Problème : Postulat de Bertrand et applications
Dans ce problème, ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2 et on note :
— Pl’ensemble des nombres premiers,
— Pn l’ensemble des nombres premiers compris entre2etn.
— pour p∈P,vp(n) la valuationp-adique den.
— pour p∈P,αp(n) =vp(n!)etβp(n) =vp 2nn .
Partie No1 : La formule de Legendre
Soitp∈P. 1. Soitk∈N?.
Montrer que le nombre de multiples depk dans{1,· · ·, n} vautj
n pk
k .
2. Soit i ∈ N. Notons ai le nombre d’entiers dans {1,· · · , n} de valuation p-adique égale à i.
Montrer que
αp(n) =
n
X
i=1
iai.
Indication : Pour 06i6n et 16k6n, on peut poser ui,k =
i sivp(k) =i
0 sinon et calculer de deux manières X
16k6n
06i6n
ui,k.
3. En écrivant ià l’aide d’une somme très simple, en déduire que
αp(n) =
n
X
k=1
n pk
.
Cette formule s’appelle la formule de Legendre.
4. On pose m= jln(2n)
ln(p)
k
. Montrer que
βp(n) =αp(2n)−2αp(n) =
m
X
k=1
2n pk
−2 n
pk
.
Partie No2
Vérifier les propriétés qui suivent.
1. Pour tout x∈R,b2xc −2bxc ∈ {0,1}.
2. Si n∈N?,pβp(n)62n.
3. Si √
2n < palorsβp(n)∈ {0,1}.
4. Si n>3et 23n < p6nalorsβp(n) = 0.
5. Si n < p <2nalorsβp(n) = 1.
Partie No3 : Diviseurs et 2nn
Pour tout réel x, on note Πx le produit des entiers premiers p6x.
1. Montrer que, pour tout m∈N?, 2mm
> 42mm et 2m+1m 64m.
1
2. (a) Pour tout m>1, montrer queΠ2m+1 6 2m+1m
Πm+1 64mΠm+1.
Indication : Montrer que toutp∈P tel que m+ 1< p62m+ 1 divise 2m+1m . (b) En déduire que pour tout réelx>1, on a :Πx64x.
3. Montrer que tous les diviseurs premiers de 2nn
sont strictement inférieurs à2n.
Partie No4 : Le postulat de Bertrand
Dans cette partie, on va prouver le postulat de Bertrand. On suppose, par l’absurde, l’existence d’un entier n>2 tel que l’intervalle]n,2n[ne contienne aucun entier premier.
1. Montrer que l’entiernest nécessairement supérieur ou égal à631.
Indication : Considérer les entiers premiers p1 = 3, p2 = 5, p3 = 7, p4 = 13, p5 = 23, p6 = 43, p7 = 83, p8 = 163, p9 = 317et p10= 631.
2. Montrer que l’hypothèse faite sur npermet d’écrire 2n
n
= Y
p∈Pn
pβp(n).
3. Utiliser ce qui précède pour établir que 2n
n
6(2n)
√2n−142n/3.
Indication : Utiliser que si p∈Pn alors p6√
2nou √
2n < p6 2n3 ou 2n3 < p6n.
4. En déduire que 4n/36(2n)
√
2n, puis que ϕ(√
2n)> ln(2)6 avec ϕ(x) = ln(x)x . 5. Déduire de ce qui précède quen est inférieur à450.
6. Conclure et énoncer proprement le résultat démontré.
Partie No5 : Applications du postulat de Bertrand.
1. Déterminer les valeurs de n ∈N? pour lesquelles n! est un carré, c’est-à-dire pour lesquelles il existe k∈Ntel que n! =k2.
2. Déterminer les valeurs de n∈N? pour lesquelles 2nn
est un carré, c’est-à-dire pour lesquelles il existe k∈Ntel que 2nn
=k2.
* * * FIN DU SUJET * * *
2
