontrer que z⁵⁷ est un nombre réel et déterminer son signe.

…...

...

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(19)

…...

...

Exemple n°12 :

En utilisant (e^iθ)³ = e^i3θ, exprimer cos 3 en fonction de cos³  et de sin³ .

…...

...

…...

...

…...

...

…...

...

Ex.35 p.211 Exercice n°12

Ex.49 p.212 Exercice n°13***

Sujet A p.225 Exercice n°14***

Sujet C p.225 Exercice n°15***

Ex.187 p.227 Exercice n°16***

Ex.196 p.229

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(20)

Résultats ou indices

Ex.1 (23 p.211) :

Ex.2 (27 p.211) : 6(cos(−π

3 )+isin(−π

3 ))) et 3 – 3√²ⁱ

Ex.3* (28 p.211) : 1. |z₁|=1 ; |z₂|= 2 ; |z₃|= √2 2. arg(z1)= π

2 ; arg(z2)=  ; arg(z3)= π 4 3.

z1= cos( π

2)+isin( π

2) ; z2= 2(cos(π)+isin(π)) ; z3=√²^{(cos( π}₄⁾⁺ⁱ^sin^{( π}₄⁾⁾

Ex.4* (115 p.216) : Dans le désordre : z= 2(cos(5π

6 )+isin(5π 6 )); z=

6(cos(−2π

6 )+isin(−2π

6 )) ; z= 6(cos(3π

4 )+isin(3π

4 )); z= 4(cos(−π

6 )+isin(−π

6 )) ; z=

3√²⁽^cos(³₄^π⁾⁺ⁱ^sin⁽³₄^π⁾⁾^{; z=}⁵√^{2(cos( π}₄⁾⁺ⁱ^sin^{( π}₄⁾⁾

Ex.5 (123 p.216) : 1.|z₁z₂|=

√

2 et arg(z1z2)= 3π

4 . 2. z1z2= –1 + i =

√^2(cos(³₄^π⁾⁺ⁱ^sin⁽³₄^π⁾⁾

Ex.6 (126 p.216) : 1. (1+i)⁵= –4 – 4i 2. (1+i√^{3 )}⁷= 64 + i 64√³. 3. (2 – 2i√^{3 )}⁷^{= 4096.}

Ex.7 (149 p.217) : 1.a. –i = cos(−π

2 )+isin(−π

2 )2. ABC est un triangle rextangle isocèle en A.

Ex.8 (150 p.217) : 2. ABC est un triangle équilatéral.

Ex.9 (151 p.217) : 4. OAB est un triangle rectangle isocèle en O. Ex.10 (34 p.211) : Dans le désordre : e⁻ⁱ

π

3 e^iπ eⁱ

2π 3

Ex.11 (35 p.211) : a. 1 et π

3 b. 1 et −2π 3 . Ex.12 (49 p.212) : Z= 2x

x²+y² –i 2y x²+y²

Ex.13*** (Sujet A p.225) : 1. z1=1+i ; z2=i ; z3= – 1 2 + 1

2 i ; z4= – 1

2 .3.n9 (à prouver par

le calcul).4. triangle rectangle isocèle en An+1.

Ex.14*** (Sujet C p.225) : 1.a. |z₁|= √^{2 ;}^|^z2|= √2 et arg(z1)= – π

4 , arg(z2)= π

4 1.b.

4 – 2i et 2 – 2i. 2.a. zB=1 – i et zC=2 – 2i. 2.d. Le quotient vaut i . IAC est rectangle isocèle en I. 2.e. –2 – 4i. 2.f. 4 – 2i

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Ex.15*** (187 p.227) : 1. z1= –√^{2 +}√²ⁱ⁼²^(cos⁽³₄^π⁾⁺ⁱ^sin⁽³₄^π⁾⁾^{et z}²^{= –}√^{2 –}√²ⁱ⁼

2(cos(−3π

4 )+isin(−3π

4 ))2.c. 3π

8 2.d. zI = 1–√^{2 +}√²^{i et}^|^z1|=

√

²^–^√²^{. 3. cos} ³₈^π ⁼

√

²^–^√²

2 et sin 3π

8 =

√

²⁺^√²

2

Ex.16*** (196 p.229) : 1.a. P(-1)=0 1.b. a = – 4 et b=7 1.c. S = { -1 ; 2 – i√^{3 ; 2 + i}√³

} 2.b. AB=AC=BC=2√^{3 .}^2.c. ^π₂ ^2.d.^GAC est rectangle en C. 3.A(-1;0),C(2 ;–√^{3 )}^et^G(–

3;0) 4.c.(D) est la perpendiculaire à (GC) passant par A.

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Chapitre X: Nombres complexes Partie 2/2

Chapitre X: Nombres complexes Partie 2/2

Activité d'approche n°1

Cours n°1

Chapitre X : Nombres complexes Partie 2/2

{

{

|

|

(

(

)

(

) )

(

(

)

(

) )

Cours n°2

(

)

Cours n°3

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Activité d'approche n°2

Cours n°4

Résultats ou indices

√

√

√

√

⁽

⁾

⁽

⁾ )

⁽

⁾

⁽

⁾ )