Nombres complexes – activité
Remarque :
Pour tout
k
réel, il existe un unique nombre réel dont le cube estk
. Ce nombre est appelé racine cubique de k . Il est noté√
3k ou aussi k1 3.
Ona par exemple √
38=2 car 2
3=8.
La touche « puissance » des calculatrices permet de donner des valeurs approchées des racines cubiques :
Avec une calculatrice, on écrit par exemple :
5
(1/3) et on obtient environ 1,71.Ona donc √
35 ≈ 1,71.
Au XVIème siècle, Jérôme Cardan, confronté à la résolution des équations du troisième degré, de la forme x3=px+q donne la formule suivante appelée formule de CARDAN:
lorsque q ² 4 − p
327 ≥ 0 , l' équationa pour solution x = √3 q 2 + √ q 4 ² − 27 p
3+ √3 q 2 − √ q 4 ² − 27 p
3
q 2 − √ q 4 ² − 27 p
31¿On considèrel ' équation x3=1.Quelle sont les valeurs de p et q ?
Vérifier que l’on peut utiliser la formule de Cardan. Quelle solution obtient-on ?
2
¿On considèrel ' équation x3=3 x+ 2.
Vérifier que l’on peut utiliser la formule de Cardan.Quelle solution obtient-on ? Vérifier. (Facultatif : trouver les solutions de l’équation x3=3x+2 )
3
¿Onconsidère l' équation x
3=2 x+ 4.
Vérifier que l’on peut utiliser la formule de Cardan.Donner en utilisant une calculatrice une valeur approchée de la solution obtenue. Vérifier. (Facultatif : trouver les solutions de l’équation x3=2x+4 )
4
¿On considèrel ' équation x3=15 x+ 4.
Justifier que la formule de Cardan ne peut pas s’appliquer.Pris dans un engrenage infernal, on décide cependant d’appliquer la formule.
Comment peut-on écrire la « solution » ?
5
¿Imaginons un nombre dant ≤carré est−1 et qui seratrès temporairement noté √ −1.
En utilisant ce nombre « imaginaire » et en effectuant les calculs « habituels », montrer que :
( 2+ √ −1 )
3=2+11 √ −1 . En déduire que 2+ √ −1 est une racine cubique de 2+ √ −121 .
Démontrer de même que 2− √ −1 est une racine cubique de 2− √ −121 .
Montrer alors que la formule de Cardan appliquée à l’équation x3=15x+4 donne comme solution le réel 4.
Vérifier que 4 est effectivement solution de l’équation.
On a donc, en utilisant des nombres « imaginaires », obtenu un résultat bien réel (et juste !).
6
¿Que peut−on dire de √ a √ b lorsque a et b sont deux réels positifs ?
Justifier que cette propriété appliquée au nombre « imaginaire »
√ −1
est en contradiction avec la définition même de ce nombre.Pour cette raison la notation
√ −1
que vous avez utilisée en toute impunité depuis quelques minutes (ou quelques heures )est absolument interdite à partir de maintenant.
En réalité, il a fallu 150 ans pour l’abandonner et utiliser la notation i proposée par Euler.
Aide :
